安徽省蚌埠市2020届高三下学期第三次教学质量检查数学（理）试题 Word版含解析

安徽省蚌埠市2020届高三下学期第三次教学质量检查数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 蚌埠市2020届高三年级第三次教学质量检查考试数学（理工类）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，求出，再根据交集运算可得结果.‎ ‎【详解】，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了补集和交集运算，属于基础题.‎ ‎2.已知i为虚数单位，则复数的共轭复数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据完全平方公式化简复数后，再根据共轭复数的概念可得结果.‎ ‎【详解】,‎ 所以复数的共轭复数为，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了复数的代数运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题.‎ ‎3.已知等差数列中，前n项和满足，则的值是( )‎ A. 3 B. 6 C. 7 D. 9‎ - 25 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据前项和的定义可得，再根据等差数列的性质可得结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 又为等差数列，根据等差数列的性质可得，‎ 所以;‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了数列的前项和的概念，考查了等差数列的性质，属于基础题.‎ ‎4.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )‎ A. 2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌 B. 2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高 C. 2019年我国居民每月消费价格逐月递增 D. 2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 根据统计折线图以及同比和环比的概念，对四个选项逐个分析可得答案.‎ ‎【详解】根据统计折线图以及同比增长率的概念可知2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比都是上涨的，故A不正确；‎ ‎2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格涨幅最高，不是消费价格最高，故B不正确；‎ ‎2019年我国居民每月消费价格有涨有跌，故C.不正确；‎ ‎2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降，下降了0.4个百分点，故D正确.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了对统计折线图的分析和理解能力，考查了同比和环比的概念，属于基础题.‎ ‎5.已知双曲线离心率为3，则双曲线C的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可得，再根据双曲线的几何性质可得结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 由双曲线的几何性质可得渐近线方程为：，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了双曲线的渐近线，属于基础题.‎ ‎6.已知向量，的夹角为，，，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化为，根据模长公式和平面向量的数量积的定义可得结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，解得，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了平面向量的模长公式，考查了平面向量的数量积的定义，属于基础题.‎ ‎7.劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某高中计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.学校计划下周在高一年级开设“缝纫体验课”，聘请“织补匠人”李阿姨给同学们传授织补技艺。高一年级有6个班，李阿姨每周一到周五只有下午第2节课的时间可以给同学们上课，所以必须安排有两个班合班上课，高一年级6个班“缝纫体验课”的不同上课顺序有( )‎ A. 600种 B. 3600种 C. 1200种 D. 1800种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分2步，第一步从6个班中任意选出2个班合班，这样6个元素变为5个元素，第二步，5个元素作全排，再根据分步计数原理可得答案.‎ ‎【详解】第一步，从6个班中任意选出2个班合班上课，有钟；‎ 第二步，5个班任意安排到5天中，有种；‎ 根据分步计数原理可得不同上课顺序有种.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了分步计数原理，考查了捆绑法，属于基础题.‎ ‎8.函数的图象是由函数的图象向右平移个单位长度后得到，则下列是函数的图象的对称轴方程的为( )‎ - 25 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象的平移法则可得，可得， ，根据的范围可得，再根据余弦函数的对称轴可得出所有对称轴，从而可得答案.‎ ‎【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到,‎ 根据题意可得，‎ 所以，，所以，，‎ 又，所以，‎ 所以，‎ 由，，‎ 得的对称轴为：，，‎ 时，对称轴是：，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象的平移变换，考查了诱导公式，考查了余弦函数的对称轴，属于中档题.‎ ‎9.已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交点为P，若为等腰三角形，则直线的斜率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ 根据点在第一象限，得，根据离心率为得，再按照和两种情况讨论，利用余弦定理和同角公式可求出直线的斜率.‎ ‎【详解】因为点在第一象限，所以，‎ 因为，所以，‎ 当时，满足，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以直线的斜率为，‎ 当时，，不符合题意.‎ 综上所以直线的斜率为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了椭圆的定义，考查了余弦定理、同角公式，斜率的定义，属于中档题.‎ ‎10.已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是( )‎ - 25 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用排除法，根据图象的对称性排除A和B，根据函数在的单调性可排除D，从而选C ‎【详解】根据图象关于轴对称，可知函数为偶函数，而和为奇函数，故A、B不正确；‎ 当时，，，所以函数在上递减，结合图象可知D不正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了利用函数对称性和单调性识别函数的图象，考查了排除法，属于基础题.‎ ‎11.开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种，已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，她第二天会有的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率，给出以下论述：①小明同学第二天一定选择面食套餐；②；③；④前n天小明同学午餐花费的总费用数学期望为.其中正确的是( )‎ A ②④ B. ①②③ C. ③④ D. ②③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第二天选择面食套餐的可能性为,说明①不正确；通过计算可得 - 25 -‎ ‎，故②正确；根据第3天选择米饭套餐是第二天选择面食套餐和第二天选择米饭套餐这两个对立事件的和事件可知③正确；设第天小明同学午餐花费为，则，再构造等比数列可求得，可得，再利用等比数列的求和公式可知④正确.‎ ‎【详解】第1天小明选择了米饭套餐，根据题意小明同学第二天选择面食套餐的可能性为，不是100%，所以①不正确；‎ 依题意，，则，故②正确；‎ 当第天选择米饭套餐时，第天选择米饭套餐的概率为；‎ 当第天选择面食套餐时，第天选择米饭套餐的概率为，‎ 故，故③正确；‎ 设第天小明同学午餐花费为，则，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列，‎ 所以，所以，‎ 所以，‎ 所以前n天小明同学午餐花费的总费用数学期望为，故④正确.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了构造法求数列的通项公式，考查了等比数列的求和公式，考查了互斥事件的概率公式，属于中档题.‎ ‎12.已知函数，若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是( )‎ - 25 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数证明，将转化为，进一步转化为，再转化为在区间内有解，利用导数可得结果.‎ ‎【详解】令，则，‎ 当时，，在上递增，‎ 当时，，在上递减，‎ 所以时，取得最小值，‎ 所以，当且仅当时，等号成立，‎ 因为函数 在区间内存在零点，‎ 所以，即，即在区间内有解，‎ 由上面已证结论可知，在区间内有解，‎ 所以在区间内有解，即在区间内有解，‎ 令，，‎ 则，‎ 当时，，在内递减，‎ - 25 -‎ 当时，，在内递增，‎ 所以时，取得最小值，‎ 即时，，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了函数与方程思想，等价转换思想，考查了利用导数研究函数的单调性，求函数的最值，考查了构造法，属于中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知命题，使得，若命题p是假命题，则实数m的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为对，恒成立，进一步转化为不等式右边的最大值，再构造函数，利用二次函数可求得最大值，从而可得结果.‎ ‎【详解】因为命题p是假命题，所以非：对，恒成立为真命题，‎ 设，则，‎ 因为，且，‎ 所以当时，取得最大值，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了命题的真假，考查了不等式恒成立问题，考查了二次函数求最大值，考查了同角公式，属于基础题.‎ - 25 -‎ ‎14.已知函数，若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据时，，可知，再解方程即可得到答案.‎ ‎【详解】因为当时，，‎ 所以，所以，‎ 所以，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了由分段函数的函数值求参数，考查了对数式化指数式，属于基础题.‎ ‎15.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________.‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令可得，将化为，利用通项公式分别求出展开式中的的系数与的系数，再相加即可得到结果.‎ ‎【详解】因为展开式中各项系数和为2，‎ 所以令可得，解得，‎ 所以，‎ 因为的通项公式为 - 25 -‎ ‎，‎ 令，得，令，得，‎ 所以展开式中常数项是.‎ 故答案为：40‎ ‎【点睛】本题考查了二项展开式的各项系数和，考查了利用通项公式求指定项，解题关键是将拆成，属于基础题.‎ ‎16.如图是第七届国际数学教育大会的会徽，它的主题图案由一连串如图所示的直角三角形演化而成.设其中的第一个直角是等腰三角形，且，则，，现将沿翻折成，则当四面体体积最大时，它的表面有________个直角三角形；当时，四面体外接球的体积为________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】 (1). 4 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当四面体体积最大时，平面平面，由此推出，根据勾股定理可以推出，从而可得有4个直角三角形，根据，可得点在平面内的射影是的中点，且四面体的外接球的球心在直线上，根据勾股定理可求得外接球的半径，代入体积公式可求得结果.‎ ‎【详解】当四面体体积最大时，平面平面，因为，所以根据平面与平面垂直的性质定理可得平面，所以，所以△为直角三角形，所以，又，，‎ - 25 -‎ 所以，所以，所以三角形为直角三角形，‎ 所以它的表面有4个直角三角形，‎ 因为，所以点在平面内射影是直角三角形的外心，‎ 也就是的中点，且四面体的外接球的球心在直线上，如图：‎ 容易求得，设，‎ 则在直角三角形中，由勾股定理可得，‎ 所以，解得，‎ 所以四面体外接球体积为.‎ 故答案为：（1）4 （2）‎ ‎【点睛】本题考查了平面与平面垂直的性质定理，考查了勾股定理，考查了球的体积公式，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的外接圆半径为，且.‎ - 25 -‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）求周长的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理以及已知等式可得，根据以及两角和的正弦公式可得，根据可得；‎ ‎（2）根据求得，根据余弦定理结合基本不等式可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】（1）由正弦定理得，，.‎ 代入，‎ 化简得：，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即， ‎ ‎∵∴‎ ‎∴，即，又，∴. ‎ ‎（2）由得，由余弦定理得 ‎，即 ‎ ‎∴∴，‎ ‎∴，等号成立当且仅当.‎ ‎∴，‎ - 25 -‎ 即周长的最大值为6.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.‎ ‎18.随着网购人数的日益增多，网上的支付方式也呈现一种多样化的状态，越来越多的便捷移动支付方式受到了人们的青睐，更被网友们评为“新四大发明”之一.随着人们消费观念的进步，许多人喜欢用信用卡购物，考虑到这一点，一种“网上的信用卡”横空出世——蚂蚁花呗.这是一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支付方式，简单便捷，同时也满足了部分网上消费群体在支付宝余额不足时的“赊购”消费需求.为了调查使用蚂蚁花呗“赊购”消费与消费者年龄段的关系，某网站对其注册用户开展抽样调查，在每个年龄段的注册用户中各随机抽取100人，得到各年龄段使用蚂蚁花呗“赊购”的人数百分比如图所示.‎ ‎（1）由大数据可知，在18到44岁之间使用花呗“赊购”的人数百分比y与年龄x成线性相关关系，利用统计图表中的数据，以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年龄，求所调查群体各年龄段“赊购”人数百分比y与年龄x的线性回归方程（回归直线方程的斜率和截距保留两位有效数字）；‎ ‎（2）该网站年龄为20岁的注册用户共有2000人，试估算该网站20岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数；‎ ‎（3）已知该网店中年龄段在18-26岁和27-35岁的注册用户人数相同，现从18到35岁之间使用花呗“赊购”的人群中按分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中简单随机抽取2人调查他们每个月使用花呗消费的额度，求抽取的两人年龄都在18到26岁的概率.‎ 参考答案：，.‎ ‎【答案】（1）；（2）1080人；（3）.‎ ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据公式计算出，后可得；‎ ‎（2）将代入得，进而可得；‎ ‎（3）根据分层抽样可知随机抽取8人，年龄在18到26岁之间有5人，年龄在27-35之间有3人，再根据古典概型的概率公式计算可得结果.‎ ‎【详解】（1）由题意，，， ‎ 所以，‎ ‎，所求线性回归方程为. ‎ ‎（2）由（1）知，该网站20岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数百分比为，而，‎ 所以估计该网站20岁注册用户中使用花呗“赊购”的人数为1080人.‎ ‎（3）依题意，随机抽取8人，年龄在18到26岁之间有5人，年龄在27-35之间有3人，所以抽取的两人年龄都在18到26岁的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查了求线性回归方程，考查了利用回归方程估计总体，考查了分层抽样，考查了古典概型，属于中档题.‎ ‎19.如图四棱柱中，，，，M为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若四边形是菱形，且面面，，求二面角的余弦值.‎ - 25 -‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点N，连接，，可证四边形是平行四边形，可得，进一步可证平面；‎ ‎（2）证明，，两两垂直后，以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求得结果.‎ ‎【详解】（1）取的中点N，连接，，‎ ‎∵M为的中点，∴且 又， ，所以且，‎ 所以四边形是平行四边形， ‎ 从而，又平面，平面，‎ 所以平面. ‎ ‎（2）取的中点P，连接，，‎ ‎∵四边形为菱形，又，易知.‎ - 25 -‎ 又面面，面面，‎ ‎∴平面，‎ 故，，两两垂直 ‎ 以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），不妨设.‎ 则，，，，，，‎ ‎，， ‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，‎ 可得平面的一个法向量， ‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，‎ 可得平面的一个法向量. ‎ ‎∴ ‎ 所以二面角的余弦值为.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题考查了直线与平面平行的判断定理，考查了直线与平面垂直的性质定理，考查了利用平面的法向量求二面角，属于中档题.‎ ‎20.已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则.‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）分别过点A，B作抛物线C的切线、，若，分别交x轴于点M，N，求四边形面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，则方程与抛物线方程联立，可得，根据抛物线的定义可得解得，可得抛物线C的方程为.‎ ‎（2）根据，再换元得，利用导数得单调性，利用单调性可得最值.‎ ‎【详解】（1）抛物线的焦点为，‎ 设，，则方程与抛物线方程联立，‎ 整理得，，，‎ 若，根据抛物线的定义可得， ‎ ‎∴，即抛物线C的方程为. ‎ ‎（2）由（1）知且，，，，‎ - 25 -‎ 所以切线的方程为即，①‎ 同理切线的方程为，②‎ 联立①②得，‎ 即切线与的交点为，‎ 由切线，得，同理可得， ‎ ‎∴‎ 又∵，‎ 点P到直线的距离为 ‎∴， ‎ ‎∴四边形的面积 令，则，‎ 时，成立，S单调递增，‎ ‎∴当，即时，四边形的面积的最小值为 ‎【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的定义，考查了韦达定理、弦长公式，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，考查了换元法，利用导数研究单调性、求最值，考查了运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）分析函数的单调性；‎ ‎（2）证明：，.‎ - 25 -‎ ‎【答案】（1）在区间和上单调递减；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导后得，再令，再求导可得结果；‎ ‎（2）根据可得，所以当时，，即，再采用累加法可证.‎ ‎【详解】（1）由题意得：的定义域为，且，‎ 令则，时，；‎ 时，.即在上单调递增，在上单调递减.‎ 因为，则在和上.‎ 因为，所以在和上，‎ 即函数在区间和上单调递减. ‎ ‎（2）由（1）可知，当时，，即， ‎ 当时，，则，‎ 即，‎ 所以 整理得：，‎ - 25 -‎ 即，，不等式得证.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数讨论函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了对数的运算性质，属于中档题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数，）.在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴所建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.设直线l与曲线C相交于A，B两点.‎ ‎（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点，求的最大值.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可得，根据互化公式可得，消去参数可得；‎ ‎（2）联立直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程，根据参数的几何意义以及三角函数的值域可得结果.‎ ‎【详解】（1）根据题意得，曲线C的极坐标方程为，‎ ‎，即，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为，即， ‎ 直线l的普通方程为. ‎ ‎（2）联立直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程，‎ - 25 -‎ 将，代入，‎ 化简，得. ‎ 设点A，B所对应的参数分别为，，‎ 则，，，‎ 由（1）可知，曲线C是圆心，半径为1的圆，点P在圆外，‎ 由直线参数方程参数的几何意义知，‎ ‎，当且仅当时取到.‎ 即的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程化直角坐标方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线参数方程中参数的几何意义，考查了三角函数的值域，属于中档题.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数，.‎ ‎（1）若不等式对恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若（1）中实数m的最大值为t，且（a，b，c均为正实数）.证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据绝对值三角不等式求得的最小值为，再由解得结果即可；‎ ‎（2）将代入可得，再用基本不等式可证.‎ ‎【详解】（1）由题意，. ‎ - 25 -‎ 只需，解得.‎ ‎（2）由（1）可知，，‎ 所以 ‎ ‎.‎ 当且仅当时等号成立.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值三角不等式，考查了不等式恒成立问题，考查了基本不等式，所以基础题.‎ - 25 -‎ - 25 -‎