【数学】2021届一轮复习人教版(文理通用)第3章第4讲三角函数的图象与性质作业

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【数学】2021届一轮复习人教版(文理通用)第3章第4讲三角函数的图象与性质作业

对应学生用书[练案24理][练案23文]‎ 第四讲 三角函数的图象与性质 A组基础巩固 一、选择题 ‎1.(文)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)=sin (2x+)的最小正周期为( C )‎ A.4π  B.2π ‎ C.π  D. ‎(理)(2019·海淀区模拟)已知函数f(x)=sin (ωx+)的最小正周期为π,则ω=( D )‎ A.1  B.±1 ‎ C.2  D.±2‎ ‎[解析] (文)函数f(x)的最小正周期为T==π.故选C.‎ ‎(理)因为T=,所以|ω|==2,故ω=±2.‎ ‎2.(2019·山东省实验中学高三第一次诊断)设函数f(x)=sin (2x-)(x∈R),则f(x)是( B )‎ A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 ‎[解析] ∵f(x)=sin (2x-)=-sin (-2x)=-cos 2x,∴f(x)的最小正周期T==π,且为偶函数.故选B.‎ ‎3.(2019·南昌模拟)函数y=的定义域为( C )‎ A.[-,]‎ B.[kπ-,kπ+](k∈Z)‎ C.[2kπ- ,2kπ+](k∈Z)‎ D.R ‎[解析] ∵cos x-≥0,得cos x≥,∴2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.故选C.‎ ‎4.已知函数y=2cos x的定义域为[,π],值域为[a,b],则b-a的值是( B )‎ A.2  B.3 ‎ C.+2  D.2- ‎[解析] 因为x∈[,π],所以cos x∈[-1,],故y=2cos x的值域为[-2,1],所以b-a=3.‎ ‎5.y=|cos x|的一个单调递增区间是( D )‎ A.[-,]  B. [0,π]‎ C.[π,]  D.[,2π]‎ ‎[解析] 将y=cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称,x轴上方(或x轴上)的图象不变,即得y=|cos x|的图象(如图).故选D.‎ ‎6.若函数y=sin (ωx+)在x=2处取得最大值,则正数ω的最小值为( D )‎ A.  B. ‎ C.  D. ‎[解析] 由题意得,2ω+=+2kπ(k∈Z),解得ω=+kπ(k∈Z),因为ω>0,所以当k=0时,ωmin=.故选D.‎ ‎7.(2020·辽宁抚顺调研)设函数f(x)=sin(x+θ)-cos(x+θ)(|θ|<)的图象关于原点对称,则角θ=( D )‎ A.-  B. ‎ C.-  D. ‎[解析] ∵f(x)=2sin(x+θ-),且f(x)的图象关于原点对称,∴f(0)=2sin(θ- ‎)=0,即sin(θ-)=0,∴θ-=kπ(k∈Z),即θ=+kπ(k∈Z),又|θ|<,∴θ=.‎ ‎8.如果函数y=sin ωx在区间[-,]上单调递减,那么ω的取值范围是( B )‎ A.[-6,0)  B.[-4,0)‎ C.(0,4]  D.(0,6]‎ ‎[解析] 解法一:因为函数y=sin ωx在区间[-,]上单调递减,所以ω<0且函数y=sin (-ωx)在区间[-,]上单调递增,则 即求得-4≤ω<0.故选B.‎ 解法二:代值检验法,当ω=1时,y=sin x在[-,]上单调递增,排除选项C,D;当ω=-6时,y=sin (-6x)=-sin 6x在[-,-]上单调递增,在[-,]上单调递减,排除选项A.故选B.‎ 二、填空题 ‎9.若y=cos x在区间[-π,α]上为增函数,则实数α的取值范围是-π<α≤0 .‎ ‎10.(2018·江苏,7)已知函数y=sin (2x+φ)(-<φ<)的图象关于直线x=对称,则φ的值是- .‎ ‎[解析] 本题考查正弦函数的图象和性质.‎ ‎∵函数y=sin (2x+φ)的图象关于直线x=对称,‎ ‎∴x=时,函数取得最大值或最小值,‎ ‎∴sin (+φ)=±1,‎ ‎∴+φ=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ-(k∈Z),‎ 又-<φ<,∴φ=-.‎ ‎11.(2019·山东师范大学附属中学三模)函数y=sin2x-4cos x+1的最大值为5 .‎ ‎[解析] y=sin2x-4cos x+1=-cos2x-4cos x+2=-(cos x+2)2+6,∵-1≤cos x≤1,∴cos x=-1时,y取得最大值为5.‎ ‎12.函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是π ,单调减区间是[kπ+,kπ+],k∈Z .‎ ‎[解析] ∵f(x)=sin2x+sin xcos x+1=(1-cos 2x)+sin 2x+1=sin (2x-)+,∴最小正周期是π.由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).∴单调减区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.‎ 三、解答题 ‎13.已知函数f(x)=sin (ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的最小正周期为π.‎ ‎(1)当f(x)为偶函数时,求φ的值;‎ ‎(2)若f(x)的图象过点(,),求f(x)的单调递增区间.‎ ‎[解析] 由f(x)的最小正周期为π,‎ 则T==π,所以ω=2,‎ 所以f(x)=sin (2x+φ).‎ ‎(1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x).‎ 所以sin (2x+φ)=sin (-2x+φ),‎ 展开整理得sin 2xcos φ=0,‎ 由已知上式对∀x∈R都成立,‎ 所以cos φ=0.因为0<φ<,所以φ=.‎ ‎(2)因为f()=,所以sin (2×+φ)=,‎ 即+φ=+2kπ或+φ=+2kπ(k∈Z),‎ 故φ=2kπ或φ=+2kπ(k∈Z),‎ 又因为0<φ<,所以φ=,即f(x)=sin (2x+),‎ 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得 kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),‎ 故f(x)的递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).‎ ‎14.(2020·武汉市调研测试)已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x+a(a为常数).‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若f(x)在[0,]上有最小值1,求a的值.‎ ‎[解析] (1)f(x)=2(sin 2x+cos 2x)+a ‎=2sin (2x+)+a,‎ 令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,‎ 所以kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,‎ 所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).‎ ‎(2)当0≤x≤时,≤2x+≤π,‎ 所以-≤sin (2x+)≤1,‎ 所以当x=时,f(x)有最小值,最小值为a-1=1,‎ 所以a=2.‎ B组能力提升 ‎1.(2018·课标全国Ⅰ,8)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( B )‎ A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3‎ B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4‎ C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3‎ D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4‎ ‎[解析] 本题主要考查三角函数变换及三角函数的性质.‎ f(x)=2cos2x-sin2x+2=2(1-sin2x)-sin2x+2=4-3sin2x=4-3×=+,‎ ‎∴f(x)的最小正周期T=π,当cos 2x=1时,f(x)取最大值为4,故选B.‎ ‎2.(2020·河南南阳四校联考)已知函数f(x)=cos (2x-)(x∈R),下列结论错误的是( C )‎ A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)的图象关于点(,0)对称 C.函数f(x)在区间[0,]上是减函数 D.函数f(x)的图象关于直线x=对称 ‎[解析] 由题意可得函数f(x)的最小正周期T==π,故A正确;当x=时,f()=cos (2×-)=0,所以函数f(x)的图象关于点(,0)对称,故B正确;当0≤x≤时,-≤2x-≤,函数f(x)不单调,故C不正确;当x=时,f()=cos (2×-)=,所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,故D正确.综上选C.‎ ‎3.(2019·武汉二月调研测试)已知函数f(x)=sin (2x+φ)+acos (2x+φ)(0<φ<π)的最大值为2,且满足f(x)=f(-x),则φ=( C )‎ A.  B. C.或  D.或 ‎[解析] 由f(x)的最大值为2,知=2,即a=±,所以f(x)=2sin (2x+φ±),由f(x)=f(-x)知f(x)的图象关于直线x=对称,所以当x=时,2x+φ±=kπ+,即φ=kπ±(k∈Z).又因为0<φ<π,所以φ=或.故选C.‎ ‎4.(2020·广东高三六校第一次联考)已知A是函数f(x)=sin(2 018x+)+cos (2 018x-)的最大值,若存在实数x1,x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A·|x1-x2|的最小值为( B )‎ A.  B. C.  D. ‎[解析] 函数f(x)=sin (2 018x+)+cos [-+(2 018x+)]=sin (2 018x+)+cos [-(2 018x+)]=2sin (2 018x+),所以A=2.因为存在实数x1,x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值是函数f(x)=2sin (2 018x+)的周期的二分之一,则A·|x1-x2|的最小值为函数的一个周期=.故选B.‎ ‎5.已知函数f(x)=4tan xsin (-x)cos (x-)-.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期;‎ ‎(2)讨论f(x)在区间[-,]上的单调性.‎ ‎[解析] (1)f(x)的定义域为,‎ f(x)=4tan xcos xcos (x-)- ‎=4sin xcos (x-)-=4sin x(cos x+sin x)- ‎=2sin xcos x+2sin2x-=sin 2x+(1-cos 2x)- ‎=sin 2x-cos 2x=2sin (2x-).‎ 所以,f(x)的最小正周期T==π.‎ ‎(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,‎ 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.‎ 所以,当x∈[-,]时,f(x)在区间[-,]上单调递增,在区间[-,-]上单调递减.‎
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