【数学】2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 (1)

【数学】2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 (1)

‎ 2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 ‎1、如图，正四面体中，是棱上的动点，设（），记与所成角为，与所成角为，则（ ）‎ A． B．‎ C．当时， D．当时，‎ ‎2、如图，的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3、《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(　　)(注：1丈＝10尺＝100寸，，)‎ A． 600立方寸 B． 610立方寸 C． 620立方寸 D． 633立方寸 ‎4、正方形的边长为1，点在边上，点在边上，．动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为( )‎ A．4 B．3 C．8 D．6‎ ‎5、如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1， l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是 （ ）‎ A． B． C． D． 6、如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD//AC． 过点 A 作圆的切线与DB的延长线交于点E， AD与BC交于点F．若AB = AC，AE = ， BD = 4，则线段CF的长为______．‎ ‎7、在半径为的中,弦相交于点,,则圆心到弦的距离为____________.‎ ‎8、如图，是圆的切线，切点为点，直线与圆交于、两点，的角平分线交弦、于、两点，已知，，则的值为 .‎ ‎9、如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB=，半径OC与弦AB垂直，垂足为点D．若CD的长为，则与弦AB所围成的弓形ACB的面积为______________.‎ ‎ 10、如图，、与交于点，与的另一个交点为，经过点的一条直线分别与、交于点、，的延长线与交于点，作与交于点，再作、分别与、切于点、.证明：.‎ ‎11、如图，设△ABC的外接圆为，的角平分线与BC交于点D，M为BC的中点.若△ADM的外接圆分别于AB、AC交于P、Q，N为PQ的中点，证明：.‎ ‎12、如图，，与圆O分别切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的任意一点，于点D，于点E，于点F.‎ 求证：.‎ ‎13、如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，D为AO上一点，BD的延长线交⊙O于点E，过E点的圆的切线交CA的延长线于点P.‎ 求证：PD2＝PA？PC ‎14、如图，设的外接圆为，的角平分线与BC交于点D，M为BC的中点.若的外接圆分别与AB、AC交于P、Q、N为PQ的中点.证明：（1）BP=CQ；（2）.‎ ‎15、如图，是圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线于点，且满足.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求线段的长.‎ ‎16、如图，四边形是圆的内接四边形，，、的延长线交于点．求证：平分．‎ ‎17、如图，ABCD为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E，F．M，N为AB，CD上两点，EM＝EN，点F在MN的延长线上．求证：∠BFM＝∠AFM．‎ ‎18、如图，在圆内接四边形中，，，.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）求面积的最大值.‎ ‎19、如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于点.求证：．‎ ‎20、如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的切线，连接AD交⊙O于E，若BD∥CE，AB交CE于M，求证：.‎ 参考答案 ‎1、答案：D 作交于时，为正三角形，，是与成的角，根据等腰三角形的性质，作交于,同理可得，当时，，故选D.‎ ‎2、答案：D 由于六边形是正六边形，所以，故是等边三角形，‎ ‎，设点为与的切点，连接，则，，‎ 再根据，进而可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 六边形是正六边形，‎ ‎，‎ 是等边三角形，，‎ 设点为与的切点，连接，则，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：．‎ 名师点评：‎ 本题主要考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出是等边三角形是解答此题 的关键．‎ ‎3、答案：D 由三角形，利用勾股定理可得半径，进而得，再利用，乘以高即可得体积.‎ ‎【详解】‎ 连接，设⊙的半径为，‎ 则，所以.‎ 由于，‎ 所以，即.‎ 所以 平方寸．‎ ‎∴该木材镶嵌在墙中的体积为立方寸，‎ 故选D．‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了垂径定理和勾股定理及扇形的面积公式，柱体的体积公式，属于中档题 ‎4、答案：D 根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数．‎ ‎【详解】‎ 根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，‎ 在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，‎ G在DA上，且DG，‎ 第三次碰撞点为H，H在DC上，且DH，‎ 第四次碰撞点为M，M在CB上，且CM，‎ 第五次碰撞点为N，N在DA上，且AN，‎ 第六次回到E点，AE．‎ 故需要碰撞6次即可．‎ 故选：D．‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，属于难题．‎ ‎5、答案：D ‎【分析】‎ 设与直线交于点．作于，于于．‎ 设，则可得，．由可得 ‎，然后根据勾股定理可得，于是可得△ABC的边长为．‎ ‎【详解】‎ 设与直线交于点．作于，于于．‎ 设，则可得，于是．‎ 由题意得，‎ ‎∴，即，‎ 解得，‎ ‎∴．‎ 在中，‎ 可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴正△ABC的边长．‎ 故选D．‎ 名师点评：‎ 本题考查相似三角形的判定与性质，平行线之间的距离，等边三角形的性质，勾股定理等，考查学生的转化能力和运算能力，在本题的解法中作辅助线将问题进行转化是关键．‎ ‎6、答案：‎ 由圆中弦切角等于角所夹弦所对圆周角及圆中同弧所对的圆周角相等，可证和，由相似比和切割线定理可求解。‎ ‎【详解】‎ 由BD//AC，AE为切线和AB = AC，所以，可得AE//BC,‎ 所以，由 ，…，‎ 所以，可得，‎ 又由切割线定理，可得，解得 即AC=5,所以 ，填。‎ 名师点评：‎ 直线与圆交问题即是解析几何问题，但更是几何问题，所以平面几何圆中的性质定理均可用。‎ ‎7、答案：‎ 如图，作于，连结，由相交弦定理可得：‎ ‎，又由垂径定理可得：，∴圆心到弦的距离.‎ 考点：圆的性质.‎ ‎8、答案：.‎ 由切割线定理可得，由于切圆于点，由弦切角定理可知，由于是的角平分线，则，所以，‎ 由相似三角形得.‎ 考点：1.切割线定理；2.相似三角形 ‎9、答案：‎ 根据弓形ACB的面积等于扇形OAB的面积减去△AOB的面积求解可得所求．‎ ‎【详解】‎ 设扇形的半径为，则在△OAD中，，‎ ‎∴，即，‎ 解得．‎ ‎∴扇形面积为，‎ 又，‎ ‎∴．‎ 名师点评：‎ 解答本题的关键是将弓形的面积转化为扇形的面积与三角形面积的差，然后再根据相关公式求解，考查转化能力和计算能力．‎ ‎10、答案：试题分析：【详解】‎ 联结，与、、分别交于点、、.‎ 由相交弦定理及切割线定理得，.‎ 两式相加得.‎ 又 故 ‎. 11、答案：试题分析：【详解】‎ 如图.‎ 设AB=c，BC=a，AC=b.‎ 由.‎ 类似地，.‎ 于是，.‎ 联结BP、CQ，并设X、Y分别为其中点.‎ 则.‎ 类似地，.‎ 故四边形NYMX为平行四边形.‎ 由，知四边形NYMX为菱形.‎ 从而，MN平分∠XNY.‎ 又AD平分∠BAC，因此，AD∥MN. 12、答案：试题分析：连根据同弧上的圆周角与弦切角相等，可得.再由，，可得，从而得.‎ 同理，，又，，因此，故，从而可得，即.‎ 试题连PB，PC，因为分别为同弧BP上的圆周角和弦切角，所以.‎ 因为，，所以△PDB∽△PFC，故.‎ 同理，，又，，所以△PFB∽△PEC，故.‎ 所以，即. 13、答案：试题分析：利用切线的性质、圆的性质、切割线定理即可得出．‎ ‎【详解】‎ 连结OE，因为PE切⊙O于点E，所以∠OEP=900，所以∠OEB+∠BEP=900，‎ 因为OB=OE，所以∠OBE=∠OEB，因为OB⊥AC于点O，‎ 所以∠OBE+∠BDO=900.‎ 故∠BEP=∠BDO=∠PDE，所以PD=PE，又因为PE切⊙O于点E，所以PE2=PA·PC，‎ 故PD2=PA·PC．‎ 名师点评：‎ 熟练掌握切线的性质、圆的性质、切割线定理是解题的关键． 14、答案：试题分析：‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设 在中，为的平分线，所以，故有，‎ 因此有，所以，‎ 又，由得 由，得 因此.‎ ‎(2)连结BQ、PC，并设X、Y分别为BQ、PC的中点，易证XN平行且等于MY，所以四边形为NXMY平行四边形，由CQ=BP知NX=NY，所以四边形为NXMY菱形，从而MN平分，又AD平分，，，所以. 15、答案：（1）见解析；（2）‎ 试题分析：（1）根据角相等、边相等得三角形全等，即得，再根据直径性质得结果，（2）根据切割线定理求线段的长.‎ 试题（1）连接，.因为是圆的直径，所以，.‎ 因为是圆的切线，所以，‎ 又因为，所以，‎ 于是，得到，‎ 所以，从而.‎ ‎（2）解：由及得到，.由切割线定理，，所以. 16、答案：试题分析：根据圆的内接四边形性质知，又可得，根据传递性知即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 因为四边形是圆的内接四边形，‎ 所以．‎ 因为，所以．‎ 又，‎ ‎，‎ 所以，即平分．‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了圆的内接四边形的性质，等腰三角形底角相等，对顶角相等，属于中档题. 17、答案：试题分析：【分析】‎ 因为，所以，进而得到，再利用三角形外角的性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎.证明：因为EM＝EN，所以∠EMN＝∠ENM，‎ 因为ABCD为圆内接四边形，所以∠FCN＝∠A，‎ 又因为∠EMN＝∠AFM＋∠A，‎ ‎∠ENM＝∠BFM＋∠FCN，‎ 所以∠AFM＝∠BFM．‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了圆的性质，其中解答中熟记圆的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力. 18、答案：（1）；（2）.‎ 试题分析：‎ ‎（1）在中，由余弦定理得，则，结合圆的内接四边形的性质可得.‎ ‎（2）法1：在中，由余弦定理得，‎ 结合均值不等式的结论有，则..当且仅当，面积的最大值为.‎ 法2：由几何关系可知，当为弧中点时，上的高最大，此时是等腰三角形，此时上的高，据此可得面积的最大值为.‎ 试题 ‎（1）在中，由余弦定理得 ‎，‎ 解得，‎ 注意到，‎ 可得.‎ ‎（2）法1：在中，由余弦定理得 ‎，‎ 即，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即.‎ ‎∴.‎ 当且仅当，△BCD为等腰三角形时等号成立，‎ 即面积的最大值为.‎ 法2：如图，当为弧中点时，上的高最大，此时是等腰三角形，易得，作上的高，‎ 在中，由，，得，‎ 可得，‎ 综上知，即面积的最大值为.‎ ‎ 19、答案：证明见解析.‎ 试题分析：【分析】‎ 先证明，再得到.‎ ‎【详解】‎ 证明：因为为圆的切线，弧所对的圆周角为，‎ 所以．①‎ 又因为为半圆的直径，‎ 所以．‎ 又BD⊥CD，所以．②‎ 由①②得，‎ 所以．‎ 名师点评：‎ 本题主要考查相似三角形的判断和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 20、答案：试题分析：连接CB,先证明∠ACB=∠ABD，所以△ACB∽△ABD，所以，即得证.‎ ‎【详解】‎ 连接CB,‎ 因为AB为⊙O的直径，BD是⊙O的切线，所以 因为BD∥CE，所以 因为AB交CE于M，所以M为CE的中点，‎ 所以AC=AE，。‎ 因为BD是⊙O的切线，所以∠ABD=90°‎ 因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠ACB=∠ABD.‎ 因为，所以△ACB∽△ABD，所以，所以 即 名师点评：‎ 本题主要考查平面几何圆的知识，考查相似三角形的判定和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. ‎