绵阳市2009年中考数学试题及答案

绵阳市2009年中考数学试题及答案

绵阳市2009年高级中等教育学校招生统一考试数学试题 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．如果向东走‎80 m记为‎80 m，那么向西走‎60 m记为 A．－‎60 m B．︱－60︱m C．－（－60）m D．m ‎2．点P（－2，1）关于原点对称的点的坐标为 A．（2，1） B．（1，－2） C．（2，－1） D．（－2，1）‎ ‎3．右图中的正五棱柱的左视图应为 A． B． C． D．‎ ‎4．2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应通过注意个人卫生加强防范．研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为‎0.00000156 m，用科学记数法表示这个数是 A．0.156×10－5 B．0.156×‎105 C．1.56×10－6 D．1.56×106 ‎ O M N P ‎5．一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为‎25 cm，∠MPN = 60°，则OP =‎ A．‎50 cm B．25cm C．cm D．50cm ‎6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的14名运动员成绩如下表所示：‎ 成绩／m ‎1.50‎ ‎1.61‎ ‎1.66‎ ‎1.70‎ ‎1.75‎ ‎1.78‎ 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎1‎ 则这些运动员成绩的中位数是 A．1.66 B．‎1.67 C．1.68 D．1.75‎ ‎7．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60° 的菱形，剪口与折痕所成的角a 的度数应为 A．15°或30° B．30°或‎45° ‎C．45°或60° D．30°或60° y A B C D O x a " ‎8．小明在解关于x、y的二元一次方程组 时得到了正确结果 ‎ ‎ 后来发现“Ä”“ Å”处被墨水污损了，请你帮他找出Ä、Å 处的值分别是 A．Ä = 1，Å = 1 B．Ä = 2，Å = 1‎ C．Ä = 1，Å = 2 D．Ä = 2，Å = 2‎ ‎9．已知是正整数，则实数n的最大值为 A．12 B．‎11 C．8 D．3‎ ‎10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的中心在原点，顶点A、C在反比例函数的图象上，AB∥y轴，AD∥x轴，若ABCD的面积为8，则k =‎ A．－2 B．‎2 ‎‎ ‎‎ C．－4 D．4‎ ‎11．如图，四边形ABCD是矩形，AB:AD = 4:3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE:AC =‎ A．1:3 B．3:‎8 C．8:27 D．‎‎7:25‎ ‎12．如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是 A． B． C． D．‎ O2‎ O1‎ A P B C A B C D E 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案直接填写在题中横线上．‎ ‎13．计算：（‎2a2）2 = ．‎ ‎14．如图，直线a∥b，l与a、b交于E、F点，PF平分∠EFD交a于P点，若∠1 = 70°，则∠2 = ．‎ ‎15．如图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作出将“蘑菇”ABCDE绕A点逆时针旋转90°再向右平移2个单位的图形（其中C、D为所在小正方形边的中点）．‎ ‎2‎ ‎1‎ F E D b l P a D C A E B A B E C D ‎16．小明想利用小区附近的楼房来测同一水平线上一棵树的高度．如图，他在同一水平线上选择了一点A，使A与树顶E、楼房顶点D也恰好在一条直线上．小明测得A处的仰角为∠A = 30°．已知楼房CD ‎21米‎，且与树BE之间的距离BC = ‎30米，则此树的高度约为 米．（结果保留两个有效数字，≈1.732）‎ ‎17．一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖（如图），突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是 ．‎ ‎18．将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第 行第 列．‎ 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 第2行 ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ 第3行 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 第4行 ‎12‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎……‎ 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）‎ ‎（1）计算：（－1）2009 + 3（tan 60°）－1－︱1－︱+（3.14－p）0．‎ ‎（2）先化简，再选择一个合适的x值代入求值：．‎ ‎20．新民场镇地处城郊，镇政府为进一步改善场镇人居环境，准备在街道两边植种行道树，行道树的树种选择取决于居民的喜爱情况．为此，新民初中社会调查小组在场镇随机调查了部分居民，并将结果绘制成如下扇形统计图，其中∠AOB = 126°．‎ ‎360‎ ‎320‎ ‎280‎ ‎240‎ ‎200‎ ‎160‎ ‎120‎ ‎80‎ ‎40‎ 人数 香樟 小叶榕 梧桐 柳树 其它 喜爱的树种 其它 ‎10%‎ 柳 树 梧桐 ‎10%‎ A B 香樟 ‎40%‎ O 小叶榕 ‎280人 ‎ ‎ 请根据扇形统计图，完成下列问题：‎ ‎（1）本次调查了多少名居民？其中喜爱柳树的居民有多少人？‎ ‎（2）请将扇形统计图改成条形统计图（在图中完成）；‎ ‎（3）请根据此项调查，对新民场镇植种行道树的树种提出一条建议．‎ ‎21．已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．‎ ‎（1）求实数k的取值范围；‎ ‎（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．‎ ‎22．李大爷一年前买入了相同数量的A、B两种种兔，目前，他所养的这两种种兔数量仍然相同，且A种种兔的数量比买入时增加了20只，B种种兔比买入时的2倍少10只．‎ ‎（1）求一年前李大爷共买了多少只种兔？‎ ‎（2）李大爷目前准备卖出30只种兔，已知卖A种种兔可获利15元／只，卖B种种兔可获利6元／只．如果要求卖出的A种种兔少于B种种兔，且总共获利不低于280元，那么他有哪几种卖兔方案？哪种方案获利最大？请求出最大获利．‎ ‎23．已知抛物线y = ax2－x + c经过点Q（－2，），且它的顶点P的横坐标为－1．设抛物线与x轴相交于A、B两点，如图．‎ x A Q O B C P y ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求A、B两点的坐标；‎ ‎（3）设PB于y轴交于C点，求△ABC的面积．‎ Q P C B A O ‎24．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC =∠BPC = 60°，‎ AB与PC交于Q点．‎ ‎（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）若∠ABP = 15°，△ABC的面积为4，求PC的长．‎ ‎25．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．‎ ‎（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；‎ ‎（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ x O E B A y C F x O E B A y C F x O E B A y C F ‎（3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标．‎ 绵阳市2009年高级中等教育学校招生统一考试数学试题答案 一、选择题 ACBC ACDB BADD 二、填空题 ‎13．‎4a4 14．35° 15．如图所示 16．3.7 17． 18．670，3‎ 三、解答题 ‎19．（1）原式=－1 + 3（）－1－（－1）+ 1 =－1 + 3÷－+ 1 + 1 = 1．‎ ‎（2） 原式 ‎====．‎ A B E C D 取x = 0，则原式=－1．‎ ‎（注：x可取除±1，±外的任意实数，计算正确均可得分）‎ ‎20．（1） ∵ ×100％ = 35％，‎ ‎360‎ ‎320‎ ‎280‎ ‎240‎ ‎200‎ ‎160‎ ‎120‎ ‎80‎ ‎40‎ 人数 香樟 小叶榕 梧桐 柳树 其它 喜爱的树种 ‎∴ 280÷35％ = 800，800×（1－40％－35％－10％－10％）= 40，即本次调查了800名居民，其中喜爱柳树的居民有40人．‎ ‎（2）如图．‎ ‎（3）建议多植种香樟树．（注：答案不惟一）‎ ‎21．（1）△= [ 2（k—1）] 2－4（k2－1）‎ ‎= 4k2－8k + 4－4k2 + 4 =－8k + 8．‎ ‎∵ 原方程有两个不相等的实数根，‎ ‎∴ －8k + 8＞0，解得 k＜1，即实数k的取值范围是 k＜1．‎ ‎（2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k－1）· 0 + k2－1 = 0，‎ 解得 k =－1 或 k = 1（舍去）．‎ 即当 k =－1时，0就为原方程的一个根．‎ 此时，原方程变为 x2－4x = 0，解得 x1 = 0，x2 = 4，所以它的另一个根是4．‎ ‎22．（1）设李大爷一年前买A、B两种种兔各x只，则由题意可列方程为 ‎ x + 20 = 2x－10，解得 x = 30． 即一年前李大爷共买了60只种兔．‎ ‎（2）设李大爷卖A种兔x只，则卖B种兔30－x只，则由题意得 ‎ x＜30－x， ①‎ ‎ 15x +（30－x）×6≥280， ②‎ 解 ①，得 x＜15； 解 ②，得x≥， 即 ≤x＜15．‎ ‎∵ x是整数，≈11.11， ∴ x = 12，13，14．‎ 即李大爷有三种卖兔方案：‎ 方案一 卖A种种兔12只，B种种兔18只；可获利 12×15 + 18×6 = 288（元）；‎ 方案二 卖A种种兔13只，B种种兔17只；可获利 13×15 + 17×6 = 297（元）；‎ 方案三 卖A种种兔14只，B种种兔16只；可获利 14×15 + 16×6 = 306（元）．‎ 显然，方案三获利最大，最大利润为306元．‎ ‎23．（1）由题意得 解得 ，．‎ ‎∴ 抛物线的解析式为．‎ ‎（2）令 y = 0，即 ，整理得 x2 + 2x－3 = 0．‎ 变形为 （x + 3）（x－1）= 0， 解得 x1 =－3，x2 = 1．‎ ‎∴ A（－3，0），B（1，0）．‎ ‎（3）将 x =－l代入 中，得 y = 2，即P（－1，2）．‎ 设直线PB的解析式为 y = kx + b，于是 2 =－k + b，且 0 = k + b．解得 k =－1，b = 1．‎ 即直线PB的解析式为 y =－x + 1．‎ 令 x = 0，则 y = 1， 即 OC = 1．‎ 又 ∵ AB = 1－（－3）= 4，‎ F E Q P C B A O ‎∴ S△ABC =×AB×OC =×4×1 = 2，即△ABC的面积为2．‎ ‎24． （1） ∵ ∠ABC =∠APC = 60°，∠BAC =∠BPC = 60°，‎ ‎∴ ∠ACB = 180°－∠ABC－∠BAC = 60°，‎ ‎∴ △ABC是等边三角形．‎ ‎（2）如图，过B作BD∥PA交PC于D，则 ∠BDP =∠APC = 60°．‎ H R G M N 又 ∵ ∠AQP =∠BQD，∴ △AQP∽△BQD， ．‎ ‎∵ ∠BPD =∠BDP = 60°， ∴ PB = BD． ∴ ．‎ ‎（3）设正△ABC的高为h，则 h = BC· sin 60°．‎ ‎∵ BC · h = 4， 即BC · BC· sin 60° = 4，解得BC = 4．‎ 连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E．‎ 由△ABC是正三角形知∠BOC = 120°，从而得∠OCE = 30°，‎ ‎∴ ．‎ 由∠ABP = 15° 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75°，于是 ∠POC = 2∠PBC = 150°．‎ ‎∴ ∠PCO =（180°－150°）÷2 = 15°．‎ 如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM = 15°，则∠RNG = 30°，作GH⊥RN，垂足为H．设GH = 1，则 cos∠GNM = cos15° = MN．‎ ‎∵ 在Rt△GHN中，NH = GN · cos30°，GH = GN · sin30°．‎ 于是 RH = GH，MN = RN · sin45°，∴ cos15° =．‎ 在图中，作OF⊥PC于E，∴ PC = 2FD = 2 OC ·cos15° =．‎ ‎25．（1）由题意得m = n时，AOBC是正方形．‎ 如图，在OA上取点C，使AG = BE，则OG = OE．‎ ‎∴ ∠EGO = 45°，从而 ∠AGE = 135°．‎ 由BF是外角平分线，得 ∠EBF = 135°，∴ ∠AGE =∠EBF．‎ ‎∵ ∠AEF = 90°，∴ ∠FEB +∠AEO = 90°．‎ 在Rt△AEO中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90°，‎ ‎∴ ∠EAO =∠FEB，∴ △AGE≌△EBF，EF = AE．‎ ‎（2）假设存在点E，使EF = AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．‎ 由（1）知∠EAO =∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．‎ ‎∴ FH = OE，EH = OA．‎ ‎∴ 点F的纵坐标为a，即 FH = a．‎ 由BF是外角平分线，知∠FBH = 45°，∴ BH = FH = a．‎ 又由C（m，n）有OB = m，∴ BE = OB－OE = m－a，‎ x O E B A y C F G ‎∴ EH = m－a + a = m．‎ 又EH = OA = n， ∴ m = n，这与已知m≠n相矛盾．‎ 因此在边OB上不存在点E，使EF = AE成立．‎ ‎（3）如（2）图，设E（a，0），FH = h，则EH = OH－OE = h + m－a．‎ 由 ∠AEF = 90°，∠EAO =∠FEH，得 △AOE∽△EHF，‎ ‎∴ EF =（t + 1）AE等价于 FH =（t + 1）OE，即h =（t + 1）a，‎ 且，即，‎ 整理得 nh = ah + am－a2，∴ ．‎ H x O E B A y C F 把h =（t + 1）a 代入得 ，‎ 即 m－a =（t + 1）（n－a）．‎ 而 m = tn，因此 tn－a =（t + 1）（n－a）．‎ 化简得 ta = n，解得．‎ ‎∵ t＞1， ∴ ＜n＜m，故E在OB边上．‎ ‎∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）．‎