2018中考专题相似三角形

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2018中考专题相似三角形

‎2018中考数学专题相似形 ‎(共40题)‎ ‎1.如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点P为射线BD,CE的交点.‎ ‎(1)求证:BD=CE;‎ ‎(2)若AB=2,AD=1,把△ADE绕点A旋转,当∠EAC=90°时,求PB的长;‎ ‎2.如图,直角△ABC中,∠BAC=90°,D在BC上,连接AD,作BF⊥AD分别交AD于E,AC于F.‎ ‎(1)如图1,若BD=BA,求证:△ABE≌△DBE;‎ ‎(2)如图2,若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD于M,求证:①GM=2MC;②AG2=AF•AC.‎ ‎3.如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.‎ ‎(1)求证:△ADE∽△ABC;‎ ‎(2)若AD=3,AB=5,求的值.‎ ‎4.如图,点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,连结DE,过顶点B作BF⊥DE,垂足为F,BF分别交AC于H,交CD于G.‎ ‎(1)求证:BG=DE;‎ ‎(2)若点G为CD的中点,求的值.‎ ‎5.(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE⊥BF于点M,求证:AE=BF;‎ ‎(2)如图2,将 (1)中的正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=2,BC=3,AE⊥BF于点M,探究AE与BF的数量关系,并证明你的结论.‎ ‎6.如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分∠BAD,点P是AC延长线上一点,且PD⊥AD.‎ ‎(1)证明:∠BDC=∠PDC;‎ ‎(2)若AC与BD相交于点E,AB=1,CE:CP=2:3,求AE的长.‎ ‎7.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.‎ ‎(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;‎ ‎(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;并求当BP=2,CQ=9时BC的长.‎ ‎8.如图,在矩形ABCD中,E为AB边上一点,EC平分∠DEB,F为CE的中点,连接AF,BF,过点E作EH∥BC分别交AF,CD于G,H两点.‎ ‎(1)求证:DE=DC;‎ ‎(2)求证:AF⊥BF;‎ ‎(3)当AF•GF=28时,请直接写出CE的长.‎ ‎9.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,过点B的直线MN∥AC,D为BC边上一点,连接AD,作DE⊥AD交MN于点E,连接AE.‎ ‎(1)如图1,当∠ABC=45°时,求证:AD=DE;‎ ‎(2)如图2,当∠ABC=30°时,线段AD与DE有何数量关系?并请说明理由.‎ ‎10.如图1,边长为2的正方形ABCD中,E是BA延长线上一点,且AE=AB,点P从点D出发,以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动,直线EP交AD于点F,过点F作直线FG⊥DE于点G,交AB于点R.‎ ‎(1)求证:AF=AR;‎ ‎(2)设点P运动的时间为t,‎ ‎①求当t为何值时,四边形PRBC是矩形?‎ ‎②如图2,连接PB.请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值.‎ ‎11.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.‎ ‎(1)已知BD=,求正方形ABCD的边长;‎ ‎(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.‎ ‎12.将两块全等的三角板如图1摆放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°.‎ ‎(1)将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2,点P1是A1C与AB的交点,点Q是A1B1与BC的交点,求证:CP1=CQ;‎ ‎(2)在图2中,若AP1=a,则CQ等于多少?‎ ‎(3)将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C(如图3),点P2是A2‎ C与AP1的交点.当旋转角为多少度时,有△AP1C∽△CP1P2?这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系?‎ ‎.‎ ‎13.把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.已知:∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=10cm.如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动;当点P移动到点B时,点P停止移动,△DEF也随之停止移动.DE与AC交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s).‎ ‎(1)用含t的代数式表示线段AP和AQ的长,并写出t的取值范围;‎ ‎(2)连接PE,设四边形APEQ的面积为y(cm2),试探究y的最大值;‎ ‎(3)当t为何值时,△APQ是等腰三角形.‎ ‎14.△ABC,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,一条直线DE与边AC相交于点D,与边AB相交于点E.‎ ‎(1)如图①,若DE将△ABC分成周长相等的两部分,则AD+AE等于多少;(用a、b、c表示)‎ ‎(2)如图②,若AC=3,AB=5,BC=4.DE将△‎ ABC分成周长、面积相等的两部分,求AD;‎ ‎(3)如图③,若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分,且DE∥BC,则a、b、c满足什么关系?‎ ‎15.已知:如图,四边形ABCD是正方形,∠PAQ=45°,将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转,使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N,连接MN.‎ ‎(1)求证:△ABM∽△NDA;‎ ‎(2)连接BD,当∠BAM的度数为多少时,四边形BMND为矩形,并加以证明.‎ ‎16.如图,在锐角△ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.‎ ‎(1)点G在BE上,且∠BDG=∠C,求证:DG•CF=DM•EG;‎ ‎(2)在图中,取CE上一点H,使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的长.‎ ‎17.△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC上,∠EDF=∠B.‎ ‎(1)如图1,求证:DE•CD=DF•BE ‎(2)D为BC中点如图2,连接EF.‎ ‎①求证:ED平分∠BEF;‎ ‎②若四边形AEDF为菱形,求∠BAC的度数及的值.‎ ‎18.如图,在△ABC 中,点P是AC边上的一点,过点P作与BC平行的直线PQ,交AB于点Q,点D在线段 BC上,联接AD交线段PQ于点E,且=,点G在BC延长线上,∠ACG的平分线交直线PQ于点F.‎ ‎(1)求证:PC=PE;‎ ‎(2)当P是边AC的中点时,求证:四边形AECF是矩形.‎ ‎19.如图,已知△ABC中,AC=BC,点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点,BF、ED的延长线交于点G,连接GC.‎ ‎(1)求证:AB=GD;‎ ‎(2)如图2,当CG=EG时,求的值.‎ ‎20.如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,线段BE、CD相交于点O,且∠DCB=∠EBC=∠A.‎ ‎(1)求证:△BOD∽△BAE;‎ ‎(2)求证:BD=CE;‎ ‎(3)若M、N分别是BE、CE的中点,过MN的直线交AB于P,交AC于Q,线段AP、AQ相等吗?为什么?‎ ‎21.如图,在矩形ABCD和矩形PEFG中,AB=8,BC=6,PE=2,PG=4.PE与AC交于点M,EF与AC交于点N,动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,伴随点P的运动,矩形PEFG在射线AB上滑动;动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动.点P、K同时开始运动,当点K到达点F时停止运动,点P也随之停止.设点P、K运动的时间是t秒(t>0).‎ ‎(1)当t=1时,KE=   ,EN=   ;‎ ‎(2)当t为何值时,△APM的面积与△MNE的面积相等?‎ ‎(3)当点K到达点N时,求出t的值;‎ ‎(4)当t为何值时,△PKB是直角三角形?‎ ‎22.如图(1),在△ABC中,AD是BC边的中线,过A点作AE∥BC与过D点作DE∥AB交于点E,连接CE.‎ ‎(1)求证:四边形ADCE是平行四边形.‎ ‎(2)连接BE,AC分别与BE、DE交于点F、G,如图(2),若AC=6,求FG的长.‎ ‎23.已知:在正方形ABCD中,点E、F分别是CB、CD延长线上的点,且BE=DF,联结AE、AF、DE、DE交AB于点M.‎ ‎(1)如图1,当E、A、F在一直线上时,求证:点M为ED中点;‎ ‎(2)如图2,当AF∥ED,求证:AM2=AB•BM.‎ ‎24.已知,如图1,点D、E分别在AB,AC上,且=.‎ ‎(1)求证:DE∥BC.‎ ‎(2)已知,如图2,在△ABC中,点D为边AC上任意一点,连结BD,取BD中点E,连结CE并延长CE交边AB于点F,求证:=.‎ ‎(3)在(2)的条件下,若AB=AC,AF=CD,求的值.‎ ‎25.已知△ABC,AC=BC,点E,F在直线AB上,∠ECF=∠A.‎ ‎(1)如图1,点E,F在AB上时,求证:AC2=AF•BE;‎ ‎(2)如图2,点E,F在AB及其延长线上,∠A=60°,AB=4,BE=3,求BF的长.‎ ‎26.如图,正方形ABCD,∠EAF=45°.交BC、CD于E、F,交BD于H、G.‎ ‎(1)求证:AD2=BG•DH;‎ ‎(2)求证:CE=DG;‎ ‎(3)求证:EF=HG.‎ ‎27.如图,C为线段BD上一动点,过B、D分别作BD的垂线,使AB=BC,DE=DB,连接AD、AC、BE,过B作AD的垂线,垂足为F,连接CE、EF.‎ ‎(1)求证:AC•DF=BF•BD;‎ ‎(2)点C运动的过程中,∠CFE的度数保持不变,求出这个度数;‎ ‎(3)当点C运动到什么位置时,CE∥BF?并说明理由.‎ ‎28.如图,在△ABC中,点D在边AB上(不与A,B重合),DE∥BC交AC于点E,将△ADE沿直线DE翻折,得到△‎ A′DE,直线DA′,EA′分别交直线BC于点M,N.‎ ‎(1)求证:DB=DM.‎ ‎(2)若=2,DE=6,求线段MN的长.‎ ‎(3)若=n(n≠1),DE=a,则线段MN的长为   (用含n的代数式表示).‎ ‎29.如图,已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形,点E在线段DC上,点A、D、G在同一直线上,且AD=3,DE=1,连接AC、CG、AE,并延长AE交OG于点H.‎ ‎(1)求证:∠DAE=∠DCG.‎ ‎(2)求线段HE的长.‎ ‎30.如图,△ABC中,点E、F分别在边AB,AC上,BF与CE相交于点P,且∠1=∠2=∠A.‎ ‎(1)如图1,若AB=AC,求证:BE=CF;‎ ‎(2)若图2,若AB≠AC,‎ ‎①(1)中的结论是否成立?请给出你的判断并说明理由;‎ ‎②求证:=.‎ ‎31.如图1,在锐角△ABC中,D、E分别是AB、BC的中点,点F在AC上,且满足∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.‎ ‎(1)证明:DM=DA;‎ ‎(2)点G在BE上,且∠BDG=∠C,如图2,求证:△DEG∽△ECF;‎ ‎(3)在图2中,取CE上一点H,使得∠CFH=∠B,若BG=5,求EH的长.‎ ‎32.如图,正方形ABCD中,边长为12,DE⊥DC交AB于点E,DF平分∠EDC交BC于点F,连接EF.‎ ‎(1)求证:EF=CF;‎ ‎(2)当=时,求EF的长.‎ ‎33.如图,已知在△ABC中,P为边AB上一点,连接CP,M为CP的中点,连接BM并延长,交AC于点D,N为AP的中点,连接MN.若∠ACP=∠ABD.‎ ‎(1)求证:AC•MN=BN•AP;‎ ‎(2)若AB=3,AC=2,求AP的长.‎ ‎34.如图,已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线,点E在△ABC内,∠CAE+∠CBE=90°,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时,连接BF.‎ ‎(1)求证:△CAE∽△CBF; ‎ ‎(2)若BE=1,AE=2,求CE的长.‎ ‎35.如图①,矩形ABCD中,AB=2,BC=5,BP=1,∠MPN=90°,将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转,PM交边AB(或AD)于点E,PN交边AD(或CD)于点F,当PN旋转至PC处时,∠MPN的旋转随即停止.‎ ‎(1)特殊情形:如图②,发现当PM过点A时,PN也恰巧过点D,此时,△ABP   △PCD(填“≌”或“~”);‎ ‎(2)类比探究:如图③,在旋转过程中,的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.‎ ‎36.如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分)的面积分别是1、4、25.则△ABC的面积是   .‎ ‎37.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,CO⊥AB于点O,D是线段OB上一点,DE=2,ED∥AC(∠ADE<90°),连接BE、CD.设BE、CD的中点分别为P、Q.‎ ‎(1)求AO的长;‎ ‎(2)求PQ的长;‎ ‎(3)设PQ与AB的交点为M,请直接写出|PM﹣MQ|的值.‎ ‎38.尤秀同学遇到了这样一个问题:如图1所示,已知AF,BE是△ABC的中线,且AF⊥BE,垂足为P,设BC=a,AC=b,AB=c.‎ 求证:a2+b2=5c2‎ 该同学仔细分析后,得到如下解题思路:‎ 先连接EF,利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA,故,设PF=m,PE=n,用m,n把PA,PB分别表示出来,再在Rt△APE,Rt△BPF中利用勾股定理计算,消去m,n即可得证 ‎(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.‎ ‎(2)利用题中的结论,解答下列问题:‎ 在边长为3的菱形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F分别为线段AO,DO的中点,连接BE,CF并延长交于点M,BM,CM分别交AD于点G,H,如图2所示,求MG2+MH2的值.‎ ‎39.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,射线AG分别交线段DE,BC于点F,G,且.‎ ‎(1)求证:△ADF∽△ACG;‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎40.如图,四边形中ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,P为对角线AC延长线上的任意一点,PF交AD于M,PE交BC于N,EF交MN于K.‎ 求证:K是线段MN的中点.‎ ‎ ‎ ‎ 参考答案与试题解析 ‎(共40题)‎ ‎1.(2017•阿坝州)如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点P为射线BD,CE的交点.‎ ‎(1)求证:BD=CE;‎ ‎(2)若AB=2,AD=1,把△ADE绕点A旋转,当∠EAC=90°时,求PB的长;‎ ‎【解答】解:(1)∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,‎ ‎∴AB=AC,AD=AE,∠DAB=∠CAE.‎ ‎∴△ADB≌△AEC.‎ ‎∴BD=CE.‎ ‎(2)解:①当点E在AB上时,BE=AB﹣AE=1.‎ ‎∵∠EAC=90°,‎ ‎∴CE==.‎ 同(1)可证△ADB≌△AEC.‎ ‎∴∠DBA=∠ECA.‎ ‎∵∠PEB=∠AEC,‎ ‎∴△PEB∽△AEC.‎ ‎∴=.‎ ‎∴=.‎ ‎∴PB=.‎ ‎②当点E在BA延长线上时,BE=3.‎ ‎∵∠EAC=90°,‎ ‎∴CE==.‎ 同(1)可证△ADB≌△AEC.‎ ‎∴∠DBA=∠ECA.‎ ‎∵∠BEP=∠CEA,‎ ‎∴△PEB∽△AEC.‎ ‎∴=.‎ ‎∴=.‎ ‎∴PB=.‎ 综上所述,PB的长为或.‎ ‎ ‎ ‎2.(2017•常德)如图,直角△ABC中,∠BAC=90°,D在BC上,连接AD,作BF⊥AD分别交AD于E,AC于F.‎ ‎(1)如图1,若BD=BA,求证:△ABE≌△DBE;‎ ‎(2)如图2,若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD于M,求证:①GM=2MC;②AG2=AF•AC.‎ ‎【解答】证明:(1)在Rt△ABE和Rt△DBE中,,‎ ‎∴△ABE≌△DBE;‎ ‎(2)①过G作GH∥AD交BC于H,‎ ‎∵AG=BG,‎ ‎∴BH=DH,‎ ‎∵BD=4DC,‎ 设DC=1,BD=4,‎ ‎∴BH=DH=2,‎ ‎∵GH∥AD,‎ ‎∴==,‎ ‎∴GM=2MC;‎ ‎②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N,则CN∥AG,‎ ‎∴△AGM∽△NCM,‎ ‎∴=,‎ 由①知GM=2MC,‎ ‎∴2NC=AG,‎ ‎∵∠BAC=∠AEB=90°,‎ ‎∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE,‎ ‎∴△ACN∽△BAF,‎ ‎∴=,‎ ‎∵AB=2AG,‎ ‎∴=,‎ ‎∴2CN•AG=AF•AC,‎ ‎∴AG2=AF•AC.‎ ‎3.(2017•杭州)如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.‎ ‎(1)求证:△ADE∽△ABC;‎ ‎(2)若AD=3,AB=5,求的值.‎ ‎【解答】解:(1)∵AG⊥BC,AF⊥DE,‎ ‎∴∠AFE=∠AGC=90°,‎ ‎∵∠EAF=∠GAC,‎ ‎∴∠AED=∠ACB,‎ ‎∵∠EAD=∠BAC,‎ ‎∴△ADE∽△ABC,‎ ‎(2)由(1)可知:△ADE∽△ABC,‎ ‎∴=‎ 由(1)可知:∠AFE=∠AGC=90°,‎ ‎∴∠EAF=∠GAC,‎ ‎∴△EAF∽△CAG,‎ ‎∴,‎ ‎∴=‎ ‎4.(2017•眉山)如图,点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,连结DE,过顶点B作BF⊥DE,垂足为F,BF分别交AC于H,交CD于G.‎ ‎(1)求证:BG=DE;‎ ‎(2)若点G为CD的中点,求的值.‎ ‎【解答】解:(1)∵BF⊥DE,‎ ‎∴∠GFD=90°,‎ ‎∵∠BCG=90°,∠BGC=∠DGF,‎ ‎∴∠CBG=∠CDE,‎ 在△BCG与△DCE中,‎ ‎∴△BCG≌△DCE(ASA),‎ ‎∴BG=DE,‎ ‎(2)设CG=1,‎ ‎∵G为CD的中点,‎ ‎∴GD=CG=1,‎ 由(1)可知:△BCG≌△DCE(ASA),‎ ‎∴CG=CE=1,‎ ‎∴由勾股定理可知:DE=BG=,‎ ‎∵sin∠CDE==,‎ ‎∴GF=,‎ ‎∵AB∥CG,‎ ‎∴△ABH∽△CGH,‎ ‎∴=,‎ ‎∴BH=,GH=,‎ ‎∴=‎ ‎5.(2017•河池)(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE⊥BF于点M,求证:AE=BF;‎ ‎(2)如图2,将 (1)中的正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=2,BC=3,AE⊥BF于点M,探究AE与BF的数量关系,并证明你的结论.‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠ABC=∠C,AB=BC.‎ ‎∵AE⊥BF,‎ ‎∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°,‎ ‎∵∠ABM+∠CBF=90°,‎ ‎∴∠BAM=∠CBF.‎ 在△ABE和△BCF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△BCF(ASA),‎ ‎∴AE=BF;‎ ‎(2)解:AE=BF,‎ 理由:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠ABC=∠C,‎ ‎∵AE⊥BF,‎ ‎∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°,‎ ‎∵∠ABM+∠CBF=90°,‎ ‎∴∠BAM=∠CBF,‎ ‎∴△ABE∽△BCF,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AE=BF.‎ ‎6.(2017•泰安)如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分∠BAD,点P是AC延长线上一点,且PD⊥AD.‎ ‎(1)证明:∠BDC=∠PDC;‎ ‎(2)若AC与BD相交于点E,AB=1,CE:CP=2:3,求AE的长.‎ ‎【解答】(1)证明:∵AB=AD,AC平分∠BAD,‎ ‎∴AC⊥BD,‎ ‎∴∠ACD+∠BDC=90°,‎ ‎∵AC=AD,‎ ‎∴∠ACD=∠ADC,‎ ‎∴∠ADC+∠BDC=90°,‎ ‎∵PD⊥AD,‎ ‎∴∠ADC+∠PDC=90°,‎ ‎∴∠BDC=∠PDC;‎ ‎(2)解:过点C作CM⊥PD于点M,‎ ‎∵∠BDC=∠PDC,‎ ‎∴CE=CM,‎ ‎∵∠CMP=∠ADP=90°,∠P=∠P,‎ ‎∴△CPM∽△APD,‎ ‎∴=,‎ 设CM=CE=x,‎ ‎∵CE:CP=2:3,‎ ‎∴PC=x,‎ ‎∵AB=AD=AC=1,‎ ‎∴=,‎ 解得:x=,‎ 故AE=1﹣=.‎ ‎7.(2017•天水)△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.‎ ‎(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;‎ ‎(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;并求当BP=2,CQ=9时BC的长.‎ ‎【解答】(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠B=∠C=45°,AB=AC,‎ ‎∵AP=AQ,‎ ‎∴BP=CQ,‎ ‎∵E是BC的中点,‎ ‎∴BE=CE,‎ 在△BPE和△CQE中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△BPE≌△CQE(SAS);‎ ‎(2)解:∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,‎ ‎∴∠B=∠C=∠DEF=45°,‎ ‎∵∠BEQ=∠EQC+∠C,‎ 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,‎ ‎∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,‎ ‎∴∠BEP=∠EQC,‎ ‎∴△BPE∽△CEQ,‎ ‎∴=,‎ ‎∵BP=2,CQ=9,BE=CE,‎ ‎∴BE2=18,‎ ‎∴BE=CE=3,‎ ‎∴BC=6.‎ ‎8.(2017•绥化)如图,在矩形ABCD中,E为AB边上一点,EC平分∠DEB,F为CE的中点,连接AF,BF,过点E作EH∥BC分别交AF,CD于G,H两点.‎ ‎(1)求证:DE=DC;‎ ‎(2)求证:AF⊥BF;‎ ‎(3)当AF•GF=28时,请直接写出CE的长.‎ ‎【解答】解:(1)∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AB∥CD,‎ ‎∴∠DCE=∠CEB,‎ ‎∵EC平分∠DEB,‎ ‎∴∠DEC=∠CEB,‎ ‎∴∠DCE=∠DEC,‎ ‎∴DE=DC;‎ ‎(2)如图,连接DF,‎ ‎∵DE=DC,F为CE的中点,‎ ‎∴DF⊥EC,‎ ‎∴∠DFC=90°,‎ 在矩形ABCD中,AB=DC,∠ABC=90°,‎ ‎∴BF=CF=EF=EC,‎ ‎∴∠ABF=∠CEB,‎ ‎∵∠DCE=∠CEB,‎ ‎∴∠ABF=∠DCF,‎ 在△ABF和△DCF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABF≌△DCF(SAS),‎ ‎∴∠AFB=∠DFC=90°,‎ ‎∴AF⊥BF;‎ ‎(3)CE=4.‎ 理由如下:∵AF⊥BF,‎ ‎∴∠BAF+∠ABF=90°,‎ ‎∵EH∥BC,∠ABC=90°,‎ ‎∴∠BEH=90°,‎ ‎∴∠FEH+∠CEB=90°,‎ ‎∵∠ABF=∠CEB,‎ ‎∴∠BAF=∠FEH,‎ ‎∵∠EFG=∠AFE,‎ ‎∴△EFG∽△AFE,‎ ‎∴=,即EF2=AF•GF,‎ ‎∵AF•GF=28,‎ ‎∴EF=2,‎ ‎∴CE=2EF=4.‎ ‎9.(2017•雨城区校级自主招生)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,过点B的直线MN∥AC,D为BC边上一点,连接AD,作DE⊥AD交MN于点E,连接AE.‎ ‎(1)如图1,当∠ABC=45°时,求证:AD=DE;‎ ‎(2)如图2,当∠ABC=30°时,线段AD与DE有何数量关系?并请说明理由.‎ ‎【解答】(1)证明:如图1,过点D作DF⊥BC,交AB于点F,‎ 则∠BDE+∠FDE=90°,‎ ‎∵DE⊥AD,‎ ‎∴∠FDE+∠ADF=90°,‎ ‎∴∠BDE=∠ADF,‎ ‎∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,‎ ‎∴∠C=45°,‎ ‎∵MN∥AC,‎ ‎∴∠EBD=180°﹣∠C=135°,‎ ‎∵∠BFD=45°,DF⊥BC,‎ ‎∴∠BFD=45°,BD=DF,‎ ‎∴∠AFD=135°,‎ ‎∴∠EBD=∠AFD,‎ 在△BDE和△FDA中 ‎,‎ ‎∴△BDE≌△FDA(ASA),‎ ‎∴AD=DE;‎ ‎(2)解:DE=AD,‎ 理由:如图2,过点D作DG⊥BC,交AB于点G,‎ 则∠BDE+∠GDE=90°,‎ ‎∵DE⊥AD,‎ ‎∴∠GDE+∠ADG=90°,‎ ‎∴∠BDE=∠ADG,‎ ‎∵∠BAC=90°,∠ABC=30°,‎ ‎∴∠C=60°,‎ ‎∵MN∥AC,‎ ‎∴∠EBD=180°﹣∠C=120°,‎ ‎∵∠ABC=30°,DG⊥BC,‎ ‎∴∠BGD=60°,‎ ‎∴∠AGD=120°,‎ ‎∴∠EBD=∠AGD,‎ ‎∴△BDE∽△GDA,‎ ‎∴=,‎ 在Rt△BDG中,=tan30°=,‎ ‎∴DE=AD.‎ ‎10.(2017•深圳模拟)如图1,边长为2的正方形ABCD中,E是BA延长线上一点,且AE=AB,点P从点D出发,以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动,直线EP交AD于点F,过点F作直线FG⊥DE于点G,交AB于点R.‎ ‎(1)求证:AF=AR;‎ ‎(2)设点P运动的时间为t,‎ ‎①求当t为何值时,四边形PRBC是矩形?‎ ‎②如图2,连接PB.请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值.‎ ‎【解答】(1)证明:如图,在正方形ABCD中,AD=AB=2,‎ ‎∵AE=AB,‎ ‎∴AD=AE,‎ ‎∴∠AED=∠ADE=45°,‎ 又∵FG⊥DE,‎ ‎∴在Rt△EGR中,∠GER=∠GRE=45°,‎ ‎∴在Rt△ARF中,∠FRA=∠AFR=45°,‎ ‎∴∠FRA=∠RFA=45°,‎ ‎∴AF=AR;‎ ‎(2)解:①如图,当四边形PRBC是矩形时,‎ 则有PR∥BC,‎ ‎∴AF∥PR,‎ ‎∴△EAF∽△ERP,‎ ‎∴,即:由(1)得AF=AR,‎ ‎∴,‎ 解得:或(不合题意,舍去),‎ ‎∴,‎ ‎∵点P从点D出发,以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动,‎ ‎∴(秒);‎ ‎②若PR=PB,‎ 过点P作PK⊥AB于K,‎ 设FA=x,则RK=BR=(2﹣x),‎ ‎∵△EFA∽△EPK,‎ ‎∴,‎ 即:=,‎ 解得:x=±﹣3(舍去负值);‎ ‎∴t=(秒);‎ 若PB=RB,‎ 则△EFA∽△EPB,‎ ‎∴=,‎ ‎∴,‎ ‎∴BP=AB=×2=‎ ‎∴CP=BC﹣BP=2﹣=,‎ ‎∴(秒).‎ 综上所述,当PR=PB时,t=;当PB=RB时,秒.‎ ‎11.(2017•江汉区校级模拟)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.‎ ‎(1)已知BD=,求正方形ABCD的边长;‎ ‎(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.‎ ‎【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴△ABD是等腰直角三角形,‎ ‎∴2AB2=BD2,‎ ‎∵BD=,‎ ‎∴AB=1,‎ ‎∴正方形ABCD的边长为1;‎ ‎(2)CN=2EM 证明方法一、理由:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AC⊥BD,OA=OC ‎∵CF=CA,CE是∠ACF的平分线,‎ ‎∴CE⊥AF,AE=FE ‎∴EO为△AFC的中位线 ‎∴EO∥BC ‎∴‎ ‎∴在Rt△AEN中,OA=OC ‎∴EO=OC=AC,‎ ‎∴CM=EM ‎∵CE平分∠ACF,‎ ‎∴∠OCM=∠BCN,‎ ‎∵∠NBC=∠COM=90°,‎ ‎∴△CBN∽△COM,‎ ‎∴,‎ ‎∴CN=CM,‎ 即CN=2EM.‎ 证明方法二、∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠BAC=45°=∠DBC,‎ 由(1)知,在Rt△ACE中,EO=AC=CO,‎ ‎∴∠OEC=∠OCE,‎ ‎∵CE平分∠ACF,‎ ‎∴∠OCE=∠ECB=∠OEC,‎ ‎∴EO∥BC,‎ ‎∴∠EOM=∠DBC=45°,‎ ‎∵∠OEM=∠OCE ‎∴△EOM∽△CAN,‎ ‎∴,‎ ‎∴CN=2CM.‎ ‎12.(2017•济宁二模)将两块全等的三角板如图1摆放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°.‎ ‎(1)将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2,点P1是A1C与AB的交点,点Q是A1B1与BC的交点,求证:CP1=CQ;‎ ‎(2)在图2中,若AP1=a,则CQ等于多少?‎ ‎(3)将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C(如图3),点P2是A2C与AP1的交点.当旋转角为多少度时,有△AP1C∽△CP1P2?这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系?.‎ ‎【解答】(1)证明:∵∠B1CB=45°,∠B1CA1=90°,‎ ‎∴∠B1CQ=∠BCP1=45°;‎ 又B1C=BC,∠B1=∠B,‎ ‎∴△B1CQ≌△BCP1(ASA)‎ ‎∴CQ=CP1;‎ ‎(2)解:如图:作P1D⊥AC于D,‎ ‎∵∠A=30°,‎ ‎∴P1D=AP1;‎ ‎∵∠P1CD=45°,‎ ‎∴=sin45°=,‎ ‎∴CP1=P1D=AP1;‎ 又AP1=a,CQ=CP1,‎ ‎∴CQ=a;‎ ‎(3)解:当∠P1CP2=∠P1AC=30°时,由于∠CP1P2=∠AP1C,则△AP1C∽△CP1P2,‎ 所以将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B2C时,有△AP1C∽△CP1P2.‎ 这时==,‎ ‎∴P1P2=CP1.‎ ‎13.(2017•惠阳区模拟)把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.已知:∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=10cm.如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动;当点P移动到点B时,点P停止移动,△DEF也随之停止移动.DE与AC交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s).‎ ‎(1)用含t的代数式表示线段AP和AQ的长,并写出t的取值范围;‎ ‎(2)连接PE,设四边形APEQ的面积为y(cm2),试探究y的最大值;‎ ‎(3)当t为何值时,△APQ是等腰三角形.‎ ‎【解答】(1)解:AP=2t ‎∵∠EDF=90°,∠DEF=45°,‎ ‎∴∠CQE=45°=∠DEF,‎ ‎∴CQ=CE=t,‎ ‎∴AQ=8﹣t,‎ t的取值范围是:0≤t≤5;‎ ‎(2)过点P作PG⊥x轴于G,可求得AB=10,SinB=,PB=10﹣2t,EB=6﹣t,‎ ‎∴PG=PBSinB=(10﹣2t)‎ ‎∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==‎ ‎∴当(在0≤t≤5内),y有最大值,y最大值=(cm2)‎ ‎(3)若AP=AQ,则有2t=8﹣t解得:(s)‎ 若AP=PQ,如图①:过点P作PH⊥AC,则AH=QH=,PH∥BC ‎∴△APH∽△ABC,‎ ‎∴,‎ 即,‎ 解得:(s)‎ 若AQ=PQ,如图②:过点Q作QI⊥AB,则AI=PI=AP=t ‎∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A,‎ ‎∴△AQI∽△ABC ‎∴即,‎ 解得:(s)‎ 综上所述,当或或时,△APQ是等腰三角形.‎ ‎14.(2017•庐阳区一模)△ABC,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,一条直线DE与边AC相交于点D,与边AB相交于点E.‎ ‎(1)如图①,若DE将△ABC分成周长相等的两部分,则AD+AE等于多少;(用a、b、c表示)‎ ‎(2)如图②,若AC=3,AB=5,BC=4.DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分,求AD;‎ ‎(3)如图③,若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分,且DE∥BC,则a、b、c满足什么关系?‎ ‎【解答】解:(1)∵DE将△ABC分成周长相等的两部分,‎ ‎∴AD+AE=CD+BC+BE=(AB+AC+BC)=(a+b+c);‎ ‎(2)设AD=x,AE=6﹣x,‎ ‎∵S△ADE=AD•AE•sinA=3,‎ 即:x(6﹣x)•=3,‎ 解得:x1=(舍去),x2=,‎ ‎∴AD=;‎ ‎(3)∵DE∥BC,‎ ‎∴△ADE∽△ABC,‎ ‎∴,‎ ‎∵=,‎ ‎∴AD=b,AE=c,‎ ‎∴bc=(a+b+c),‎ ‎∴=﹣1.‎ ‎15.(2017•嘉兴模拟)已知:如图,四边形ABCD是正方形,∠PAQ=45°,将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转,使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N,连接MN.‎ ‎(1)求证:△ABM∽△NDA;‎ ‎(2)连接BD,当∠BAM的度数为多少时,四边形BMND为矩形,并加以证明.‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°,‎ ‎∵BM、DN分别是正方形的两个外角平分线,‎ ‎∴∠ABM=∠ADN=135°,‎ ‎∵∠MAN=45°,‎ ‎∴∠BAM=∠AND=45°﹣∠DAN,‎ ‎∴△ABM∽△NDA;‎ ‎(2)解:当∠BAM=22.5°时,四边形BMND为矩形;理由如下:‎ ‎∵∠BAM=22.5°,∠EBM=45°,‎ ‎∴∠AMB=22.5°,‎ ‎∴∠BAM=∠AMB,‎ ‎∴AB=BM,‎ 同理AD=DN,‎ ‎∵AB=AD,∴BM=DN,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形 ‎∴∠ABD=∠ADB=45°,‎ ‎∴∠BDN=∠DBM=90°‎ ‎∴∠BDN+∠DBM=180°,‎ ‎∴BM∥DN ‎∴四边形BMND为平行四边形,‎ ‎∵∠BDN=90°,‎ ‎∴四边形BMND为矩形.‎ ‎16.(2017•肥城市三模)如图,在锐角△ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.‎ ‎(1)点G在BE上,且∠BDG=∠C,求证:DG•CF=DM•EG;‎ ‎(2)在图中,取CE上一点H,使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的长.‎ ‎【解答】(1)证明:如图1所示,‎ ‎∴D,E分别为AB,BC中点,‎ ‎∴DE∥AC ‎∵DM∥EF,‎ ‎∴四边形DEFM是平行四边形,‎ ‎∴DM=EF,‎ 如图2所示,‎ ‎∵D、E分别是AB、BC的中点,‎ ‎∴DE∥AC,‎ ‎∴∠BDE=∠A,∠DEG=∠C,‎ ‎∵∠AFE=∠A,‎ ‎∴∠BDE=∠AFE,‎ ‎∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC,‎ ‎∵∠BDG=∠C,‎ ‎∴∠GDE=∠FEC,‎ ‎∴△DEG∽△ECF;‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴DG•CF=DM•EG;‎ ‎(2)解:如图3所示,‎ ‎∵∠BDG=∠C=∠DEB,∠B=∠B,‎ ‎∴△BDG∽△BED,‎ ‎∴,‎ ‎∴BD2=BG•BE,‎ ‎∵∠AFE=∠A,∠CFH=∠B,‎ ‎∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH,‎ 又∵∠FEH=∠CEF,‎ ‎∴△EFH∽△ECF,‎ ‎∴=,‎ ‎∴EF2=EH•EC,‎ ‎∵DE∥AC,DM∥EF,‎ ‎∴四边形DEFM是平行四边形,‎ ‎∴EF=DM=DA=BD,‎ ‎∴BG•BE=EH•EC,‎ ‎∵BE=EC,‎ ‎∴EH=BG=1.‎ ‎17.(2017•肥城市模拟)△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC上,∠EDF=∠B.‎ ‎(1)如图1,求证:DE•CD=DF•BE ‎(2)D为BC中点如图2,连接EF.‎ ‎①求证:ED平分∠BEF;‎ ‎②若四边形AEDF为菱形,求∠BAC的度数及的值.‎ ‎【解答】(1)证明:∵△ABC中,AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠C.‎ ‎∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°,∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°,∠EDF=∠B,‎ ‎∴∠FDC=∠DEB,‎ ‎∴△BDE∽△CFD,‎ ‎∴,‎ 即DE•CD=DF•BE;‎ ‎(2)解:①由(1)证得△BDE∽△CFD,‎ ‎∴,‎ ‎∵D为BC中点,‎ ‎∴BD=CD,‎ ‎∴=,‎ ‎∵∠B=∠EDF,‎ ‎∴△BDE~△DFE,‎ ‎∴∠BED=∠DEF,‎ ‎∴ED平分∠BEF;‎ ‎②∵四边形AEDF为菱形,‎ ‎∴∠AEF=∠DEF,‎ ‎∵∠BED=∠DEF,‎ ‎∴∠AEF=60°,‎ ‎∵AE=AF,‎ ‎∴∠BAC=60°,‎ ‎∵∠BAC=60°,‎ ‎∴△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠B=60°,‎ ‎∴△BED是等边三角形,‎ ‎∴BE=DE,‎ ‎∵AE=DE,‎ ‎∴AE=AB,‎ ‎∴=.‎ ‎18.(2017•长宁区二模)如图,在△ABC 中,点P是AC边上的一点,过点P作与BC平行的直线PQ,交AB于点Q,点D在线段 BC上,联接AD交线段PQ于点E,且=,点G在BC延长线上,∠ACG的平分线交直线PQ于点F.‎ ‎(1)求证:PC=PE;‎ ‎(2)当P是边AC的中点时,求证:四边形AECF是矩形.‎ ‎【解答】(1)证明:∵PQ∥BC,‎ ‎∴△AQE∽△ABD,△AEP∽△ADC,‎ ‎∴=,,‎ ‎∴=,‎ ‎∵=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴PC=PE;‎ ‎(2)∵PF∥DG,‎ ‎∴∠PFC=∠FCG,‎ ‎∵CF平分∠PCG,‎ ‎∴∠PCF=∠FCG,‎ ‎∴∠PFC=∠FCG,‎ ‎∴PF=PC,‎ ‎∴PF=PE,‎ ‎∵P是边AC的中点,‎ ‎∴AP=CP,‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形,‎ ‎∵PQ∥CD,‎ ‎∴∠PEC=∠DCE,‎ ‎∴∠PCE=∠DCE,‎ ‎∴∠PCE+∠PCF=(∠PCD+∠PCG)=90°,‎ ‎∴∠ECF=90°,‎ ‎∴平行四边形AECF是矩形.‎ ‎19.(2017•安徽模拟)如图,已知△ABC中,AC=BC,点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点,BF、ED的延长线交于点G,连接GC.‎ ‎(1)求证:AB=GD;‎ ‎(2)如图2,当CG=EG时,求的值.‎ ‎【解答】解:(1)∵D、E分别是线段AC、BC的中点,‎ ‎∴DE为△ABC的中位线,‎ ‎∴DE∥AB,即EG∥AB,‎ ‎∴∠FDG=∠A,‎ ‎∵点F为线段AD的中点,‎ ‎∴AF=DF,‎ 在△ABF与△DGF中,‎ ‎∴△ABF≌△DGF(ASA)‎ ‎∴AB=GD ‎(2)∵DE为△ABC的中位线,‎ ‎∴DE=AB,CE=BC=AC ‎∵DG=AB,‎ ‎∴EG=DE+DG ‎∴EG=AB ‎∵DE∥AB,‎ ‎∴∠GEC=∠CBA,‎ ‎∵AC=BC,CG=EG ‎∴△GEC∽△CBA ‎∴,‎ 即,‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎20.(2017•蜀山区二模)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,线段BE、CD相交于点O,且∠DCB=∠EBC=∠A.‎ ‎(1)求证:△BOD∽△BAE;‎ ‎(2)求证:BD=CE;‎ ‎(3)若M、N分别是BE、CE的中点,过MN的直线交AB于P,交AC于Q,线段AP、AQ相等吗?为什么?‎ ‎【解答】(1)证明:∵∠BCO=∠CBO,‎ ‎∴∠DOB=∠BCO+CBO=2∠BCO,‎ ‎∵∠A=2∠BCO,‎ ‎∴∠DOB=∠A,‎ ‎∵∠ABE=∠ABE,‎ ‎∴△BOD∽△BAE;‎ ‎(2)解:延长CD,在CD延长线上取一点F,使BF=BD,‎ ‎∴∠BDF=∠BFD,‎ ‎∵∠BDF=∠ABO+∠DOB,∠BEC=∠ABO+∠A,‎ 由(1)得∠BOD=∠A,‎ ‎∴∠BDF=∠BEC,‎ ‎∴∠BFD=∠BEC,‎ 在△BFC与△CEB中,,‎ ‎∴△BFC≌△CEB,‎ ‎∴BD=BF,‎ ‎∴BD=CE;‎ ‎(3)解:AP=AQ,‎ 理由:取BC的中点G,连接GM,GN,‎ ‎∵M,N分别是BE,CD的中点,‎ ‎∴GM,GN是中位线,‎ ‎∴GM∥CE,GM=CE,GN∥BD,GN=BD,‎ ‎∵BD=CE,‎ ‎∴GM=GN,‎ ‎∴∠3=∠4,‎ ‎∵GM∥CE,‎ ‎∴∠2=∠4,‎ ‎∵GN∥BD,‎ ‎∴∠3=∠1,‎ ‎∴∠1=∠2,‎ ‎∴AP=AQ.‎ ‎21.(2017•石家庄二模)如图,在矩形ABCD和矩形PEFG中,AB=8,BC=6,PE=2,PG=4.PE与AC交于点M,EF与AC交于点N,动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,伴随点P的运动,矩形PEFG在射线AB上滑动;动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动.点P、K同时开始运动,当点K到达点F时停止运动,点P也随之停止.设点P、K运动的时间是t秒(t>0).‎ ‎(1)当t=1时,KE= 1 ,EN=  ;‎ ‎(2)当t为何值时,△APM的面积与△MNE的面积相等?‎ ‎(3)当点K到达点N时,求出t的值;‎ ‎(4)当t为何值时,△PKB是直角三角形?‎ ‎【解答】解:(1)当t=1时,根据题意得,AP=1,PK=1,‎ ‎∵PE=2,‎ ‎∴KE=2﹣1=1,‎ ‎∵四边形ABCD和PEFG都是矩形,‎ ‎∴△APM∽△ABC,△APM∽△NEM,‎ ‎∴=,=,‎ ‎∴MP=,ME=,‎ ‎∴NE=;‎ 故答案为:1;;‎ ‎(2)由(1)并结合题意可得,‎ AP=t,PM=t,ME=2﹣t,NE=﹣t,‎ ‎∴t×t=(2﹣t)×(﹣t),‎ 解得,t=;‎ ‎(3)当点K到达点N时,则PE+NE=AP,‎ 由(2)得,﹣t+2=t,‎ 解得,t=;‎ ‎(4)①当K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形,‎ 即,0<t≤2;‎ ‎②当点k在EF上时,‎ 则KE=t﹣2,BP=8﹣t,‎ ‎∵△BPK∽△PKE,‎ ‎∴PK2=BP×KE,PK2=PE2+KE2,‎ ‎∴4+(t﹣2)2=(8﹣t)(t﹣2),‎ 解得t=3,t=4;‎ ‎③当t=5时,点K在BC边上,∠KBP=90°.‎ 综上,当0<t≤2或t=3或t=4或5时,△PKB是直角三角形.‎ ‎22.(2017•农安县模拟)如图(1),在△ABC中,AD是BC边的中线,过A点作AE∥BC与过D点作DE∥AB交于点E,连接CE.‎ ‎(1)求证:四边形ADCE是平行四边形.‎ ‎(2)连接BE,AC分别与BE、DE交于点F、G,如图(2),若AC=6,求FG的长.‎ ‎【解答】(1)证明:∵AE∥BC,DE∥AB.‎ ‎∴四边形ABDE是平行四边形,‎ ‎∴AE=BD,‎ 又∵BD=DC,‎ ‎∴AE=DC,‎ 又∵AE∥DC,‎ ‎∴四边形ADCE是平行四边形.‎ ‎(2)解:∵四边形ADCE是平行四边形,AC=6,‎ ‎∴AG=GC=3,‎ 又∵AE∥BC,‎ ‎∴△AEF∽△CBF,‎ ‎∴==,‎ ‎∴AF=2,‎ ‎∴FG=AG﹣AF=1.‎ ‎23.(2017•杨浦区三模)已知:在正方形ABCD中,点E、F分别是CB、CD延长线上的点,且BE=DF,联结AE、AF、DE、DE交AB于点M.‎ ‎(1)如图1,当E、A、F在一直线上时,求证:点M为ED中点;‎ ‎(2)如图2,当AF∥ED,求证:AM2=AB•BM.‎ ‎【解答】(1)连接AC,∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠DAM=∠BEM=∠BCD=90°,∠BCA=∠DCA=45°,AB=BC=CD=DA,‎ ‎∵BE=DF,∴CE=CF,‎ ‎∴∠AEB=∠F=45°,‎ ‎∴BE=BA=AD,‎ 在△ADM和△BEM中,,‎ ‎∴△ADM和△BEM,‎ ‎∴DM=EM,即点M为ED中点;‎ ‎(2)解:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠DAM=∠EBM=90°,AD=AB,‎ ‎∴△ADM∽△BEM,‎ ‎∴=,‎ ‎∵AM∥DF,AF∥DE,‎ ‎∴四边形AMDF是平行四边形,‎ ‎∴AM=DF,‎ ‎∵BE=DF,‎ ‎∴AM=BE,‎ ‎∴,‎ ‎∴AM2=AB•BM.‎ ‎24.(2017•杭州模拟)已知,如图1,点D、E分别在AB,AC上,且=.‎ ‎(1)求证:DE∥BC.‎ ‎(2)已知,如图2,在△‎ ABC中,点D为边AC上任意一点,连结BD,取BD中点E,连结CE并延长CE交边AB于点F,求证:=.‎ ‎(3)在(2)的条件下,若AB=AC,AF=CD,求的值.‎ ‎【解答】解:(1)∵∠A=∠A,‎ ‎,‎ ‎∴△ADE∽△ABC ‎∴∠ADE=∠B,‎ ‎∴DE∥BC ‎(2)过点D作DG∥AB交CF于点G,‎ ‎∴△CDG∽△CAF ‎∴,‎ ‎∵E是BD的中点,‎ ‎∴BE=ED,‎ ‎∵DG∥AB,‎ ‎∴∠FBE=∠EDG 在△DEG与△CAF中,‎ ‎∴△DEG≌△BEF(AAS)‎ ‎∴DG=BF,‎ ‎∴=‎ ‎(3)由(2)可得:‎ ‎∵AB=AC,AF=CD,‎ ‎∴=‎ ‎∴BF2+BF•AF﹣AF2=0,‎ ‎∴()2+﹣1=0,‎ ‎∴解得:=,‎ ‎∴=‎ ‎25.(2017•岱岳区二模)已知△ABC,AC=BC,点E,F在直线AB上,∠ECF=∠A.‎ ‎(1)如图1,点E,F在AB上时,求证:AC2=AF•BE;‎ ‎(2)如图2,点E,F在AB及其延长线上,∠A=60°,AB=4,BE=3,求BF的长.‎ ‎【解答】解:(1)∵AC=BC,‎ ‎∴∠A=∠B ‎∵∠BEC=∠ACE+∠A ‎∠ACF=∠ACE+∠ECF,‎ ‎∴∠ACF=∠BEC ‎∴△ACF∽△BEC ‎∴‎ ‎∴AC2=AF•BE ‎(2)∵∠A=60°,‎ ‎∴△ABC是等边三角形 ‎∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°=∠ECF,‎ ‎∵∠ECB=∠ACB﹣∠ACE,∠F=∠ABC﹣∠FCB,‎ ‎∠ACE=∠FCB,‎ ‎∴∠ECB=∠F,‎ ‎∵∠ABC=∠A,‎ ‎∴△ACF∽△BEC ‎∴=‎ ‎∴AF=‎ ‎∴BF=AF﹣AB=‎ ‎ ‎ ‎26.(2017•硚口区模拟)如图,正方形ABCD,∠EAF=45°.交BC、CD于E、F,交BD于H、G.‎ ‎(1)求证:AD2=BG•DH;‎ ‎(2)求证:CE=DG;‎ ‎(3)求证:EF=HG.‎ ‎【解答】证明:(1)∵四边形ABCD为正方形 ‎∴∠ABD=∠ADB=45°,AB=AD,‎ ‎∵∠EAF=45°‎ ‎∴∠BAG=45°+∠BAH,∠AHD=45°+∠BAH,‎ ‎∴∠BAG=∠AHD,‎ 又∵∠ABD=∠ADB=45°,‎ ‎∴△ABG∽△HDA,‎ ‎∴,‎ ‎∴BG•DH=AB•AD=AD2;‎ ‎(2)如图,连接AC,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形 ‎∴∠ACE=∠ADB=∠CAD=45°,‎ ‎∴AC=AD,‎ ‎∵∠EAF=45°,‎ ‎∴∠EAF=∠CAD,‎ ‎∴∠EAF﹣∠CAF=∠CAD﹣∠CAF,‎ ‎∴∠EAC=∠GAD,‎ ‎∴△EAC∽△GAD,‎ ‎∴,‎ ‎∴CE=DG;‎ ‎(3)由(2)得:△EAC∽△GAD,‎ ‎∴,‎ 同理得:△AFC∽△AHB,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵∠GAH=∠EAF,‎ ‎∴△GAH∽△EAF,‎ ‎∴,‎ ‎∴EF=GH.‎ ‎27.(2017•岱岳区一模)如图,C为线段BD上一动点,过B、D分别作BD的垂线,使AB=BC,DE=DB,连接AD、AC、BE,过B作AD的垂线,垂足为F,连接CE、EF.‎ ‎(1)求证:AC•DF=BF•BD;‎ ‎(2)点C运动的过程中,∠CFE的度数保持不变,求出这个度数;‎ ‎(3)当点C运动到什么位置时,CE∥BF?并说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)∵BF⊥AD,‎ ‎∴∠AFB=∠BFD=90°,‎ ‎∴∠ABF+∠BAF=90°,‎ ‎∵AB⊥BC,‎ ‎∴∠ABF+∠DBF=90°,‎ ‎∴∠BAF=∠DBF,‎ ‎∴△ABF∽△BDF,‎ ‎∴=,即AB•DF=BF•BD,‎ 由AB=BC,AB⊥BC,‎ ‎∴AB=AC,‎ ‎∴AC•DF=BF•BD;‎ ‎(2)∵=,AB=BC、BD=DE,‎ ‎∴=,‎ ‎∵∠FBC+∠BDF=90°、∠BDF+∠EDF=90°,‎ ‎∴∠FBC=∠EDF,‎ ‎∴△FBC∽△FDE,‎ ‎∴∠BFC=∠DFE,‎ 又∠BFD=∠BFC+∠CFD=90°,‎ ‎∴∠DFE+∠CFD=90°,即∠CFE=90°,‎ 故∠CFE的度数保持不变,始终等于90°.‎ ‎(3)当C为BD中点时,CE∥BF,‎ 理由如下:‎ ‎∵C为BD中点,‎ ‎∴AB=BC=CD=BD=DE,‎ 在△ABD和△CDE中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△ABD≌△CDE(SAS),‎ ‎∴∠ADB=∠CED,‎ ‎∵∠CED+∠ECD=90°,‎ ‎∴∠ADB+∠ECD=90°,‎ ‎∴CE⊥AD,‎ ‎∵BF⊥AD,‎ ‎∴CE∥BF.‎ ‎28.(2017•长春模拟)如图,在△ABC中,点D在边AB上(不与A,B重合),DE∥BC交AC于点E,将△ADE沿直线DE翻折,得到△A′DE,直线DA′,EA′分别交直线BC于点M,N.‎ ‎(1)求证:DB=DM.‎ ‎(2)若=2,DE=6,求线段MN的长.‎ ‎(3)若=n(n≠1),DE=a,则线段MN的长为 a﹣(n>1)或﹣a(0<n<1) (用含n的代数式表示).‎ ‎【解答】解:(1)∵DE∥BC,‎ ‎∴∠ADE=∠B,∠A′DE=∠DMB,‎ 由翻折可知:∠ADE=∠A′DE ‎∵∠B=∠DMB,‎ ‎∴DB=DM,‎ ‎(2)由翻折可知:A′D=AD ‎∵,DB=DM,‎ ‎∴,‎ ‎∴=‎ ‎∵DE∥BC,‎ ‎∴△A′MN∽△A′DE ‎∴=‎ ‎∵DE=6,‎ ‎∴MN=DE=3,‎ ‎(3)由翻折可知:A′D=AD ‎∵=n,DB=DM,‎ ‎∴=n,‎ 当n>1时,‎ ‎∴=‎ ‎∵DE∥BC,‎ ‎∴△A′MN∽△A′DE ‎∴=‎ ‎∵DE=a,‎ ‎∴MN=DE=a﹣,‎ 同理:当0<n<1时,‎ 此时∴=,‎ ‎∴MN=,‎ 综上所述,MN=a﹣(n>1)或﹣a(0<n<1)‎ 故答案为:(3)MN=a﹣(n>1)或﹣a(0<n<1)‎ ‎29.(2017•武汉)已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E.‎ ‎(1)如图1,若∠ABC=∠ADC=90°,求证:ED•EA=EC•EB;‎ ‎(2)如图2,若∠ABC=120°,cos∠ADC=,CD=5,AB=12,△CDE的面积为6,求四边形ABCD的面积;‎ ‎(3)如图3,另一组对边AB、DC的延长线相交于点F.若cos∠ABC=cos∠ADC=,CD=5,CF=ED=n,直接写出AD的长(用含n的式子表示)‎ ‎【解答】解:(1)如图1中,‎ ‎∵∠ADC=90°,∠EDC+∠ADC=180°,‎ ‎∴∠EDC=90°,‎ ‎∵∠ABC=90°,‎ ‎∴∠EDC=∠ABC,‎ ‎∵∠E=∠E,‎ ‎∴△EDC∽△EBA,‎ ‎∴=,‎ ‎∴ED•EA=EC•EB.‎ ‎(2)如图2中,过C作CF⊥AD于F,AG⊥EB于G.‎ 在Rt△CDF中,cos∠ADC=,‎ ‎∴=,∵CD=5,‎ ‎∴DF=3,‎ ‎∴CF==4,‎ ‎∵S△CDE=6,‎ ‎∴•ED•CF=6,‎ ‎∴ED==3,EF=ED+DF=6,‎ ‎∵∠ABC=120°,∠G=90°,∠G+∠BAG=∠ABC,‎ ‎∴∠BAG=30°,‎ ‎∴在Rt△ABG中,BG=AB=6,AG==6,‎ ‎∵CF⊥AD,AG⊥EB,‎ ‎∴∠EFC=∠G=90°,∵∠E=∠E,‎ ‎∴△EFC∽△EGA,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴EG=9,‎ ‎∴BE=EG﹣BG=9﹣6,‎ ‎∴S四边形ABCD=S△ABE﹣S△CDE=(9﹣6)×6﹣6=75﹣18.‎ ‎(3)如图3中,作CH⊥AD于H,则CH=4,DH=3,‎ ‎∴tan∠E=,‎ 作AG⊥DF于点G,设AD=5a,则DG=3a,AG=4a,‎ ‎∴FG=DF﹣DG=5+n﹣3a,‎ ‎∵CH⊥AD,AG⊥DF,∠E=∠F,‎ 易证△AFG∽△CEH,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴a=,‎ ‎∴AD=5a=.‎ ‎ ‎ ‎30.(2017•大冶市模拟)如图,△ABC中,点E、F分别在边AB,AC上,BF与CE相交于点P,且∠1=∠2=∠A.‎ ‎(1)如图1,若AB=AC,求证:BE=CF;‎ ‎(2)若图2,若AB≠AC,‎ ‎①(1)中的结论是否成立?请给出你的判断并说明理由;‎ ‎②求证:=.‎ ‎【解答】解:(1)∵AB=AC,‎ ‎∴∠EBC=∠FCB,‎ 在△BCE与△CBF中,,‎ ‎∴△BCE≌△CBF,‎ ‎∴BE=CF;‎ ‎(2)①成立,理由如下:作∠A的平分线交BC于点D,连结DE、DF,‎ 则∠DAF=∠DAE=∠A,‎ ‎∵∠1=∠2=∠A,‎ ‎∴∠DAF=∠DAE=∠1=∠2,‎ ‎∴A、B、D、F四点与A、E、D、C四点分别共圆,‎ ‎∴BD=DF,DE=DC,‎ ‎∵∠BDE=∠A,∠CDF=∠A,‎ ‎∴∠BDE=∠CDF,‎ 在△DEB与△DCF中,,‎ ‎∴△DEB≌△DCF,‎ ‎∴BE=CF;‎ ‎②由上面的证明易知△DFB与△DEC均为等腰三角形,‎ ‎∵∠1=∠2,‎ ‎∴△DFB∽△DEC,‎ ‎∴,‎ ‎∵AD是△ABC的内角平分线,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎31.(2017•大东区二模)如图1,在锐角△ABC中,D、E分别是AB、BC的中点,点F在AC上,且满足∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.‎ ‎(1)证明:DM=DA;‎ ‎(2)点G在BE上,且∠BDG=∠C,如图2,求证:△DEG∽△ECF;‎ ‎(3)在图2中,取CE上一点H,使得∠CFH=∠B,若BG=5,求EH的长.‎ ‎【解答】(1)证明:如图1所示,‎ ‎∵DM∥EF,‎ ‎∴∠AMD=∠AFE,‎ ‎∵∠AFE=∠A,‎ ‎∴∠AMD=∠A,‎ ‎∴DM=DA;‎ ‎(2)证明:如图2所示,‎ ‎∵D、E分别是AB、BC的中点,‎ ‎∴DE∥AC,‎ ‎∴∠BDE=∠A,∠DEG=∠C,‎ ‎∵∠AFE=∠A,‎ ‎∴∠BDE=∠AFE,‎ ‎∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC,‎ ‎∵∠BDG=∠C,‎ ‎∴∠GDE=∠FEC,‎ ‎∴△DEG∽△ECF;‎ ‎(3)解:如图3所示,‎ ‎∵∠BDG=∠C=∠DEB,∠B=∠B,‎ ‎∴△BDG∽△BED,‎ ‎∴=,‎ ‎∴BD2=BG•BE,‎ ‎∵∠AFE=∠A,∠CFH=∠B,‎ ‎∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH,‎ 又∵∠FEH=∠CEF,‎ ‎∴△EFH∽△ECF,‎ ‎∴=,‎ ‎∴EF2=EH•EC,‎ ‎∵DE∥AC,DM∥EF,‎ ‎∴四边形DEFM是平行四边形,‎ ‎∴EF=DM=DA=BD,‎ ‎∴BG•BE=EH•EC,‎ ‎∵BE=EC,‎ ‎∴EH=BG=5.‎ ‎32.(2017•随州)如图,分别是可活动的菱形和平行四边形学具,已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等.‎ ‎(1)在一次数学活动中,某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合,摆拼成如图1所示的图形,AF经过点C,连接DE交AF于点M,观察发现:点M是DE的中点.‎ 下面是两位学生有代表性的证明思路:‎ 思路1:不需作辅助线,直接证三角形全等;‎ 思路2:不证三角形全等,连接BD交AF于点H.…‎ 请参考上面的思路,证明点M是DE的中点(只需用一种方法证明);‎ ‎(2)如图2,在(1)的前提下,当∠ABE=135°时,延长AD、EF交于点N,求的值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若=k(k为大于 的常数),直接用含k的代数式表示的值.‎ ‎【解答】解:(1)如图1,‎ 证法一:∵四边形ABCD为菱形,‎ ‎∴AB=CD,AB∥CD,‎ ‎∵四边形ABEF为平行四边形,‎ ‎∴AB=EF,AB∥EF,‎ ‎∴CD=EF,CD∥EF,‎ ‎∴∠CDM=∠FEM,‎ 在△CDM和△FEM中 ‎,‎ ‎∴△CDM≌△FEM,‎ ‎∴DM=EM,‎ 即点M是DE的中点;‎ 证法二:∵四边形ABCD为菱形,‎ ‎∴DH=BH,‎ ‎∵四边形ABEF为平行四边形,‎ ‎∴AF∥BE,‎ ‎∵HM∥BE,‎ ‎∴==1,‎ ‎∴DM=EM,‎ 即点M是DE的中点;‎ ‎(2)∵△CDM≌△FEM,‎ ‎∴CM=FM,‎ 设AD=a,CM=b,‎ ‎∵∠ABE=135°,‎ ‎∴∠BAF=45°,‎ ‎∵四边形ABCD为菱形,‎ ‎∴∠NAF=45°,‎ ‎∴四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴AC=AD=a,‎ ‎∵AB∥EF,‎ ‎∴∠AFN=∠BAF=45°,‎ ‎∴△ANF为等腰直角三角形,‎ ‎∴NF=AF=(a+b+b)=a+b,‎ ‎∴NE=NF+EF=a+b+a=2a+b,‎ ‎∴===;‎ ‎(4)∵==+2•=k,‎ ‎∴=(k﹣),‎ ‎∴=,‎ ‎∴==•+1=•+1=.‎ ‎33.(2016秋•故城县期末)如图,已知在△ABC中,P为边AB上一点,连接CP,M为CP的中点,连接BM并延长,交AC于点D,N为AP的中点,连接MN.若∠ACP=∠ABD.‎ ‎(1)求证:AC•MN=BN•AP;‎ ‎(2)若AB=3,AC=2,求AP的长.‎ ‎【解答】解:(1)∵M为CP的中点,N为AP的中点,‎ ‎∴MN是△ACP的中位线,‎ ‎∴NM∥AC,MN=AC,‎ ‎∴∠A=∠BNM,‎ 又∵∠ACP=∠ABD,‎ ‎∴△ACP∽△NBM,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AC•MN=BN•AP;‎ ‎(2)∵AC=2,‎ ‎∴MN=AC=1,‎ 设AN=x,则AP=2x,‎ ‎∵AC•MN=BN•AP,‎ ‎∴2×1=(3﹣x)×2x,‎ 解得x1=,x2=,‎ ‎∴AP=3+(舍去),AP=3﹣,‎ ‎∴AP的长3﹣.‎ ‎34.(2016秋•召陵区期末)如图,已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线,点E在△ABC内,∠CAE+∠‎ CBE=90°,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时,连接BF.‎ ‎(1)求证:△CAE∽△CBF; ‎ ‎(2)若BE=1,AE=2,求CE的长.‎ ‎【解答】解:(1)∵四边形ABCD和EFCG均为正方形,‎ ‎∴==,‎ 又∵∠ACE+∠BCE=∠BCF+∠BCE=45°,‎ ‎∴∠ACE=∠BCF,‎ ‎∴△CAE∽△CBF.‎ ‎(2):∵△CAE∽△CBF,‎ ‎∴∠CAE=∠CBF,=,‎ 又∵∠CAE+∠CBE=90°,‎ ‎∴∠CBF+∠CBE=90°,‎ ‎∴∠EBF=90°,‎ 又∵==,AE=2‎ ‎∴=,‎ ‎∴BF=,‎ ‎∴EF2=BE2+BF2=3,‎ ‎∴EF=,‎ ‎∵CE2=2EF2=6,‎ ‎∴CE=.‎ ‎35.(2016秋•平舆县期末)如图①,矩形ABCD中,AB=2,BC=5,BP=1,∠MPN=90°,将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转,PM交边AB(或AD)于点E,PN交边AD(或CD)于点F,当PN旋转至PC处时,∠MPN的旋转随即停止.‎ ‎(1)特殊情形:如图②,发现当PM过点A时,PN也恰巧过点D,此时,△ABP ∽ △PCD(填“≌”或“~”);‎ ‎(2)类比探究:如图③,在旋转过程中,的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)如图②所示,∵∠MPN=90°,∠B=90°,‎ ‎∴∠BAP+∠APB=90°=∠CPD+∠APB,‎ ‎∴∠BAP=∠CPD,‎ 又∵∠B=∠C,‎ ‎∴△ABP∽△PCD;‎ 故答案为:∽;‎ ‎(2)在旋转过程中,的值为定值.‎ 证明:如图③所示,过点F作FG⊥BC于G,则∠B=∠FGP,‎ ‎∵∠MPN=90°,∠B=90°,‎ ‎∴∠BEP+∠EPB=90°=∠CPF+∠EPB,‎ ‎∴∠BEP=∠CPF,‎ ‎∴△EBP∽△GPF,‎ ‎∴=,‎ ‎∵矩形ABGF中,FG=AB=2,而PB=1,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ 即的值为定值.‎ ‎36.(2016秋•瑶海区期末)如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分)的面积分别是1、4、25.则△ABC的面积是 64 .‎ ‎【解答】解:如图,,‎ 过M作BC的平行线交AB、AC于D、E,过M作AC平行线交AB、BC于F、H,过M作AB平行线交AC、BC于I、G,‎ 根据题意得,△1∽△2∽△3,‎ ‎∵△1:△2=1:4,△1:△3=1:25,‎ ‎∴它们的边长比为1:2:5,‎ 又∵四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形,‎ ‎∴DM=BG,EM=CH,‎ 设DM为x,‎ 则BC=BG+GH+CH=x+5x+2x=8x,‎ ‎∴BC:DM=8:1,‎ ‎∴S△ABC:S△FDM=64:1,‎ ‎∴S△ABC=1×64=64.‎ 故答案为:64.‎ ‎37.(2016•南通)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,CO⊥AB于点O,D是线段OB上一点,DE=2,ED∥AC(∠ADE<90°),连接BE、CD.设BE、CD的中点分别为P、Q.‎ ‎(1)求AO的长;‎ ‎(2)求PQ的长;‎ ‎(3)设PQ与AB的交点为M,请直接写出|PM﹣MQ|的值.‎ ‎【解答】解:(1)如图1中,‎ ‎∵CO⊥AB,‎ ‎∴∠AOC=∠ACB=90°,∵∠A=∠A,‎ ‎∴△ABC∽△ACO,‎ ‎∴=,‎ ‎∵AB===13,‎ ‎∴OA==.‎ ‎(2)如图2中,取BD中点F,CD中点Q,连接PF、QF,‎ 则PF∥ED,FQ∥BC,PF⊥FQ,且PF=ED=1,FQ=BC=6,‎ 在Rt△PFQ中,PQ===.‎ ‎(3)如图3中,取AD中点G,连接GQ,‎ ‎∵GQ∥AC,ED∥AC,PF∥ED,‎ ‎∴PF∥GQ,‎ ‎∴△PMF∽△QMG,‎ ‎∴==,‎ ‎∵PM+QM=,‎ ‎∴PM=,MQ=,‎ ‎∴|PM﹣QM|=.‎ ‎38.(2016•邵阳)尤秀同学遇到了这样一个问题:如图1所示,已知AF,BE是△ABC的中线,且AF⊥BE,垂足为P,设BC=a,AC=b,AB=c.‎ 求证:a2+b2=5c2‎ 该同学仔细分析后,得到如下解题思路:‎ 先连接EF,利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA,故,设PF=m,PE=n,用m,n把PA,PB分别表示出来,再在Rt△APE,Rt△BPF中利用勾股定理计算,消去m,n即可得证 ‎(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.‎ ‎(2)利用题中的结论,解答下列问题:‎ 在边长为3的菱形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F分别为线段AO,DO的中点,连接BE,CF并延长交于点M,BM,CM分别交AD于点G,H,如图2所示,求MG2+MH2的值.‎ ‎【解答】解:(1)设PF=m,PE=n,连结EF,如图1,‎ ‎∵AF,BE是△ABC的中线,‎ ‎∴EF为△ABC的中位线,AE=b,BF=a,‎ ‎∴EF∥AB,EF=c,‎ ‎∴△EFP∽△BPA,‎ ‎∴,即==,‎ ‎∴PB=2n,PA=2m,‎ 在Rt△AEP中,∵PE2+PA2=AE2,‎ ‎∴n2+4m2=b2①,‎ 在Rt△AEP中,∵PF2+PB2=BF2,‎ ‎∴m2+4n2=a2②,‎ ‎①+②得5(n2+m2)=(a2+b2),‎ 在Rt△EFP中,∵PE2+PF2=EF2,‎ ‎∴n2+m2=EF2=c2,‎ ‎∴5•c2=(a2+b2),‎ ‎∴a2+b2=5c2;‎ ‎(2)∵四边形ABCD为菱形,‎ ‎∴BD⊥AC,‎ ‎∵E,F分别为线段AO,DO的中点,‎ 由(1)的结论得MB2+MC2=5BC2=5×32=45,‎ ‎∵AG∥BC,‎ ‎∴△AEG∽△CEB,‎ ‎∴==,‎ ‎∴AG=1,‎ 同理可得DH=1,‎ ‎∴GH=1,‎ ‎∴GH∥BC,‎ ‎∴===,‎ ‎∴MB=3GM,MC=3MH,‎ ‎∴9MG2+9MH2=45,‎ ‎∴MG2+MH2=5.‎ ‎39.(2016•杭州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,射线AG分别交线段DE,BC于点F,G,且.‎ ‎(1)求证:△ADF∽△ACG;‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎【解答】(1)证明:∵∠AED=∠B,∠DAE=∠DAE,‎ ‎∴∠ADF=∠C,‎ ‎∵=,‎ ‎∴△ADF∽△ACG.‎ ‎(2)解:∵△ADF∽△ACG,‎ ‎∴=,‎ 又∵=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=1.‎ ‎40.(2016•黄冈校级自主招生)如图,四边形中ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,P为对角线AC延长线上的任意一点,PF交AD于M,PE交BC于N,EF交MN于K.‎ 求证:K是线段MN的中点.‎ ‎【解答】证明:取AC的中点Q,连接QF、AE,过C点作CR∥QF交MP于点R,连接NR.‎ ‎∵Q、F、E分别是AC、CD、AB的中点,‎ ‎∴QF∥AD,QE∥NC,‎ ‎∴,,‎ ‎∵AQ=CQ,‎ ‎∴.‎ ‎∵QF∥AD,CR∥QF,‎ ‎∴CR∥AD,‎ ‎∴==1,‎ ‎∴FM=FR,‎ ‎∴=,‎ ‎∴EF∥RN.‎ ‎∵FK∥RN,FM=FR,‎ ‎∴KM=KN,即K是线段MN的中点.‎ ‎ ‎
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