高考山东卷理科数学试题及答案word版解析版

高考山东卷理科数学试题及答案word版解析版

‎2011年普通高等学校全国统一考试（山东卷）‎ ‎ 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。‎ ‎（1）设集合，，则 A. B. C. D. ‎ 解析：，，答案应选A。‎ ‎（2）复数为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：对应的点为在第四象限，答案应选D.‎ ‎（3）若点在函数的图象上，则的值为 A. B. C. D. ‎ 解析：，，，答案应选D.‎ ‎（4）不等式的解集是 A. B. C. D. ‎ 解析：当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，不成立；当时，原不等式可化为，解得.综上可知，或，答案应选D。‎ 另解1：可以作出函数的图象，令可得或，观察图像可得，或可使成立，答案应选D。‎ 另解2：利用绝对值的几何意义，表示实数轴上的点到点与的距离之和，要使点到点与的距离之和等于10，只需或，于是当，或可使成立，答案应选D。‎ ‎（5）对于函数，，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 解析：若是奇函数，则的图象关于轴对称；反之不成立，比如偶函数，‎ 满足的图象关于轴对称，但不一定是奇函数，答案应选B。‎ ‎（6）若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则 A. B. C. D. ‎ 解析：函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 则，即，答案应选C。‎ 另解1：令得函数在为增函数，同理可得函数在为减函数，则当时符合题意，即，答案应选C。‎ 另解2：由题意可知当时，函数取得极大值，则，即，即，结合选择项即可得答案应选C。‎ 另解3：由题意可知当时，函数取得最大值，‎ 则，，结合选择项即可得答案应选C。‎ ‎（7）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：‎ 广告费用（万元）‎ ‎ 4‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 5‎ 销售额（万元）‎ ‎ 49‎ ‎ 26‎ ‎ 39‎ ‎ 54‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元是销售额为 A.6.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元 解析：由题意可知，则，答案应选B。‎ ‎（8）已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为 A. B. C. D. ‎ 解析：圆，而，则，答案应选A。‎ D.‎ C.‎ B.‎ A.‎ ‎（9）函数的图象大致是 解析：函数为奇函数，且，令得，由于函数为周期函数，而当时，，当时，，则答案应选C。‎ ‎（10）已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为 A.6 B‎.7 C.8 D.9‎ 正（主）视图 俯视图 解析：当时，则，而是上最小正周期为2的周期函数，则，，答案应选B。‎ ‎ (11)右图是长和宽分别相等的两个矩形。给定三个命题：‎ ‎①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；‎ ‎②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；‎ ‎③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图。‎ 其中真，命题的个数是 A.3 B‎.2 ‎‎ C.1 D.0‎ 解析：①②③均是正确的，只需①底面是等腰直角三角形的直四棱柱，‎ 让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；②直四棱柱的两个侧面 是正方形或一正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使得三个命题为真，‎ 答案选A。‎ ‎ （12）设是平面直角坐标系中两两不同的四点，若,‎ ‎,且，则称调和分割，已知平面上的点调和分割点，则下面说法正确的是 A. C可能是线段AB的中点 B. D可能是线段AB的中点 C. C,D可能同时在线段AB上 D. C,D不可能同时在线段AB的延长线上 解析：根据题意可知，若C或D是线段AB的中点，则，或，矛盾；‎ 开始 输入非负整数l，m，n 输出y 结束 若C,D可能同时在线段AB上，则则矛盾，若C,D同时在线段AB的延长线上，则，，故C,D不可能同时在线段AB的延长线上，答案选D。‎ 二、填空题：本大题共4小题·，每小题4分，共16分。‎ ‎（13）执行右图所示的程序框图，输入，‎ 则输出的y的值是 。‎ 解析：‎ ‎。‎ 答案应填：68.‎ ‎（14）若展开式的常数项为60， ‎ 则常数的值为 。‎ 解析：的展开式 ‎，令 ‎，答案应填：4.‎ ‎（15）设函数，观察：‎ ‎，，，‎ ‎，……‎ 根据上述事实，由归纳推理可得：‎ 当，且时， 。‎ 解析：，，‎ ‎，以此类推可得。‎ 答案应填：。‎ ‎16.已知函数且。‎ 当时函数的零点为，‎ 则 。‎ 解析：根据，‎ ‎，而函数在上连续，单调递增，故函数的零点在区间内，故。答案应填：2.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎ 在中，内角的对边分别为，已知，‎ ‎（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积S。‎ 解：（Ⅰ）在中，由及正弦定理可得 ‎，‎ 即 则 ‎，而，则，‎ 即。‎ 另解1：在中，由可得 由余弦定理可得，‎ 整理可得，由正弦定理可得。‎ 另解2：利用教材习题结论解题，在中有结论 ‎.‎ 由可得 即，则，‎ 由正弦定理可得。‎ ‎（Ⅱ）由及可得 则，，‎ S，即。‎ ‎（18）（本题满分12分） ‎ ‎ 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘。已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立。‎ ‎（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；‎ ‎（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望。‎ 解析：（Ⅰ）记甲对A、乙对B、丙对C各一盘中甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件 ‎,则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件，根据各盘比赛结果相互独立可得 故红队至少两名队员获胜的概率为 ‎.‎ ‎（Ⅱ）依题意可知，‎ ‎；‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎.故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.35‎ ‎0.4‎ ‎0.15‎ 故.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，‎ ‎，平面，，‎ ‎，，．‎ ‎（Ⅰ）若是线段的中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的大小．‎ 几何法：‎ 证明：（Ⅰ），可知延长交于点，而，，‎ 则平面平面，即平面平面，‎ 于是三线共点，，若是线段的中点，而,‎ 则，四边形为平行四边形，则，又平面，‎ 所以平面；‎ ‎（Ⅱ）由平面，作，则平面，作，连接，则，于是为二面角的平面角。‎ 若，设，则，，为的中点，，，‎ ‎，在中,‎ 则，即二面角的大小为。‎ 坐标法：（Ⅰ）证明：由四边形为平行四边形， ，平面，可得以点为坐标原点，所在直线分别为建立直角坐标系，‎ 设，则,.‎ 由可得，‎ 由可得,‎ ‎，则，，而平面，‎ 所以平面；‎ ‎（Ⅱ）（Ⅱ）若，设，则， ‎ ‎,则,,‎ ‎,设分别为平面与平面的法向量。‎ 则，令，则，； ‎ ‎，令，则，。‎ 于是，则，‎ 即二面角的大小为。‎ ‎20. （本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 中的任何两个数不在下表的同一列．‎ 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 第三行 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和．‎ 解析：（Ⅰ）由题意可知，公比，‎ 通项公式为；‎ ‎（Ⅱ）‎ 当时，‎ 当时 故 另解：令，即 则 故 ‎.‎ ‎21. （本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为（）千元．设该容器的建造费用为千元．‎ ‎（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．‎ 解析：（Ⅰ）由题意可知，即，则.‎ 容器的建造费用为，‎ 即，定义域为.‎ ‎（Ⅱ），令，得.‎ 令即，‎ ‎（1）当时，当，，函数为减函数，当时有最小值；‎ ‎（2）当时，当，；当时，‎ 此时当时有最小值。‎ ‎22. （本小题满分12分）已知动直线与椭圆：交于两不同点，且 的面积，其中为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）证明：和均为定值；‎ ‎（Ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）椭圆上是否存在三点，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由．‎ 解析：（Ⅰ）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，‎ 由在椭圆上，则，而，则 于是，.‎ 当直线的斜率存在，设直线为，代入可得 ‎，即，，即 ‎，‎ 则，满足 ‎，‎ ‎，‎ 综上可知，.‎ ‎（Ⅱ））当直线的斜率不存在时，由（Ⅰ）知 当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）知，‎ ‎，‎ ‎，当且仅当，即时等号成立，综上可知的最大值为。‎ ‎（Ⅲ）假设椭圆上存在三点，使得，‎ 由（Ⅰ）知，‎ ‎.‎ 解得,，‎ 因此只能从中选取，只能从中选取，‎ 因此只能从中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与相矛盾，‎ 故椭圆上不存在三点，使得。‎