高考山东卷理科数学试题及答案word版解析版

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高考山东卷理科数学试题及答案word版解析版

‎2011年普通高等学校全国统一考试(山东卷)‎ ‎ 理科数学 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的的四个选项中,只有一个项是符合题目要求的。‎ ‎(1)设集合,,则 A. B. C. D. ‎ 解析:,,答案应选A。‎ ‎(2)复数为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:对应的点为在第四象限,答案应选D.‎ ‎(3)若点在函数的图象上,则的值为 A. B. C. D. ‎ 解析:,,,答案应选D.‎ ‎(4)不等式的解集是 A. B. C. D. ‎ 解析:当时,原不等式可化为,解得;当时,原不等式可化为,不成立;当时,原不等式可化为,解得.综上可知,或,答案应选D。‎ 另解1:可以作出函数的图象,令可得或,观察图像可得,或可使成立,答案应选D。‎ 另解2:利用绝对值的几何意义,表示实数轴上的点到点与的距离之和,要使点到点与的距离之和等于10,只需或,于是当,或可使成立,答案应选D。‎ ‎(5)对于函数,,“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 解析:若是奇函数,则的图象关于轴对称;反之不成立,比如偶函数,‎ 满足的图象关于轴对称,但不一定是奇函数,答案应选B。‎ ‎(6)若函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则 A. B. C. D. ‎ 解析:函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,‎ 则,即,答案应选C。‎ 另解1:令得函数在为增函数,同理可得函数在为减函数,则当时符合题意,即,答案应选C。‎ 另解2:由题意可知当时,函数取得极大值,则,即,即,结合选择项即可得答案应选C。‎ 另解3:由题意可知当时,函数取得最大值,‎ 则,,结合选择项即可得答案应选C。‎ ‎(7)某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表:‎ 广告费用(万元)‎ ‎ 4‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 5‎ 销售额(万元)‎ ‎ 49‎ ‎ 26‎ ‎ 39‎ ‎ 54‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元是销售额为 A.6.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元 解析:由题意可知,则,答案应选B。‎ ‎(8)已知双曲线的两条渐近线均和圆相切,且双曲线的右焦点为圆的圆心,则该双曲线的方程为 A. B. C. D. ‎ 解析:圆,而,则,答案应选A。‎ D.‎ C.‎ B.‎ A.‎ ‎(9)函数的图象大致是 解析:函数为奇函数,且,令得,由于函数为周期函数,而当时,,当时,,则答案应选C。‎ ‎(10)已知是上最小正周期为2的周期函数,且当时,,则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为 A.6 B‎.7 C.8 D.9‎ 正(主)视图 俯视图 解析:当时,则,而是上最小正周期为2的周期函数,则,,答案应选B。‎ ‎ (11)右图是长和宽分别相等的两个矩形。给定三个命题:‎ ‎①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;‎ ‎②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;‎ ‎③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图。‎ 其中真,命题的个数是 A.3 B‎.2 ‎‎ C.1 D.0‎ 解析:①②③均是正确的,只需①底面是等腰直角三角形的直四棱柱,‎ 让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧;②直四棱柱的两个侧面 是正方形或一正四棱柱平躺;③圆柱平躺即可使得三个命题为真,‎ 答案选A。‎ ‎ (12)设是平面直角坐标系中两两不同的四点,若,‎ ‎,且,则称调和分割,已知平面上的点调和分割点,则下面说法正确的是 A. C可能是线段AB的中点 B. D可能是线段AB的中点 C. C,D可能同时在线段AB上 D. C,D不可能同时在线段AB的延长线上 解析:根据题意可知,若C或D是线段AB的中点,则,或,矛盾;‎ 开始 输入非负整数l,m,n 输出y 结束 若C,D可能同时在线段AB上,则则矛盾,若C,D同时在线段AB的延长线上,则,,故C,D不可能同时在线段AB的延长线上,答案选D。‎ 二、填空题:本大题共4小题·,每小题4分,共16分。‎ ‎(13)执行右图所示的程序框图,输入,‎ 则输出的y的值是 。‎ 解析:‎ ‎。‎ 答案应填:68.‎ ‎(14)若展开式的常数项为60, ‎ 则常数的值为 。‎ 解析:的展开式 ‎,令 ‎,答案应填:4.‎ ‎(15)设函数,观察:‎ ‎,,,‎ ‎,……‎ 根据上述事实,由归纳推理可得:‎ 当,且时, 。‎ 解析:,,‎ ‎,以此类推可得。‎ 答案应填:。‎ ‎16.已知函数且。‎ 当时函数的零点为,‎ 则 。‎ 解析:根据,‎ ‎,而函数在上连续,单调递增,故函数的零点在区间内,故。答案应填:2.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分。‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎ 在中,内角的对边分别为,已知,‎ ‎(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求的面积S。‎ 解:(Ⅰ)在中,由及正弦定理可得 ‎,‎ 即 则 ‎,而,则,‎ 即。‎ 另解1:在中,由可得 由余弦定理可得,‎ 整理可得,由正弦定理可得。‎ 另解2:利用教材习题结论解题,在中有结论 ‎.‎ 由可得 即,则,‎ 由正弦定理可得。‎ ‎(Ⅱ)由及可得 则,,‎ S,即。‎ ‎(18)(本题满分12分) ‎ ‎ 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛,甲对A、乙对B、丙对C各一盘。已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立。‎ ‎(Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率;‎ ‎(Ⅱ)用表示红队队员获胜的总盘数,求的分布列和数学期望。‎ 解析:(Ⅰ)记甲对A、乙对B、丙对C各一盘中甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件 ‎,则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件,根据各盘比赛结果相互独立可得 故红队至少两名队员获胜的概率为 ‎.‎ ‎(Ⅱ)依题意可知,‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎.故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.35‎ ‎0.4‎ ‎0.15‎ 故.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 在如图所示的几何体中,四边形为平行四边形,‎ ‎,平面,,‎ ‎,,.‎ ‎(Ⅰ)若是线段的中点,求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)若,求二面角的大小.‎ 几何法:‎ 证明:(Ⅰ),可知延长交于点,而,,‎ 则平面平面,即平面平面,‎ 于是三线共点,,若是线段的中点,而,‎ 则,四边形为平行四边形,则,又平面,‎ 所以平面;‎ ‎(Ⅱ)由平面,作,则平面,作,连接,则,于是为二面角的平面角。‎ 若,设,则,,为的中点,,,‎ ‎,在中,‎ 则,即二面角的大小为。‎ 坐标法:(Ⅰ)证明:由四边形为平行四边形, ,平面,可得以点为坐标原点,所在直线分别为建立直角坐标系,‎ 设,则,.‎ 由可得,‎ 由可得,‎ ‎,则,,而平面,‎ 所以平面;‎ ‎(Ⅱ)(Ⅱ)若,设,则, ‎ ‎,则,,‎ ‎,设分别为平面与平面的法向量。‎ 则,令,则,; ‎ ‎,令,则,。‎ 于是,则,‎ 即二面角的大小为。‎ ‎20. (本小题满分12分)等比数列中,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 中的任何两个数不在下表的同一列.‎ 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 第三行 ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列满足:,求数列的前项和.‎ 解析:(Ⅰ)由题意可知,公比,‎ 通项公式为;‎ ‎(Ⅱ)‎ 当时,‎ 当时 故 另解:令,即 则 故 ‎.‎ ‎21. (本小题满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为()千元.设该容器的建造费用为千元.‎ ‎(Ⅰ)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域;‎ ‎(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的.‎ 解析:(Ⅰ)由题意可知,即,则.‎ 容器的建造费用为,‎ 即,定义域为.‎ ‎(Ⅱ),令,得.‎ 令即,‎ ‎(1)当时,当,,函数为减函数,当时有最小值;‎ ‎(2)当时,当,;当时,‎ 此时当时有最小值。‎ ‎22. (本小题满分12分)已知动直线与椭圆:交于两不同点,且 的面积,其中为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)证明:和均为定值;‎ ‎(Ⅱ)设线段的中点为,求的最大值;‎ ‎(Ⅲ)椭圆上是否存在三点,使得?若存在,判断的形状;若不存在,请说明理由.‎ 解析:(Ⅰ)当直线的斜率不存在时,两点关于轴对称,则,‎ 由在椭圆上,则,而,则 于是,.‎ 当直线的斜率存在,设直线为,代入可得 ‎,即,,即 ‎,‎ 则,满足 ‎,‎ ‎,‎ 综上可知,.‎ ‎(Ⅱ))当直线的斜率不存在时,由(Ⅰ)知 当直线的斜率存在时,由(Ⅰ)知,‎ ‎,‎ ‎,当且仅当,即时等号成立,综上可知的最大值为。‎ ‎(Ⅲ)假设椭圆上存在三点,使得,‎ 由(Ⅰ)知,‎ ‎.‎ 解得,,‎ 因此只能从中选取,只能从中选取,‎ 因此只能从中选取三个不同点,而这三点的两两连线必有一个过原点,这与相矛盾,‎ 故椭圆上不存在三点,使得。‎
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