广东省2020届高三上学期第一次教学质量检测数学文试题 含解析

广东省2020届高三上学期第一次教学质量检测数学文试题 含解析

‎2019-2020学年广东省高三（上）第一次质检数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合，0，2，4，，则 A. B. 0， C. D. 2，‎ 2. A. B. C. D. ‎ 3. 下列选项正确的是 A. B. C. D. ‎ 4. 记数列的前n项和为，若，则 A. B. C. D. ‎ 5. 已知，，则 A. B. C. D. ‎ 6. 已知函数，则下列说法正确的是 A. 函数的对称轴为，且在上单调递增 B. 函数的对称轴为，且在上单调递增 C. 函数的对称中心为，且在上单调递增 D. 函数的对称中心为，且在上单调递增 7. 已知数列中，，若对任意的，，则 A. 12 B. ‎16 ‎C. 8 D. 10‎ 8. 函数的图象大致为 A. B. C. D. ‎ 9. 边长为2的正方形ABCD中，，，则 A. B. C. D. ‎ 10. 将函数的图象向右平移个单位，平移后的图象关于y轴对称，则周期的最大值为 A. B. C. D. ‎ 11. 已知等差数列的前n项和为，若，，则最小时n的值为 A. 10 B. ‎11 ‎C. 5 D. 6‎ 12. 已知函数若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 1. 已知平面向量，若，则______．‎ 2. 曲线在点处的切线方程为______．‎ 3. 函数的值域为______．‎ 4. 已知，记数列的前n项和为，且对于任意的，，则实数t的取值范围是______．‎ 三、解答题（本大题共7小题）‎ 5. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． 求证：； 若，求c的值． ‎ 6. 已知首项为3的数列的前n项和为，且． 求数列的通项公式； 求证：，，成等差数列． ‎ 7. 设等差数列的前n项和，已知， 求； 若，，，，，成等比数列，求的前n项和． ‎ 8. 已知函数． 若关于x的方程仅有1个实数根，求实数的取值范围； 若是函数的极大值点，求实数a的取值范围． ‎ 9. 已知函数其中e为自然对数的底数． 若，求的单调区间； 若，求证：．‎ ‎ ‎ 1. 极坐标系中，曲线C的极坐标方程为以极点为原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系xOy，直线l的参数方程为为参数． 求曲线C的直角坐标方程以及直线l的普通方程； 若曲线C上恰有四个不同的点到直线l的距离等于1，求实数a的取值范围． ‎ 2. 已知函数． 求不等式的解集； 若，，求证：． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】解：1，2，，0，2，4，， ． 故选：A． 可以求出集合M，然后进行交集的运算即可． 本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】B ‎ ‎【解析】解：． 故选：B． 直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可． 本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，是基本知识的考查． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：依题意，对于A选项，是单调递增的函数，故，故A错； 对于B，和恒大于0，且，所以，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，幂函数是单调递增，，故D错误． 故选：B． 利用不等式的性质、幂函数、对数函数、指数函数的单调性即可得出． 本题考查了不等式的性质、幂函数、对数函数、指数函数的单调性，属于基础题． 4.【答案】D ‎ ‎【解析】解：当时，， 当时，，所以， 故选：D． 通过，，结合数列的递推关系式，求解即可． 本题考查数列的递推关系式的应用，是基本知识的考查，基础题． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：根据题意，，， 又由，则， 则； 故选：B． 根据题意，有，则，结合函数的解析式分析可得答案． 本题考查函数值的计算，注意函数的解析式，属于基础题． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解：依题意，解得， 因为，故函数的对称轴为，排除C、D； 因为，，故，排除B， 故选：A ‎． 求出函数的定义域，判断函数的对称轴，利用特殊值验证函数的单调性，即可． 本题考查函数的单调性以及函数的对称性的应用，命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：依题意，，， 两式相加可得，则， 故周期为6，故． 故选：C． 利用数列的递推关系式求出数列的周期，然后求解即可． 本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：依题意，，，故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C； 而，排除B； 而，，故，排除D， 故选：A． 利用函数奇偶性和特殊点，判断即可． 考查函数的图象的判断，用了函数的性质和特殊值，基础题． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解：以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 故，，则， 故选：C． 通过建系，求出相关点的坐标，求出向量，然后求解向量的数量积即可． 本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，考查计算能力，是基础题． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：依题意，的图象向右平移个单位，可得的图象， 平移后的图象关于y轴对称，则，故， 故的最小值为，则周期的最大值为， 故选：A． 由题意利用两角和差的三角公式化简得解析式，再利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性求得的值，可得周期的最大值． 本题主要考查两角和差的三角公式，函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性和周期性，属于基础题． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由，得， 由，得， 所以时，， 时，，所以最小时， 故选：C． 只需求得得，，即可得时，，可得最小时， 本题考查了等差数列的性质，考查了数学推理能力，属于中档题． ‎ ‎12.【答案】D ‎ ‎【解析】解：因为函数在R上单调递增， 首先在上单调递增， 故，则； 其次在上单调递增， 而， 令，故或，故，即； 最后，当时，； 综合，实数a的取值范围为， 故选：D． 利用函数在R上单调递增，推出，则；得到在上单调递增，利用函数的导数判断单调性，然后求解a的范围即可． 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：向量时，， 即，解得， 所以， 计算． 故答案为：． 根据平面向量时，列方程求出的值，再计算的值． 本题考查了平面向量的数量积表示垂直与模长的计算问题，是基础题． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由， 得， ， 所求切线方程为，即． 故答案为：． 求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案． 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了基本初等函数求导公式的应用，是基础题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解， 所以当时，取到最大值， 当时，取到最小值0， 所以的值域为． 故答案为：． 利用二倍角公式和配方法，再根据讨论，求出即可． 考查三角函数求最值，二倍角公式，配方法等，中档题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：依题意，， ． ，即，显然， ， 又，当且仅当时，等号成立， ，，即． 故答案为： 依题意，，求得由，可得，即可求解． 本题考查了裂项求和，数列恒成立问题，属于中档题． 17.【答案】解：证明：依题意可得：， 则， 可得， 因为B，， 故B． 依题意，，， 所以， 因为，即，可得， 又， 所以，； 由，得． ‎ ‎【解析】由已知利用余弦定理可求cosB的值，根据二倍角的余弦函数公式可求cos‎2A的值，可得，由范围B，，可得． 利用同角三角函数基本关系式可求sinA，sinB的值，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinC的值，根据正弦定理可得，结合，可求a，b的值，根据正弦定理即可解得c的值． 本题主要考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18.【答案】解：因为， 故， ， ， ， ， ， ， 把上面个等式叠加， 得到， 故， 而，故． 证明：由可得， ， 故， ， 所以， 故，，成等差数列． ‎ ‎【解析】利用已知条件化简数列的递推关系式，然后利用累加法转化求解数列的通项公式即可． 求出数列的和，利用等差数列的定义，转化证明即可． 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 19.【答案】解：设等差数列的首项为，公差为d， 由，，得 ，解得． ； ，，且，，，，，成等比数列， ， 又在等差数列中，， ，即． 的前n项和 ． ‎ ‎【解析】设等差数列的首项为，公差为d，由题意列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则等差数列的通项公式可求； 分别写出等差数列与等比数列中的，得到数列的通项公式，再由数列的分组求和得答案． 本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，考查计算能力，是中档题． 20.【答案】解：依题意，，显然不是方程的根， 故， 令，则， 故函数在和上单调递增， 且当时，， 当x从负方向趋于0时以及时，， 当x从正方向趋于0时，， 作出函数的图象如图所示， 观察可知，，即实数的取值范围为． ， 则． 若，则当时，，，，所以 0'/>； 当时，，，所以． 所以在处取得极大值． 若，则当时，，，所以 0'/>． 所以不是的极大值点． 综上所述，实数a的取值范围是． ‎ ‎【解析】，得到，令，利用函数的导数判断函数的单调性，转化求解函数的最值． ，则通过若，若，求解函数的极值，然后推出数a 的取值范围． 考查利用导数研究函数的极值问题，构造法的应用，体现了数形结合、转化的思想方法，属于难题． 21.【答案】解：． 在上单调递增，且， 当，，函数单调递增；当，，函数单调递减， 函数的单调递增区间，函数单调递减区间； ，， 在上单调递增， ，， 使得 ，，，， 时，函数取得最小值在单调递减， ， ． ‎ ‎【解析】先对函数求导，然后结合函数的单调性与函数的导数的关系即可求解； 先对求导，可得在上单调递增，结合函数的零点判定定理可知使得，然后结合单调性可求最小值，即可证明． 本题主要考查了利用函数的导数判定函数的单调性及利用函数的单调性及零点判定定理可求解函数的最值，属于中等试题 22.【答案】解：由，得，代入公式，得曲线C的直角坐标方程为； 由为参数，消去参数t，得直线l的普通方程为； 依题意可得，圆心O到直线l：的距离， ，解得． 实数a的取值范围是． ‎ ‎【解析】把两边同乘，代入公式，得曲线C的直角坐标方程，把直线l参数方程中的参数t消去，可得直线l的普通方程； 由题意可得，圆心到直线的距离小于1，利用点到直线的距离公式列式求解a的范围． 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题． 23.【答案】解：等价于或或， 解得或或， 所以原不等式的解集为． 要证：， 只要证， 只需证， 而， 从而原不等式成立． ‎ ‎【解析】分类讨论求出即可；化简，再平方，证明即可． 考查绝对值不等式的解法，分类讨论思想，中档题． ‎