高考数学导数小题练习集一

高考数学导数小题练习集一

‎2018年高考数学导数小题练习集（一）‎ ‎ ‎ ‎1.已知f′（x）是函数f（x），（x∈R）的导数，满足f′（x）=﹣f（x），且f（0）=2，设函数g（x）=f（x）﹣lnf3（x）的一个零点为x0，则以下正确的是（　　）‎ A．x0∈（﹣4，﹣3） B．x0∈（﹣3，﹣2） C．x0∈（﹣2，﹣1） D．x0∈（﹣1，0）‎ ‎2.已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则 的最小值为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎3.函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式（k+1）g（x1）≤kf（x2）（k＞0）恒成立，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．[1,+∞] B．[2,+∞] C．（0，2） D．（0，1]‎ ‎4.已知函数f（x）的定义域为R，且x3f（x）+x3f（﹣x）=0，若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x2f'（x）＜2，则不等式x3f（x）﹣8f（2）＜x2﹣4的解集为（　　）‎ A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）‎ C．（﹣4，4） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）‎ ‎5.若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（2，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B． C．[2，+∞） D．‎ ‎6.已知函数f（x）=ex﹣ln（x+a）（a∈R）有唯一的零点x0，则（　　）‎ A．﹣1＜x0＜﹣ B．﹣＜x0＜﹣ C．﹣＜x0＜0 D．0＜x0＜‎ ‎7.已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（x+3）为偶函数，f（6）=1，则不等式f（x）＞ex的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞）‎ ‎8.已知定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）为其导函数，且f（x）＜f′（x）•tanx恒成立，则（　　）‎ A． f（）＞f（） B． f（）＜f（） ‎ C． f（）＞f（） D．f（1）＜2f（）•sin1‎ ‎9.函数在区间上的最小值（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知，则f'（2）=（　　）‎ A． B． C．2 D．﹣2‎ ‎11.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f（2）等于（　　）‎ A．11或18 B．11 C．18 D．17或18‎ ‎12.已知f（x）=cosx，则f（π）+f′（）=（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎13.已知函数f（x）的定义域为R，且为可导函数，若对∀x∈R，总有（2﹣x）f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），则（　　）‎ A．f（x）＞0恒成立 B．f（x）＜0恒成立 C．f（x）的最大值为0 D．f（x）与0的大小关系不确定 ‎14.函数存在极值点，则实数的取值范围是（ ）．‎ A． B． C．或 D．或 ‎15.如果函数满足：对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤‎ ‎1恒成立，则a的取值范围是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎16.函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）．‎ ‎ ‎ A． 个 B．个 C．个 D．个 ‎17.已知函数f（x）=x3﹣2x2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．a＞﹣4 B．a≥﹣4 C．a＞1 D．a≥1‎ ‎18.若函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，2） B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）‎ ‎19.若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．‎ C． D．‎ ‎20.函数y=cos2x的导数是（　　）‎ A．﹣sin2x B．sin2x C．﹣2sin2x D．2sin2x ‎21.设函数，则（　　）‎ A． 为 f（x）的极大值点 B．为f（x）的极小值点 C．x=2 为 f（x）的极大值点 D．x=2为f（x）的极小值点 ‎22.已知f（x）为定义域为R的函数，f'（x）是f（x）的导函数，且f（1）=e，∀x∈R都有f'（x）＞f（x），则不等式f（x）＜ex的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0） C．（0，+∞） D．（1，+∞）‎ ‎23.设函数f（x）在其定义域D上的导函数为f′（x），如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈D，都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有性质ω（a），给出下列四个函数：‎ ‎①f（x）=x3﹣x2+x+1； ②f（x）=lnx+；‎ ‎③f（x）=（x2﹣4x+5）ex； ④f（x）=‎ 其中具有性质ω（2）的函数为（　　）‎ A． ‎①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④‎ ‎24.若，则方程在上恰好有（ ）．‎ A．个根 B．个根 C．个根 D．个根 ‎25.设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集（　　）‎ A．（﹣2018，﹣2015） B．（﹣∞，﹣2016） ‎ C．（﹣2016，﹣2015） D．（﹣∞，﹣2012）‎ ‎26.已知函数f（x）的导函数图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是（　　）‎ A． f（cosA）＜f（cosB） B．f（sinA）＜f（cosB） ‎ B． f（sinA）＞f（sinB） D．f（sinA）＞f（cosB）‎ C． ‎27.若f（x）=xex，则f′（1）=（　　）‎ A．0 B．e C．2e D．e2‎ ‎28.设函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）（0≤x≤2016π ‎），则函数f（x）的各极大值之和为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎29.设函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是（　　）‎ A．[1，+∞） B．（1，+∞） ‎ C． D．‎ ‎30.已知f（x）=，若f′（x0）=0，则x0=（　　）‎ A．e2 B．e C．1 D．ln2‎ ‎31.设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）（　　）‎ A．（，+∞） B．（，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞）‎ ‎32.已知函数g（x）满足g（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）x+，且存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，则m的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，3] C．[1，+∞） D．[0，+∞）‎ ‎33.函数在处有极值，在的值为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎34.已知函数f（x）=x﹣1﹣lnx，对定义域内任意x都有f（x）≥kx﹣2，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，1﹣] B．（﹣∞，﹣] C．[﹣，+∞） D．[1﹣，+∞）‎ ‎35.若函数f（x）=lnx+x2﹣ax+a+1为（0，+∞）上的增函数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．(﹣∞，2] B．（﹣∞，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞）‎ ‎36.若函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）‎ A．函数f（x）有极大值f（﹣2），无极小值 B．函数f（x）有极大值f（1），无极小值 C．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）‎ D．函数f（x）有极大值f（1）和极小值f（﹣2）．‎ ‎37.如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（　　）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎38.设a∈R，若函数y=eax+2x，x∈R有大于零的极值点，则（　　）‎ A．a＜﹣2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣ D．a＜﹣‎ ‎39.如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，直到全部露出水面为止，记时刻t薄片露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S'（t）的图象大致为（　　）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎40.已知函数f （x）=x3﹣12x+8在区间[﹣3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M﹣m的值为（　　）‎ A．16 B．12 C．32 D．6‎ ‎41.已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（　　）‎ A．（﹣2，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞）‎ ‎42.下列求导运算正确的是（　　）‎ A．（x）′=1 B．（x2cosx）′=﹣2xsinx C．（3x）′=3xlog3e D．（log2x）′=‎ ‎43.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎44.函数的单调增区间是（　　）‎ A．（0，e） B．（﹣∞，e） C．（e﹣1，+∞） D．（e，+∞）‎ ‎45.在R上可导的函数f（x）的图形如图所示，则关于x的不等式x•f′（x）＜0的解集为（　　）‎ A． ‎（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） ‎ B． ‎（﹣2，﹣1）∪（1，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）‎ ‎46.若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（　　）‎ A．（﹣1，0） B．（﹣1，0）∪（2，+∞） ‎ C．（2，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎47.若f（x）=x3﹣ax2+1在（1，3）内单调递减，则实数a的范围是（　　）‎ A．[，+∞） B．（﹣∞，3] C．（3，） D．（0，3）‎ ‎48.已知函数f（x）满足：f（x）+2f′（x）＞0，那么下列不等式成立的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．f（0）＞e2f（4）‎ ‎49.若函数f（x）=ax3+x在区间[1，+∞）内是减函数，则（　　）‎ A．a≤0 B． C．a≥0 D．‎ ‎50.已知是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）．‎ A． B． ‎ C． D．‎ 试卷答案 ‎1.D ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出f（x）的表达式，得到g（x）的表达式，设h（x）=f（x）﹣g（x），求出h（0）和h（﹣1）的值，从而求出x0的范围．‎ ‎【解答】解：设f（x）=ke﹣x，‎ 则f（x）满足f′（x）=﹣f（x），‎ 而f（0）=2，∴k=2，‎ ‎∴f（x）=2e﹣x，‎ ‎∴g（x）=3lnf（x）=3（﹣x+ln2）=﹣3x+3ln2，‎ 设h（x）=f（x）﹣g（x），‎ 则h（x）=2e﹣x+3x﹣3ln2，‎ ‎∴h（0）=2﹣3ln2＜0，h（﹣1）=2e﹣3﹣3ln2＞0，‎ 即在（﹣1，0）上存在零点，‎ 故选：D．‎ ‎2.C ‎，．‎ 由可知：，，‎ 故，‎ 故选．‎ ‎3.A ‎【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，f（x）的最小值，得到关于k的不等式，解出即可．‎ ‎【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 =2e，‎ ‎∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x2）有最小值2e，‎ ‎∵g（x）=，∴g′（x）=，‎ 当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，‎ 当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，‎ 则有x1、x2∈（0，+∞），f（x2）min=2e＞g（x1）max=e ‎∵（k+1）g（x1）≤kf（x2）（k＞0），‎ ‎∴≤恒成立且k＞0，≤，‎ ‎∴k≥1‎ 故选：A．‎ ‎4.B ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】构造函数h（x）=x3f（x）﹣2x，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即可．‎ ‎【解答】解：令h（x）=x3f（x）﹣2x，‎ 则h′（x）=x[3xf（x）+x2f'（x）﹣2]，‎ 若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x2f'（x）＜2，‎ 则h′（x）≤0在[0，+∞）恒成立，‎ 故h（x）在[0，+∞）递减，‎ 若x3f（x）+x3f（﹣x）=0，‎ 则h（x）=h（﹣x），‎ 则h（x）在R是偶函数，h（x）在（﹣∞，0）递增，‎ 不等式x3f（x）﹣8f（2）＜x2﹣4，‎ 即不等式x3f（x）﹣x2＜8f（2）﹣4，‎ 即h（x）＜h（2），‎ 故|x|＞2，解得：x＞2或x＜﹣2，‎ 故不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查转化思想，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．‎ ‎5.B ‎【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（2，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（2，+∞）上恒成立．解出即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=k﹣，‎ ‎∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（2，+∞）单调递增，‎ ‎∴f′（x）≥0在区间（2，+∞）上恒成立．‎ ‎∴k≥，‎ 而y=在区间（2，+∞）上单调递减，‎ ‎∴k≥．‎ ‎∴k的取值范围是：[，+∞）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．‎ ‎6.A ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】利用函数的零点以及方程的根的关系，通过函数的导数，二次导函数判断函数的单调性，利用函数的零点判定定理，推出结果即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=ex﹣ln（x+a）（a∈R），则x＞﹣a，‎ 可得f′（x）=ex﹣，f′′（x）=ex+恒大于0，‎ f′（x）是增函数，令f′（x0）=0，则，有唯一解时，‎ a=，代入f（x）可得：‎ f（x0）===，‎ 由于f（x0）是增函数，‎ f（﹣1）≈﹣0.63，f（）≈0.11‎ 所以f（x0）=0时，﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎7.A ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】令g（x）=‎ ‎，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的对称性和已知可得g（0）=1，从而求得不等式f（x）＞ex的解集．‎ ‎【解答】解：设g（x）=，则g′（x）=．‎ ‎∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0．∴函数g（x）是R上的减函数，‎ ‎∵函数f（x+3）是偶函数，‎ ‎∴函数f（﹣x+3）=f（x+3），∴函数关于x=3对称，∴f（0）=f（6）=1，‎ 原不等式等价为g（x）＞1，∴不等式f（x）＜ex等价g（x）＞1，即g（x）＞g（0），‎ ‎∵g（x）在R上单调递减，∴x＜0．‎ ‎∴不等式f（x）＞ex的解集为（﹣∞，0）．‎ 故选：A ‎8.B ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】把给出的等式变形得到f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则g（）＜g（）＜g（1）＜g（），整理后即可得到答案．‎ ‎【解答】解：解：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0，‎ 由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx，‎ 即f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0．‎ 令g（x）=，x∈（0，），则g′（x）=＞0．‎ 所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数，‎ 则g（）＜g（）＜g（1）＜g（），即 ‎，‎ 对照选项，A．应为＞，C．应为＜f（），‎ D．应为f（1）2f（）sin1，B正确．‎ 故选B．‎ ‎9.C ‎，‎ 令，解得或．‎ 再，解得，‎ 所以，分别是函数的极大值点和极小值点，‎ 所以，，‎ ‎，，‎ 所以最小值为，‎ 故选．‎ ‎10.A ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f′（2）可求．‎ ‎【解答】解：∵f′（x）=﹣+3f′（2），‎ ‎∴f′（2）=﹣+3f′（2），‎ 解得：f′（2）=，‎ 故选：A．‎ ‎11.C ‎【考点】函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0，又因为f′（x）=3x2+2ax+b，所以得到：f′（1）=3+2a+b=0，又因为f（1）=10，所以可求出a与b的值确定解析式，最终将x=2代入求出答案．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，‎ ‎∴或 ‎ ‎①当时，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，∴在x=1处不存在极值；‎ ‎②当时，f′（x）=3x2+8x﹣11=（3x+11）（x﹣1）‎ ‎∴x∈（，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，符合题意．‎ ‎∴，∴f（2）=8+16﹣22+16=18．‎ 故选C．‎ ‎12.D ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据导数的运算法则，求导，然后导入值计算即可 ‎【解答】解：f（x）=cosx，则f′（x）=﹣，‎ ‎∴f（π）+f′（）=cosπ﹣﹣=﹣﹣=﹣，‎ 故选：D ‎【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题 ‎13.B ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最大值小于0，从而证出结论 ‎【解答】解：设g（x）=‎ ‎∴g′（x）=，‎ ‎∵对∀x∈R，总有（2﹣x）f（x）+xf′（x）＜0成立，‎ 当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）递减 当x＜0时，g′（x）＞0，函数g（x）递增，‎ ‎∴g（x）＜g（0）=0，‎ ‎∴＜0恒成立 ‎∴f（x）＜0恒成立，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．‎ ‎14.C ‎∵，‎ 恒有解，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴或，‎ 当时，（舍去），‎ ‎∴或，‎ 故选．‎ ‎15.A ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】由题意函数满足：对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1恒成立，必有函数满足其最大值与最小值的差小于等于1，由此不等式解出参数a的范围即可，故可先求出函数的导数，用导数判断出最值，求出最大值与最小值的差，得到关于a的不等式，解出a的值 ‎【解答】解：由题意f′（x）=x2﹣a2‎ 当a2≥1时，在x∈[0，1]，恒有导数为负，即函数在[0，1]上是减函数，故最大值为f（0）=0，最小值为f（1）=﹣a2，故有，解得|a|≤，故可得﹣≤a≤‎ 当a2∈[0，1]，由导数知函数在[0，a]上增，在[a，1]上减，故最大值为f（a）=又f（0）=0，矛盾，a∈[0，1]不成立，‎ 故选A．‎ ‎16.A 设导函数在内的图像与轴的交点（自左向右）分别为，，，，‎ 其中，‎ 则由导函数的图像可得：‎ 当时，，‎ 时，且，‎ 所以是函数的极大值点；‎ 当时，，‎ 时，且，‎ 所以是函数的极小值点，‎ 当或时，，‎ 故不是函数的极值点；‎ 当时，，‎ 而当时，，且，‎ 所以是函数的极大值点，‎ 综上可知：在内有个极小值点，‎ 故选．‎ ‎17.D ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出导函数f'（x）=3x2﹣4x+a，在区间内大于或等于零，根据二次函数的性质可知，导函数在区间内递增，故只需f'（1）≥0即可．‎ ‎【解答】解：f（x）=x3﹣2x2+ax+3，‎ ‎∴f'（x）=3x2﹣4x+a，‎ ‎∵在[1，2]上单调递增，‎ ‎∴f'（x）=3x2﹣4x+a在区间内大于或等于零，‎ ‎∵二次函数的对称轴x=，‎ ‎∴函数在区间内递增，‎ ‎∴f'（1）≥0，‎ ‎∴﹣1+a≥0，‎ ‎∴a≥1，‎ 故选D．‎ ‎18.A ‎【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】由函数f（x）=x3﹣3x+a求导，求出函数的单调区间和极值，从而知道函数图象的变化趋势，要使函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，寻求实数a满足的条件，从而求得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解∵f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），‎ 当x＜﹣1时，f′（x）＞0；‎ 当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0；‎ 当x＞1时，f′（x）＞0，‎ ‎∴当x=﹣1时f（x）有极大值．‎ 当x=1时，‎ f（x）有极小值，要使f（x）有3个不同的零点．‎ 只需，解得﹣2＜a＜2．‎ 故选A．‎ ‎【点评】考查利用导数研究函数的单调性和极值，函数图象的变化趋势，体现了数形结合和运动的思想方法，属中档题．‎ ‎19.D ‎【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：由3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0得3x+2a（y﹣2ex）ln=0，‎ 即3+2a（﹣2e）ln=0，‎ 即设t=，则t＞0，‎ 则条件等价为3+2a（t﹣2e）lnt=0，‎ 即（t﹣2e）lnt=﹣有解，‎ 设g（t）=（t﹣2e）lnt，‎ g′（t）=lnt+1﹣为增函数，‎ ‎∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，‎ ‎∴当t＞e时，g′（t）＞0，‎ 当0＜t＜e时，g′（t）＜0，‎ 即当t=e时，函数g（t）取得极小值为：g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，‎ 即g（t）≥g（e）=﹣e，‎ 若（t﹣2e）lnt=﹣有解，‎ 则﹣≥﹣e，即≤e，‎ 则a＜0或a≥，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．‎ ‎20.C ‎【考点】63：导数的运算．‎ ‎【分析】根据题意，令t=2x，则y=cost，利用复合函数的导数计算法则计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，令t=2x，则y=cost，‎ 其导数y′=（2x）′（cost）′=﹣2sin2x；‎ 故选：C．‎ ‎21.D ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值点即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=﹣+=，（x＞0），‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞2，‎ 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，‎ 故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，‎ 故x=2是函数的极小值点，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．‎ ‎22.‎ A ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】根据题意，令g（x）=‎ ‎，结合题意对其求导分析可得g′（x）＞0，即函数g（x）在R上为增函数，又由f（1）=e，可得g（e）==1，而不等式f（x）＜ex可以转化为g（x）＜g（1），结合函数g（x）的单调性分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，令g（x）=，其导数g′（x）==，‎ 又由，∀x∈R都有f'（x）＞f（x），则有g′（x）＞0，即函数g（x）在R上为增函数，‎ 若f（1）=e，则g（e）==1，‎ f（x）＜ex⇒＜1⇒g（x）＜g（1），‎ 又由函数g（x）在R上为增函数，‎ 则有x＜1，即不等式f（x）＜ex的解集为（﹣∞，1）；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎23.A ‎【考点】指数型复合函数的性质及应用．‎ ‎【分析】因为a=2，所以先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后将其配凑成f′（x）=h（x）（x2﹣2x+1）这种形式，分别求出h（x），然后确定h（x）是否满足对任意的x∈D都有h（x）＞0．‎ ‎【解答】解：①f'（x）=x2﹣2x+1，若f′（x）=h（x）（x2﹣2x+1），即x2﹣2x+1=h（x）（x2﹣2x+1），‎ 所以h（x）=1＞0，满足条件，所以①具有性质ω（2）．‎ ‎②函数f（x）=lnx++的定义域为（0，+∞）．f′（x）=﹣==•（x2﹣2x+1），‎ 所以h（x）=，当x∈（0，+∞）时，h（x）＞0，所以②具有性质ω（2）．‎ ‎③f'（x）=（2x﹣4）ex+（x2﹣4x+5）ex=（x2﹣2x+1）ex，所以h（x）=ex，因为h（x）＞0，所以③具有性质ω（2）．‎ ‎④f′（x）==，若f′（x）=•（x2﹣2x+1），‎ 则h（x）=，因为h（1）不存在，所以不满足对任意的x∈D都有h（x）＞0，所以④不具有性质ω（2），‎ 故选：A．‎ ‎24.B 令，‎ 则，‎ ‎∴，故当时，，‎ 即在上为减函数，‎ 又∵，，‎ 故函数在上有且只有一零点，‎ 即方程在上恰好有个根，‎ 故选．‎ ‎25.A ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．‎ ‎【分析】根据条件，构造函数g（x）=x3f（x），利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在（﹣∞，0）上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．‎ ‎【解答】解：构造函数g（x）=x3f（x），g′（x）=x2（3f（x）+xf′（x））；‎ ‎∵3f（x）+xf′（x）＞0，x2＞0；‎ ‎∴g′（x）＞0；‎ ‎∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增；‎ g（x+2015）=（x+2015）3f（x+2015），g（﹣3）=﹣27f（﹣3）；‎ ‎∴由不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0得：‎ ‎（x+2015）3f（x+2015）＞﹣27f（﹣3）；‎ ‎∴g（x+2015）＞g（﹣3）；‎ ‎∴x+2015＞﹣3，且x+2015＜0；‎ ‎∴﹣2018＜x＜﹣2015；‎ ‎∴原不等式的解集为（﹣2018，﹣2015）．‎ 故选A．‎ ‎26.D ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】根据导数函数图象可判断；f（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，‎ 由△ABC为锐角三角形，得A+B，0﹣B＜A，再根据正弦函数，f（x）单调性判断．‎ ‎【解答】解：根据导数函数图象可判断；f（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，∴A+B，0﹣B＜A，‎ ‎∴0＜sin（﹣B）＜sinA＜1，0＜cosB＜sinA＜1‎ f（sinA）＞f（sin（﹣B）），‎ 即f（sinA）＞f（cosB）‎ 故选；D ‎【点评】本题考查了导数的运用，三角函数，的单调性，综合性较大，属于中档题．‎ ‎27.C ‎【考点】63：导数的运算．‎ ‎【分析】直接根据基本函数的导数公式和导数的运算法则求解即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=xex，‎ ‎∴f′（x）=ex+xex，‎ ‎∴f′（1）=2e．‎ 故选：C．‎ ‎28.D ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】先求f′（x）=2exsinx，这样即可得到f（π），f（3π），f（5π），…，f为f（x）的极大值，并且构成以eπ为首项，e2π为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求f（x）的各极大值之和即可．‎ ‎【解答】解：：∵函数f（x）=ex（sinx﹣cosx），‎ ‎∴f′（x）=[ex（sinx﹣cosx）]′=ex（sinx﹣cosx）+ex（cosx+sinx）=2exsinx；‎ 令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈Z）；‎ ‎∴当2kπ＜x＜2kπ+π时，f′（x）＞0，原函数单调递增，‎ 当2kπ+π＜x＜2kπ+2π时，f′（x）＜0，原函数单调递减；‎ ‎∴当x=2kπ+π时，函数f（x）取得极大值，‎ 此时f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）﹣cos（2kπ+π）]=e2kπ+π；‎ 又∵0≤x≤2016π，∴0和2016π都不是极值点，‎ ‎∴函数f（x）的各极大值之和为：‎ eπ+e3π+e5π+…+e2015π=，‎ 故选：D．‎ ‎29.A ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则≤，可求k的范围．‎ ‎【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 =2e，‎ ‎∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e，‎ ‎∵g（x）=，‎ ‎∴g′（x）=，‎ 当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，‎ 当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，‎ 则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e，‎ ‎∵恒成立且k＞0，‎ ‎∴≤，‎ ‎∴k≥1，‎ 故选：A．‎ ‎30.B ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据导数的运算法则求导，再代值计算即可．‎ ‎【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），‎ ‎∴f′（x）=（）′=‎ 由f′（x0）=0，得=0，解得x0=e．‎ 故选：B ‎31.B ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．‎ ‎【分析】容易求出f′（0）=6，结合条件便可得出函数f（x）的解析式，进而求出导函数，代入4f（x）＞f′（x），根据对数函数的单调性及对数的运算便可解出原方程．‎ ‎【解答】解：根据条件，3f（0）=3=f′（0）﹣3；‎ ‎∴f′（0）=6；‎ ‎∴f（x）=2e3x﹣1，f′（x）=6e3x；‎ ‎∴由4f（x）＞f′（x）得：4（2e3x﹣1）＞6e3x；‎ 整理得，e3x＞2；‎ ‎∴3x＞ln2；‎ ‎∴x＞；‎ ‎∴原不等式的解集为（，+∞）‎ 故选：B．‎ ‎32.C ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】分别求出g（0），g′（1），求出g（x）的表达式，求出g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出g（x）的最小值，问题转化为只需2m﹣1≥g（x）min=1即可，求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：∵g（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）x+，‎ ‎∴g′（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）+x，‎ ‎∴g′（1）=g′（1）﹣g（0）+1，解得：g（0）=1，‎ g（0）=g′（1）e﹣1，解得：g′（1）=e，‎ ‎∴g（x）=ex﹣x+x2，‎ ‎∴g′（x）=ex﹣1+x，g″（x）=ex+1＞0，‎ ‎∴g′（x）在R递增，而g′（0）=0，‎ ‎∴g′（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，‎ ‎∴g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，‎ ‎∴g（x）min=g（0）=1，‎ 若存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，‎ 只需2m﹣1≥g（x）min=1即可，解得：m≥1，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了求函数的表达式问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道中档题．‎ ‎33.D ‎，‎ ‎∵在处有极值，‎ ‎∴时，，‎ ‎∴，‎ 故选．‎ ‎34.A ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】问题转化为k≤1+﹣对x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=1+﹣，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出k的范围即可．‎ ‎【解答】解：f（x）=x﹣1﹣lnx，若对定义域内任意x都有f（x）≥kx﹣2，‎ 则k≤1+﹣对x∈（0，+∞）恒成立，‎ 令g（x）=1+﹣，则g′（x）=，‎ 令g′（x）＞0，解得：x＞e2，‎ 令g′（x）＜0，解得：0＜x＜e2，‎ 故g（x）在（0，e2）递减，在（e2，+∞）递增，‎ 故g（x）的最小值是g（e2）=1﹣，‎ 故k≤1﹣，‎ 故选：A．‎ ‎35.‎ A ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】由函数f（x）=lnx+x2﹣ax+a+1为（0，+∞）上的增函数，可得：f′（x）=+2x﹣a≥0，化为：a≤+2x=g（x），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．‎ ‎【解答】解：f′（x）=+2x﹣a，‎ ‎∵函数f（x）=lnx+x2﹣ax+a+1为（0，+∞）上的增函数，‎ ‎∴f′（x）=+2x﹣a≥0，化为：a≤+2x=g（x），‎ g′（x）=2﹣==，‎ 可知：x=时，函数g（x）取得极小值即最小值， =2．‎ 则实数a的取值范围是a≤2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎36.B ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，可得x＞1时，f′（x）＜0；﹣2＜x＜1时，f′（x）＞0；x＜﹣2时，f′（x）＞0．即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，‎ ‎∴x＞1时，f′（x）＜0；﹣2＜x＜1时，f′（x）＞0；x＜﹣2时，f′（x）＞0．‎ ‎∴函数f（x）有极大值f（1），无极小值．‎ 故选：B．‎ ‎37.A ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】解：由图象知f（﹣1）=f（0）=f（2）=0，解出 b、c、d的值，由x1和x2是f′（x）=0的根，使用根与系数的关系得到x1+x2=．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，由图象知，﹣1+b﹣c+d=0，0+0+0+d=0，‎ ‎8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2 ‎ ‎∴f′（x）=3x2+2bx+c=3x2﹣2x﹣2． 由题意有x1和x2是函数f（x）的极值，‎ 故有x1和x2是f′（x）=0的根，∴x1+x2=，‎ 故选：A．‎ ‎38.A ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】f′（x）=aeax+2=0，当a≥0无解，无极值．当a＜0时，x=ln（﹣），由于函数y=eax+2x，x∈R有大于零的极值点，可得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：f′（x）=aeax+3，令f′（x）=0即aeax+2=0，‎ 当a≥0无解，∴无极值．‎ 当a＜0时，x=ln（﹣），‎ 当x＞ln（﹣），f′（x）＞0；x＜ln（﹣）时，f′（x）＜0．‎ ‎∴ln（﹣）为极大值点，‎ ‎∴ln（﹣）＞0，解之得a＜﹣2，‎ 故选：A．‎ ‎39.A ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．‎ ‎【分析】总面积一直保持增加，则导数值一直为正，但总面积的增加速度是逐渐增大→突然变大→逐渐减小→逐渐增大→突然变小→逐渐变小，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：总面积一直保持增加，则导数值一直为正，故排除B；‎ 总面积的增加速度是逐渐增大→突然变大→逐渐减小→逐渐增大→突然变小→逐渐变小，‎ 故导函数y=S'（t）的图象应是匀速递增→突然变大→匀速递减→匀速递增→突然变小→匀速递减，‎ 故排除CD，‎ 故选．A ‎40.C ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】先求导函数，研究出函数在区间[﹣3，3]上的单调性，从而确定出函数最值的位置，求出函数的最值，即可求M﹣m．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣12x+8‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣12‎ 令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜﹣2；令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜2‎ 故函数在[﹣2，2]上是减函数，在[﹣3，﹣2]，[2，3]上是增函数，‎ 所以函数在x=2时取到最小值f（2）=8﹣24+8=﹣8，在x=﹣2时取到最大值f（﹣2）=﹣8+24+8=24‎ 即M=24，m=﹣8‎ ‎∴M﹣m=32‎ 故选C．‎ ‎41.B ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3N：奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 ‎【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称 ‎∴y=f（x）的图象关于x=2对称 ‎∴f（4）=f（0）‎ 又∵f（4）=1，∴f（0）=1‎ 设g（x）=（x∈R），则g′（x）==‎ 又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0‎ ‎∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减 ‎∵f（x）＜ex ‎∴g（x）＜1‎ 又∵g（0）==1‎ ‎∴g（x）＜g（0）‎ ‎∴x＞0‎ 故选B．‎ ‎42.D ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据导数的运算公式和运算法则进行判断即可．‎ ‎【解答】解：A．（x+）′=1﹣，∴A错误．‎ B．（x2cosx）′=﹣2xsinx﹣x2sinx，∴B错误．‎ C．（3x）′=3xln3，∴C错误．‎ D．（log2x）′=，正确．‎ 故选：D．‎ ‎43.B ‎，‎ 令，‎ 则，‎ 故是增函数，‎ 又因为，‎ 故解集为，‎ 故选．‎ ‎44.A ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．‎ ‎【解答】解：函数的定义域是（0，+∞），‎ y′=，‎ 令y′＞0，解得：0＜x＜e，‎ 故函数在（0，e）递增，‎ 故选：A．‎ ‎45.A ‎【考点】导数的运算；其他不等式的解法．‎ ‎【分析】讨论x的符号，根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若x=0时，不等式x•f′（x）＜0不成立．‎ 若x＞0，则不等式x•f′（x）＜0等价为f′（x）＜0，此时函数单调递减，由图象可知，此时0＜x＜1．‎ 若x＜0，则不等式x•f′（x）＜0等价为f′（x）＞0，此时函数单调递增，由图象可知，此时x＜﹣1．，‎ 故不等式x•f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．‎ 故选：A．‎ ‎46.C ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f（x）的单调递增区间．‎ ‎【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）‎ 求导函数可得：f′（x）=2x﹣2﹣，‎ 令f′（x）＞0，可得2x﹣2﹣＞0，∴x2﹣x﹣2＞0，∴x＜﹣1或x＞2‎ ‎∵x＞0，∴x＞2‎ ‎∴f（x）的单调递增区间为（2，+∞）‎ 故选C．‎ ‎47.A ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】由函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，3）内单调递减转化成f'（x）≤0在（0，3）内恒成立，利用参数分离法即可求出a的范围．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，3）内单调递减，‎ ‎∴f'（x）=3x2﹣2ax≤0在（0，3）内恒成立．‎ 即a≥x在（0，3）内恒成立．‎ ‎∵g（x）=x在（0，3]上的最大值为×3=，‎ 故a≥‎ ‎∴故选：A．‎ ‎48.A ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】根据题意可设f（x）=，然后代入计算判断即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）+2f′（x）＞0，‎ 可设f（x）=，‎ ‎∴f（1）=，f（0）=e0=1，‎ ‎∴f（1）＞，‎ 故选：A．‎ ‎49. B ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的导数，问题转化为a≤﹣在[1，+∞）恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：若函数f（x）=ax3+x在区间[1，+∞）内是减函数，‎ 则f′（x）=3ax2+1≤0在[1，+∞）恒成立，‎ 即a≤﹣在[1，+∞）恒成立，‎ 而y=﹣在[1，+∞）递增，‎ 故x=1时，y的最小值是﹣，‎ 故a≤﹣，‎ 故选：B．‎ ‎50.B ‎∵，时，，‎ ‎∴当时，为增函数，时，为减函数，‎ ‎∵有奇函数，‎ ‎∴为偶函数，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 画出大致图象可得到时．‎