- 2021-04-13 发布 |
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文档介绍
高中数学第一章导数及其应用1_7定积分的简单应用学案新人教A版选修2_2
定积分的简单应用 [思考 1] 如图①②③是由一条曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(aa)所围成的 平面图形,如何利用定积分求图形的面积 S? 名师指津:图④中 S=错误![f(x)-g(x)]dx;图⑤中 S=错误![f(x)-g(x)]dx. 讲一讲 1.计算曲线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3 所围成图形的面积.(链接教材 P56-例 1) [尝试解答] 由 y=x+3, y=x2-2x+3, 解得 x=0 或 x=3.如图. 因此所求图形的面积为 S=错误!(x+3)dx-错误!(x2-2x+3)dx =错误![(x+3)-(x2-2x+3)]dx =错误!(-x2+3x)dx = -1 3 x3+3 2 x2 3 0 =9 2 . 求不分割型图形面积的一般步骤如下: 同时,要注意被积函数是图形上边界对应的函数与下边界对应的函数的差.否则,有可 能得面积是负的. 练一练 1.求曲线 y=ex,y=e-x 及 x=1 所围成的图形面积. 解: 作图,并由 y=ex, y=e-x, 解得交点(0,1).所求面积为错误!(ex-e-x)dx =(ex+e-x)|1 0=e+1 e -2. [思考] 下图是由三条曲线 y=f(x)、y=g(x)和 y=h(x)围成的图形,且在[a,c]上, f(x)≥g(x),在[c,b]上,f(x)≥h(x). 还能用[讲 1]的方法求该图形的面积吗?如果不能,该如何求解? 名师指津:不能.S=错误![f(x)-g(x)]dx+错误![f(x)-h(x)]dx. 讲一讲 2.(链接教材 P57-例 2)求曲线 y= x,y=2-x,y=-1 3 x 所围成的图形的面积. [尝试解答] 画出草图,如图所示. 解方程组 y= x, x+y=2, y= x, y=-1 3 x, 及 x+y=2, y=-1 3 x, 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1). =错误! x+1 3 x dx+错误! 2-2 3 x dx = 2 3 x3 2 +1 6 x2 |1 0+ 2x-1 3 x2 |3 1 =2 3 +1 6 +6-1 3 ×9-2+1 3 =13 6 . 法二:若选y 为积分变量,则三个函数分别为 x=y2, x=2-y,x=-3y. 因为它们的交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1). =-(-2+1)+2-1 2 -1 3 =13 6 . 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区间内位于上方和下方的曲 线有所变化,通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标,可以将积分区间进行细化分段,然 后对各个区间分别求面积进而求和,在每个区间上被积函数均是由上减下.若积分变量选取 x 运算较为复杂,可以选 y 为积分变量,被积函数改为 y 的函数,同时更改积分的上下限. 练一练 2.求曲线 xy=1 及直线 y=x,y=3 所围成图形的面积. 解:如图所示,由 xy=1, y=x, 得 A 点坐标为(1,1);由 xy=1, y=3, 得 B 点坐标为 1 3 ,3 ; 由 y=x, y=3, 得 C 点坐标为(3,3). 法一:以 x 为积分变量,所求阴影部分的面积为 =2-ln 3+2 =4-ln 3. 法二:以 y 为积分变量,所求阴影部分的面积为 S=错误! y-1 y dy= 1 2 y2-ln y |3 1 =4-ln 3. [思考] 若做变速直线运动的物体的速度函数为 v=v(t)(v(t)≥0),则它在 t=a 到 t =b(b>a)的时间段内所经过的路程 s 是多少? 提示:s=错误!v(t)dt. 讲一讲 3.(链接教材 P58-例 3)有一动点 P 沿 x 轴运动,在时间 t 时的速度为 v(t)=8t-2t2(速 度的正方向与 x 轴正方向一致).求: (1)P 从原点出发,当 t=6 时,求点 P 移动的路程和离开原点的位移; (2)P 从原点出发,经过时间 t 后又返回原点时的 t 值. [尝试解答] (1)由 v(t)=8t-2t2≥0 得 0≤t≤4, 即当 0≤t≤4 时,P 点向 x 轴正方向运动, 当 t>4 时,P 点向 x 轴负方向运动. 故 t=6 时,点 P 移动的路 程 = 4t2-2 3 t3 |4 0- 4t2-2 3 t3 |6 4=128 3 . 当 t=6 时,点 P 的位移为 即 4t2-2 3 t3=0, 解得 t=0 或 t=6, t=0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况,t=6 是从原点出发,又返回原点所用的时 间. 做变速直线运动的物体,从时刻 t=a 到时刻 t=b(a0 时,若 00,所以 a=2. 若 a>2,不符合题意. 综上,a=-1 或 2. 题组 2 分割型图形面积的求解 5.如图,阴影部分是由曲线 y=1 x ,y2=x 与直线 x=2,y=0 围成,则其面积为________. 解析:S=错误! xdx+错误! 1 x dx =2 3 +ln 2. 答案:2 3 +ln 2 6.求抛物线 y2=2x 和直线 y=-x+4 所围成的图形的面积. 解:先求抛物线和直线的交点,解方程组 y2=2x, y=-x+4, 求出交点坐标为 A(2,2)和 B(8,-4). 法一:选x 为积分变量,变化区间为[0,8],将图形分割成两部分(如图),则面积为 S=S1+S2=2错误! 2xdx+错误!( 2x-x+4)dx 法二:选 y 作积分变量,则 y 的变化区间为[-4,2],如图得所求的面积为 =18. 题组 3 求变速直线运动的路程 7.一辆汽车以 v=3t2 的速度行驶,这辆汽车从 t=0 到 t=3 这段时间内所行驶的路程 为( ) 错误! B.1 C.3 D.27 8.A、B 两站相距 7.2 km,一辆电车从 A 站开往 B 站,电车开出 t s 后到达途中 C 点, 这一段的速度为 m/s,到 C 点的速度为 24 m/s,从 C 点到 B 点前的 D 点以等速行驶,从 D 点开始刹车,速度为(24-m/s,经 t s 后,在 B 点恰好停车,试求: (1)A、C 间的距离; (2)B、D 间的距离. 解:(1)设 A 到 C 的时间为 t1, 则=24,t1=20 (s), (2)设 D 到 B 的时间为 t2, 则 24-=0,t2=20(s), 则|DB|=∫20 0 (24-dt =(24t-︱20 0 =240(m). 题组 4 求变力做功 9.做直线运动的质点在任意位置 x 处,所受力 F(x)=1+ex,则质点沿着与 F(x)相同 的方向,从点 x1=0 处运动到点 x2=1 处,力 F(x)所做的功是( ) A.1+e B.e 错误! D.e-1 解析:选 B W=错误!(1+ex)dx=(x+ex)︱1 0=e. 10.一物体在力 F(x)(单位:N)的作用下沿与力 F 相同的方向运动,力—位移曲线如图 所示.求该物体从 x=0 处运动到 x=4(单位:m)处力 F(x)做的功. 解:由力—位移曲线可知 F(x)= 10,0≤x≤2, 3x+4,2查看更多