2020高中数学函数的概念
1.2.1 函数的概念
学习目标：1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)3.能够正确使用区间表示数集．(易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．函数的概念
定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么对称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
自变量x的取值范围
值域
与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
[提示] (1)这种看法不对．
符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
2．区间及有关概念
(1)一般区间的表示
设a，b∈R，且a
0得x>－1.
所以函数的定义域为(－1，＋∞)．]
3．若f(x)＝，则f(3)＝________.
【导学号：37102085】
－ [f(3)＝＝－.]
4．集合{x|x≤－2}用区间可表示为________．
(－∞，－2] [{x|x≤－2}表示小于等于－2的数组成的集合，即用区间表示为(－∞，－2]．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
函数的概念
(1)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．
①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；
②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．
(2)下列各组函数是同一函数的是( )
①f(x)＝与g(x)＝x；
②f(x)＝x与g(x)＝；
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③f(x)＝x0与g(x)＝；
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
A．①② B．①③
C．③④ D．①④
[解] (1)①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．
②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．
③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．
④集合A不是数集，故不是函数．
(2)C [①f(x)＝＝|x|与y＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
②g(x)＝＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
③f(x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．
由上可知是同一函数的是③④.
故选C.]
[规律方法] 判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空数集.
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.,对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系
[跟踪训练]
1．下列四个图象中，不是函数图象的是( )
【导学号：37102086】
A B C D
B [根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]
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求函数值
设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，
(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．
(2)求g(f(x))．
思路探究：(1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；
(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．
[解] (1)因为f(x)＝2x2＋2，
所以f(2)＝2×22＋2＝10，
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝，
所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2)．
g(f(2))＝g(10)＝＝.
(2)g(f(x))＝＝＝.
[规律方法]
函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
[跟踪训练]
2．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值.
【导学号：37102087】
[解] f(1)＝13＋2×1＋3＝6；
f(t)＝t3＋2t＋3；
f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；
f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.
求函数的定义域
[探究问题]
1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？
提示：不可以．如f(x)＝.倘若先化简，则f(x)＝，从而定义域与原函数不等价．
2．若函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，那么函数y＝f(x＋1)的定义域是什么？
提示：函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，所以令x＋1≥0，解得x≥－1，所以函数y＝f(x＋1)的定义域是[－1，＋∞)．
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3．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？
提示：[1,2]是自变量x的取值范围．
函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．
求下列函数的定义域
(1)f(x)＝2＋；
(2)f(x)＝(x－1)0＋；
(3)f(x)＝·；
(4)f(x)＝－.
思路探究：要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．
[解] (1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，
函数y＝2＋有意义，
所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)函数有意义，当且仅当
解得x>－1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．
(3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
母题探究：1.(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．
[解] 由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.
所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]．
2．(变化论)在本例(3)条件不变的前题下，求函数y＝f(x＋1)＋的定义域．
[解] 由，得1≤x≤2.
∴函数的定义域为[1,2]．
[规律方法] 求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.
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[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知函数f(x)＝，则f＝( )
A. B.
C．a D．3a
D [f＝3a，故选D.]
2．下列表示的是y关于x的函数的是( )
【导学号：37102088】
A．y＝x2 B．y2＝x
C．|y|＝x D．|y|＝|x|
A [结合函数的定义可知A正确，选A.]
3．下列函数中，与函数y＝x相等的是( )
A．y＝()2 B．y＝
C．y＝|x| D．y＝
D [函数y＝x的定义域为R；y＝()2的定义域为[0，＋∞)；y＝＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝＝x，且定义域为R.故选D.]
4．将函数y＝的定义域用区间表示为________．
(－∞，0)∪(0,1] [由
解得x≤1且x≠0，
用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．]
5．已知函数f(x)＝x＋，
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值.
【导学号：37102089】
[解] (1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，
∴f(a＋1)＝a＋1＋.
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