高三数学文湘教版一轮复习5年高考真题备考题库函数模型及其应用
2009~2013 年高考真题备选题库
第二章 函数、导数及其应用
第九节 函数模型及其应用
考点一 函数模型的实际应用
1．（2013 陕西，5 分）在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一
个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x 为________(m)．
解析：本题主要考查构建函数模型，利用基本不等式求解应用问
题的能力．如图，过 A 作 AH⊥BC 于 H，交 DE 于 F，易知DE
BC
＝ x
40
＝AD
AB
＝AF
AH
⇒AF＝x⇒FH＝40－x.则 S＝x(40－x)≤
40
2 2，当且仅当 40－x＝x，
即 x＝20 时取等号．所以满足题意的边长 x 为 20(m)．
答案：20
2．（2013 重庆，12 分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水
池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的
建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12
000π元(π为圆周率)．
(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大．
解：本题主要考查导数在实际生活中的应用、导数与函数单调性的关系等基础知识，考
查转化思想及分类讨论思想．
(1)因为蓄水池侧面的总成本为 100×2πrh＝200πrh 元，底面的总成本为 160πr2 元，所以
蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
根据题意得 200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以 h＝ 1
5r(300－4r2)，
从而 V(r)＝πr2h＝π
5(300r－4r3)．
由 h>0，且 r>0 可得 0
0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；
当 r∈(5,5 3)时，V′(r)<0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数．
由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8，即当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体
积最大．
3．(2009·浙江，4 分)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该
地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位：元/千瓦时)
50 及以下的部分 0.568
超过 50 至 200 的部分 0.598
超过 200 的部分 0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价(单位：元/千瓦时)
50 及以下的部分 0.288
超过 50 至 200 的部分 0.318
超过 200 的部分 0.388
若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电量为 100 千瓦时，
则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．
解析：高峰时段电费 a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．
低谷时段电费 b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月用电量为 a＋
b＝148.4(元)．
4.(2011 山东，12 分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容
器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π
3
立方米，且 l≥2r.
假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半
球形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元．设该容器的建造费用为 y 千元．
(1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的 r.
解：(1)设容器的容积为 V，
由题意知 V＝πr2l＋4
3πr3，又 V＝80π
3
，
故 l＝
V－4
3πr3
πr2
＝80
3r2
－4
3r＝4
3(20
r2
－r)．
由于 l≥2r，因此 03，所以 c－2>0，
当 r3－ 20
c－2
＝0 时，r＝3 20
c－2.
令 3 20
c－2
＝m，则 m>0.
所以 y′＝8πc－2
r2 (r－m)(r2＋rm＋m2)．
①当 09
2
时，
当 r＝m 时，y′＝0；
当 r∈(0，m)时，y′<0；
当 r∈(m,2)时，y′>0，
所以 r＝m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点．
②当 m≥2 即 39
2
时，建造费用最小时 r＝ 3 20
c－2
.
考点二 函数与其他知识的交汇
1．（2013 安徽，12 分）设函数 f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中 a>0，区间 I＝{x|f(x)>0}．
(1)求 I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；
(2)给定常数 k∈(0,1)，当 1－k≤a≤1＋k 时，求 I 长度的最小值．
解：本题考查含参数的一元二次不等式的解法、导数的应用等，意在考查考生恒等变形
能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．
(1)因为方程 ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实根 x1＝0，x2＝ a
1＋a2
，
故 f(x)>0 的解集为{x|x10，d(a)单调递增；
当 10，
∴f(x)在(1
2
，1)上是单调递增的，∴f(x)在(1
2
，1)内存在唯一零点．
(2)法一：由题意知
－1≤f－1≤1，
－1≤f1≤1，
即
0≤b－c≤2，
－2≤b＋c≤0.
由图象知，b＋3c 在点(0，－2)处取到最小值－6，
在点(0,0)处取到最大值 0，
∴b＋3c 的最小值为－6，最大值为 0.
法二：由题意知
－1≤f(1)＝1＋b＋c≤1，即－2≤b＋c≤0，①
－1≤f(－1)＝1－b＋c≤1，即－2≤－b＋c≤0，②
①×2＋②得
－6≤2(b＋c)＋(－b＋c)＝b＋3c≤0，
当 b＝0，c＝－2 时，b＋3c＝－6；
当 b＝c＝0 时，b＋3c＝0，
所以 b＋3c 的最小值为－6，最大值为 0.
法三 由题意知 f－1＝1－b＋c，
f1＝1＋b＋c，
解得 b＝f1－f－1
2
，c＝f1＋f－1－2
2
，
∴b＋3c＝2f(1)＋f(－1)－3.
又∵－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，
∴－6≤b＋3c≤0，
当 b＝0，c＝－2 时，b＋3c＝－6；
当 b＝c＝0 时，b＋3c＝0，
所以 b＋3c 的最小值为－6，最大值为 0.
(3)当 n＝2 时，f(x)＝x2＋bx＋c.
对任意 x1，x2∈[－1,1]都有|f(x1)－f(x2)|≤4 等价于 f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差
M≤4.据此分类讨论如下：
(ⅰ)当|b
2|>1，即|b|>2 时，M＝|f(1)－f(－1)|＝2|b|>4，与题设矛盾．
(ⅱ)当－1≤－b
2<0，即 0
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