福建省长汀、连城一中等六校2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题 含解析

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福建省长汀、连城一中等六校2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题 含解析

福建省长汀、连城一中等六校2019-2020学年高二年上学期期中考联考数学试题 一、选择题(本大题共12小题)‎ 1. 某校有高一学生450人,高二学生540人,高三学生630人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从这些学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高一学生中抽取15人,则n为(  )‎ A. 45 B. 60 C. 50 D. 54‎ 2. 设m、n表示不同的直线,α、β表示不同的平面,且m⊂α,n⊂β,则“α∥β”是“m∥β且n∥α”的(  )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0≥x02-1”的否定为(  )‎ A. , B. , C. , D. ,‎ 4. 从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球,那么下列给出的两个事件互斥而不对立的是(  )‎ A. 恰有一个红球与恰有两个红球 B. 至少一个红球与至少一个白球 C. 至少一个红球与都是白球 D. 至少一个红球与都是红球 5. 已知椭圆,则以点M(-1,1)为中点的弦所在直线方程为(  )‎ A. B. C. D. ‎ 6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为棱C1D1的中点,则异面直线AM与BD所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D. ‎ 7. 一个包装箱内有6件产品,其中正品4件,次品2件.现随机抽出两件产品,则抽到都是正品的概率是(  )‎ A. B. C. D. ‎ 8. 甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学,在一次数学测试中,成绩统计用茎叶图表示如图,若甲、乙两个小组的平均成绩分别是,,标准差分别是s1,s2,则下列说法正确的是(  )‎ 甲 乙 ‎      98‎ ‎8‎ ‎      5   6  88‎ ‎210‎ ‎9‎ ‎3 ‎ A. , B. , C. , D. ,‎ 9. 已知F是抛物线x2=y的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到x轴的距离为(  )‎ A. B. 1 C. D. ‎ 10. 双曲线的左焦点为,点A的坐标为(0,1),点P为双曲线右支上的动点,且△APF1周长的最小值为6,则双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. 2 D. ‎ 11. 如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,,AB=AC=AA1=2,点G与E分别为线段A1B1和C1C的中点,点D与F分别为线段AC和AB上的动点.若GD⊥EF,则线段DF长度的最小值是(  )‎ A. B. 1 C. D. ‎ 1. 已知椭圆C:=1的左、右顶点分别为A,B,F为椭圆C的右焦点,圆x2+y2=4上有一动点P,P不同于A,B两点,直线PA与椭圆C交于点Q,则的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题)‎ 2. 已知向量,,若,则实数λ=______.‎ 3. 与双曲线有共同的渐近线,且过点(3,2)的双曲线方程为______.‎ 4. 若命题:∃x∈[0,3],使x2-2x-a≥0为真命题,则实数a的取值范围是______.‎ 5. 以下四个关于圆锥曲线的命题中 ①设A、B为两个定点,k为非零常数,,则动点P的轨迹为双曲线; ②曲线表示焦点在y轴上的椭圆,则; ③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④双曲线与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为______(写出所有真命题的序号)‎ 三、解答题(本大题共6小题)‎ 6. 已知集合A={x|1-a≤x≤1+a}(a>0),B={x|x2-5x+4≤0}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数a的取值范围; (2)对任意x∈B,不等式x2-mx+4≥0都成立,求实数m的取值范围. ‎ 7. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4. (1)求抛物线C的方程; (2)过抛物线C的焦点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点,求弦长|AB|. ‎ 8. 某地实施乡村振兴战略,对农副产品进行深加工以提高产品附加值,已知某农产品成本为每件3元,加工后的试营销期间,对该产品的价格与销售量统计得到如下数据:‎ 单价x(元)‎ ‎6‎ ‎6.2‎ ‎6.4‎ ‎6.6‎ ‎6.8‎ ‎7‎ 销量y(万件)‎ ‎80‎ ‎74‎ ‎73‎ ‎70‎ ‎65‎ ‎58‎ 数据显示单价x与对应的销量y满足线性相关关系. (1)求销量y(件)关于单价x(元)的线性回归方程=x+; (2)根据销量y关于单价x的线性回归方程,要使加工后收益P最大,应将单价定为多少元?(产品收益=销售收入-成本). 参考公式:==,=- ‎ 1. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是矩形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=2,AC=1,,. (1)求证:AA1⊥平面ABC; (2)在线段BC1上是否存在一点D,使得AD⊥A1B?若存在求出的值,若不存在请说明理由. ‎ ‎ ‎ 2. 某校学生社团组织活动丰富,学生会为了解同学对社团活动的满意程度,随机选取了100位同学进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100]分成6组,制成如图所示频率分布直方图. (1)求图中x的值; (2)求这组数据的中位数; (3)现从被调查的问卷满意度评分值在[60,80)的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解,再从这5人中随机抽取2人作主题发言,求抽取的2人恰在同一组的概率.‎ ‎ ‎ 1. 已知椭圆的离心率为,且椭圆上的点到焦点的最长距离为. (1)求椭圆C的方程; (2)过点P(0,2)的直线l(不过原点O)与椭圆C交于两点A、B,M为线段AB的中点. (ⅰ)证明:直线OM与l的斜率乘积为定值; (ⅱ)求△OAB面积的最大值及此时l的斜率. ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解:根据题意可得=,求得 n=54, 故选:D. 由题意利用分层抽样的定义和方法,求出n的值. 本题主要考查分层抽样的定义和方法,属于基础题. 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解:m、n表示不同的直线,α、β表示不同的平面,且m⊂α,n⊂β, 则“α∥β”⇒“m∥β且n∥α”,反之不成立. ∴“α∥β”是“m∥β且n∥α”的充分不必要条件. 故选:A. 利用线面面面平行的判定与性质定理即可判断出关系. 本题考查了线面、面面平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以:命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0≥x02-1”的否定为:∀x∈(0,+∞),lnx<x2-1. 故选:C. 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 本题考查命题的否定.特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查. 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解:从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球, 在A中,恰有一个红球与恰有两个红球不能同时发生,但能同时不发生, ∴恰有一个红球与恰有两个红球是互斥而不对立事件,故A正确; 在B中,至少一个红球与至少一个白球能同时发生,不是互斥事件,故B错误; 在C中,至少一个红球与都是白球不能同时发生,但能同时不发生, 故至少一个红球与都是白球不能同时发生是对立事件,故C错误; 在D中,至少一个红球与都是红球能同时发生,不是互斥事件,故D错误. 故选:A. 利用互斥事件与对立事件的定义直接求解. 本题考查互斥而不对立事件的判断,考查互斥事件与对立事件的定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解:设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2), ∴,,两式相减得, ∴=-•,① 又∵M(-1,1)为AB的中点, ∴x1+x2=-2,y1+y2=2代入①式得=, 即kAB=, ∴直线AB方程为y-1=(x+1),即4x-5y+9=0. 故选:B ‎. 因为是一个选择题,可采用“点差法”,即先设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程后作差,可求出直线的斜率,再结合过点M,写出点斜式方程. 本题还可采用常规法,先设弦所在直线方程为y-1=k(x+1),代入椭圆方程消去y,得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理得到x1+x2的值,又AB中点为(-1,1),则有x1+x2=-2,可解出k的值.注意验证斜率不存在的情况,中档题. 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解:正方体ABCD-A1B1C1D1,M为A1B1的中点, 设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1,以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系, A(1,0,0),M(0,,1),B(1,1,0),D(0,0,0), =(-1,,1),, =, 所以异面直线AM与BD所成角的余弦值为, 故选:C. 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,写出A,M,B,D坐标,求出对应向量,即可求出结果. 本题考查向量法解异面直线所成的角,中档题. 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解:一个包装箱内有6件产品,其中正品4件,次品2件.现随机抽出两件产品, 基本事件总数n==15, 抽到都是正品包含的基本事件个数m==6, 则抽到都是正品的概率是p=. 故选:B. 先求出基本事件总数n==15,抽到都是正品包含的基本事件个数m==6,由此能求出抽到都是正品的概率. 本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解:由茎叶图中数据,计算平均数为 =×(88+89+90+91+92)=90, =×(85+86+88+88+93)=88, 标准差为s1==, s2==, ∴>,s1<s2. 故选:A ‎. 由茎叶图中数据计算平均数和标准差即可. 本题考查了平均数与标准差的计算问题,是基础题. 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解:抛物线x2=y的焦点F(0,)准线方程y=-, 设A(x1,y1),B(x2,y2) ∴|AF|+|BF|=y1++y2+=3 解得y1+y2=, ∴线段AB的中点纵坐标为, ∴线段AB的中点到x轴的距离为, 故选:C. 根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A,B的中点纵坐标,求出线段AB的中点到x轴的距离. 本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题,利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离. 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解:由|AF1|==2,三角形APF1的周长的最小值为6, 可得|PA|+|PF1|的最小值为4, 又F2为双曲线的右焦点,可得|PF1|=|PF2|+2a, 当A,P,F2三点共线时,|PA|+|PF2|取得最小值,且为|AF2|=2, 即有2+2a=4,即a=1,c=, 可得e==. 故选:B. 由题意可得AF1|=2,可得|PA|+|PF1|的最小值为4,设F2为双曲线的右焦点,由双曲线的定义可得|PA|+|PF2|+2a的最小值为4,当A,P,F2三点共线时,取得最小值,可得a=1,由离心率公式可得所求值. 本题考查双曲线的定义、方程和性质,主要是离心率的求法,考查三点共线取得最小值的性质,考查方程思想和运算能力,属于中档题. 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),E(0,2,1), G(1,0,2),F(x,0,0),D(0,y,0)由于 GD⊥EF,所以   x+2y-2=0 DF=== 当y=时, 线段DF长度的最小值是 故选:C. 建立空间直角坐标系,设出F、D的坐标,求出向量,利用GD⊥EF求得关系式,写出DF的表达式,然后利用二次函数求最值. 本题考查棱柱的结构特征,考查空间想象能力,空间直角坐标系,数量积等知识,是中档题. 12.【答案】D ‎ ‎【解析】解:取特殊点P(0,2),则PA方程为y=x+2 与椭圆方程联立,可得7x2+16x+4=0=0,所以x=-2或-,所以Q(-,), ‎ ‎∴kPB=-1,kQF==-, ∴=. 同理取P(0,-2),=-. 根据选项,排除A,B,C, 故选:D. 取特殊点P(0,2),P(0,-2),求出,利用排除法,可得结论. 本题考查圆与圆锥曲线的综合,考查特殊法的运用,属于中档题. 13.【答案】-10 ‎ ‎【解析】解:∵向量,,, ∴=λ+6+4=0, 解得实数λ=-10. 故答案为:-10. 利用向量垂直的性质直接求解. 本题考查实数值的求法,考查向量垂直的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 14.【答案】-=1 ‎ ‎【解析】解:设与双曲线有共同的渐近线的双曲线为:=m,m≠0,且m≠1, 则由题意可得, 3-1=m, 故m=2, 故双曲线方程为-=1. 故答案为:-=1. 由题意,设与双曲线有共同的渐近线的双曲线为:=m,m≠0,且m≠1,代入点解出m即可. 本题考查了双曲线的性质应用,双曲线方程的求法,属于基础题. 15.【答案】a≤3 ‎ ‎【解析】解:命题∃x∈[0,3],使x2-2x-a≥0为真命题, 即a≤x2-2x在x∈[0,3]成立; 设f(x)=x2-2x,其中x∈[0,3]; 则f(x)=(x-1)2-1, 且当x=3时,f(x)取得最大值为f(3)=3, 所以实数a的取值范围是a≤3. 故选:a≤3. 根据命题∃x∈[0,3],使x2-2x-a≥0为真命题,得出不等式a≤x2-2x在x∈[0,3]成立;求出f(x)=x2-2x在x∈[0,3]内的最大值,即可求得实数a的取值范围. 本题考查了命题真假的应用问题,是基础题. 16.【答案】②③④ ‎ ‎【解析】解:对于①,根据双曲线的定义知,当k的范围满足|k|<|AB|时方程表示双曲线的一支,∴①错误; 对于②,令,解得<t<4,此时曲线表示焦点在y轴上的椭圆,∴②正确; 对于③,解方程2x2-5x+2=0,得x=或x=2;可作为椭圆的离心率,2可作为双曲线的离心率,∴③正确; 对于④,双曲线中,c==,焦点坐标为F1(-,0)、F2(,0); 椭圆中,c′==,焦点坐标为F1′(-,0)、F2(,0‎ ‎), 它们的焦点相同,∴④正确; 综上知,其中真命题的序号是②③④. 故答案为:②③④. ①根据双曲线的定义知|k|<|AB|时方程表示双曲线的一支; ②根据方程表示焦点在y轴上的椭圆时求出t的取值范围即可; ③求出方程2x2-5x+2=0的两根,再判断两个根是否能作为椭圆的离心率和双曲线的离心率; ④分别求出双曲线和椭圆的焦点坐标,判断是否相同即可. 本题考查了圆锥曲线的定义与简单的几何性质问题,是基础题. 17.【答案】解:(1)A={x|1-a≤x≤1+a}(a>0),B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}. 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,即B⫋A, 所以,或, 所以,,或, 所以a≥3. 所以,实数a的取值范围是[3,+∞). (2)要使任意x∈B,不等式x2-mx+4≥0都成立,又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}. 由x2-mx+4≥0,得, 则只要,又,当且仅当,即x=2时等号成立. 实数m的取值范围(-∞,4]. ‎ ‎【解析】(1)根据“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,即可得出a满足的条件. (2)要使任意x∈B,不等式x2-mx+4≥0都成立,又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}.由x2-mx+4≥0,得,只要,即可得出. 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 18.【答案】解:(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(,0),准线方程为x=-, ∵|MF|=4,由抛物线的定义可得, ∴p=2.故所求抛物线方程为y2=4x; (2)由(1)得p=2,焦点F(1,0),所以直线l的方程为y=x-1, 并设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立,消去y,得x2-6x+1=0, 所以x1+x2=6, 可得x1+x2+p=8, 所以|AB|=8. ‎ ‎【解析】(1)求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义可得p的方程,求得p,即可得到所求抛物线方程; (2)求得直线l的方程为y=x-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立抛物线方程,消去y,可得x的方程,运用韦达定理和弦长公式,计算可得所求值. 本题考查抛物线的定义、方程和性质,考查联立直线方程和抛物线方程,运用韦达定理,考查方程思想和运算能力,属于基础题. 19.【答案】解:(1)由题意得,=×(6+6.2+6.4+6.6+6.8+7)=6.5, =×(80+74+73+70+65+58)=70; 则, ; 所以, ‎ ‎, 所以所求回归直线方程为. (2)由题意可得,, 整理得P=-20(x-6.5)2+245, 当x=6.5时,P取得最大值为245; 所以要使收益达到最大,应将价格定位6.5元. ‎ ‎【解析】(1)由题意计算平均数和回归系数,即可写出回归直线方程; (2)由题意写出收益函数P的解析式,求出P取最大值时对应的x值即可. 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题,也考查了计算与推理能力,是基础题. 20.【答案】解:(1)因为侧面AA1C1C是矩形, 所以AA1⊥AC, 因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC, 所以AA1⊥平面ABC. (2)由(1)知AA1⊥AC,AA1⊥AB. 由题意知AB=2,AC=1,, 所以AB⊥AC, 如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz, 则A(0,0,0),B(0,2,0),,, 假设D(x1,y1,z1)是线段BC1上一点,其中,,, 设(λ∈[0,1]),即(x1,y1-2,z1)═, 解得x1=λ,y1=2-2λ,, 所以. 若在线段BC1上存在一点D,使得AD⊥A1B, 则,即, 得4-6λ=0,解得, 因为, 所以在线段BC1上存在一点D,使得AD⊥A1B,此时. ‎ ‎【解析】(1)由已知先证明AA1⊥AC,利用面面垂直的性质可证AA1⊥平面ABC. (2)假设存在.设D(x1,y1,z1)是线段BC1上一点,且(λ∈[0,1]),求出,解得λ的值,即可求解. 本题主要考查了面面垂直的性质,空间向量的数量积的应用,考查空间想象能力以及计算能力,属于中档题. 21.【答案】解:(1)由(0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x)×10=1,解得x=0.02. (2)中位数设为m,则0.05+0.1+0.2+(m-70)×0.03=0.5,解得m=75. (3)可得满意度评分值在[60,70)内有20人,抽得样本为2人,记为a1,a2 满意度评分值在[70,80)内有30人,抽得样本为3人,记为b1,b2,b3, 记“5人中随机抽取2人作主题发言,抽出的2人恰在同一组”为事件A, 基本事件有(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2), (a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)共10个,A包含的基本事件个数为4个, 利用古典概型概率公式可知P(A)=0.4. ‎ ‎【解析】(1)由面积和为1,可解得x的值; (2)由中位数两侧的面积相等,可解得中位数; (3)列出所有基本事件共10个,其中符合条件的共4个,从而可以解出所求概率. 本题主要考查频率分布直方图,中位数和古典概型,属于基础题. 22.【答案】解:(1)由题意得,解得, ∴a2=2,b2=a2-c2=1, ∴椭圆C的方程为; (2)(ⅰ)设直线l为:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM), 由题意得,∴(1+2k2)x2+8kx+6=0, ∴△=8(2k2-3)>0,即, 由韦达定理得:x1+x2=-,x1x2=, ∴,, ∴,∴, ∴直线OM与l的斜率乘积为定值. (ⅱ)由(ⅰ)可知:, 令=t,则t>0, ∴S△AOB==≤=, 当且仅当t=2时等号成立,此时k=±,且满足△>0, ∴△AOB面积的最大值是,此时l的斜率为±. ‎ ‎【解析】(1)由题意得,解得即可求出方程, (2)(i)设直线l为:y=kx+2,根据韦达定理和斜率公式即可求出, (ii)先根据弦长公式求出|AB|,再令=t,表示出三角形的面积,利用基本不等式即可求出. 本题考查了椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,韦达定理,三角形的面积,弦长公式,基本不等式,属于中档题. ‎
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