江苏省苏州市2019届高三最后一卷数学试题 含解析

江苏省苏州市2019届高三最后一卷数学试题 含解析

江苏省苏州市2019届高三最后一卷数学试题 ‎2019．5‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）‎ ‎1．已知集合A＝，B＝，则AB＝ ．‎ 答案：(1，2)‎ 考点：集合的运算 解析：∵，‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴AB＝(1，2)‎ ‎2．设i是虚数单位，复数的模为1，则正数a的值为 ．‎ 答案：‎ 考点：虚数 解析：，因为复数z的模为1，‎ 所以，求得a＝．‎ ‎3．为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为 ．‎ 答案：48‎ 考点：频率分布直方图 解析：‎ ‎ ＝48‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，输出的k的值为 ．‎ ‎ ‎ 答案：7‎ 考点：算法初步 解析：s取值由3→9→45，与之对应的k为3→5→7，所以输出k是7．‎ ‎5．设[﹣1，1]，[﹣2，2]，记“以(x，y)为坐标的点落在不等式所表示的平面区域内”为事件A，则事件A发生的概率为 ．‎ 答案：1﹣‎ 考点：几何概型 解析：设事件A发生的概率为P，P＝＝1﹣．‎ ‎6．已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a＞b且，则A＝ ．‎ 答案：‎ 考点：三角函数与解三角形 解析：因为，所以，则sinB＝cosC，由a＞b，则B，C都是锐角，则B＋C＝，所以A＝．‎ ‎7．已知等比数列满足，且，则＝ ．‎ 答案：8‎ 考点：等比中项 解析：∵‎ ‎ ∴，则＝2‎ ‎ ∴．‎ ‎8．已知函数，若，则实数a的值是 ．‎ 答案：‎ 考点：分段函数 解析：∵‎ ‎ ∴‎ ‎ ∵‎ ‎ ∴，解得a＝．‎ ‎9．如图，在一个圆柱形容器内盛有高度为‎8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是 cm．‎ ‎ ‎ 答案：4‎ 考点：圆柱、球的体积 解析：设此圆柱底面的半径是r cm．‎ ‎ 得：‎ ‎ 解得：r＝4‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，F分别为椭圆C：(a＞b＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为 ．‎ 答案：‎ 考点：椭圆的离心率 解析：设点B为椭圆的左顶点，由题意知AM∥BQ，且AM＝BQ ‎ ∴，则 ‎ 求得a＝‎3c，即e＝．‎ ‎11．设函数，若，且，则的取值范围是 ．‎ 答案：(，)‎ 考点：三角函数的图像与性质 解析：不妨设，则，由图可知．‎ ‎ ‎ ‎12．已知圆C：上存在两点A，B，P为直线x＝5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是 ．‎ 答案：[2，6]‎ 考点：圆的方程 解析：要使AP⊥BP，即∠APB的最大值要大于或等于90°，显然当PA切圆C于点A，PB切圆C于点B时，∠APB最大，此时∠CPA最大为45°，则sin∠CPA≥，即 ‎≥，设点P(5，)，则≥，解得2≤≤6．‎ ‎13．如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，，则的最小值为 ．‎ 答案：5﹣‎ 考点：平面向量数量积 解析：取AC中点M，由极化恒等式得，要使取最小值，就是PM最小，当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM有最小值为2﹣，代入求得的最小值为5﹣．‎ ‎14．已知实数a，b，c满足（e为自然对数的底数），则的最小值是 ．‎ 答案：‎ 考点：函数与导数 解析：设，则，可知，即；‎ ‎ 可知，当且仅当时取等；‎ ‎ 即，．‎ ‎ 解得，当且仅当时，取等号．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知向量＝(sin，cos﹣2sin)，＝(1，2)．‎ ‎（1）若∥，求的值；‎ ‎（2）若，0＜＜，求的值．‎ ‎ ‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB＝PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．‎ ‎（1）求证：OM∥平面PAD；‎ ‎（2）求证：OM⊥平面PCD．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，且△PF‎1F2面积的最大值为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点T(0，)，求直线PQ的斜率．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图为一块边长为‎2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝．‎ ‎（1）当＝60°时，求绿化面积；‎ ‎（2）试求地块的绿化面积的取值范围．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 数列的前n项和记为An，且An＝，数列是公比为q的等比数列，它的前n项和记为Bn．若，且存在不小于3的正整数k，m，使．‎ ‎（1）若，，求；‎ ‎（2）证明：数列为等差数列；‎ ‎（3）若q＝2，是否存在整数m，k，使Ak＝86Bm，若存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 若函数和同时在x＝t处取得极小值，则称和为一对“函数”．‎ ‎（1）试判断与是否是一对“函数”；‎ ‎（2）若与是一对“函数”．①求a和t的值；②若a＜0，若对于任意[1，)，恒有，求实数m的取值范围．‎ 附加题 ‎21. 【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两小题作答，若多做，则按 作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ A选修4-2：矩阵与变换 变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是变换对应用的变换矩 阵是求曲线的图象依次在变换的作用下所得曲线的方程. ‎ B.选修4-4:极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点，求P到直线l距离的最大值. ‎ ‎ C.选修4-5:不等式选讲 已知函数若存在实数x，使不等式 成立，求实数m的最小值， ‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分） ‎ 在四棱锥 △PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD.‎ ‎(1)求二面角P-EC-D的余弦值； ‎ ‎(2)线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由. ‎ ‎23.（本小题满分10分） ‎ 已知非空集合M满足MN*若存在非负整数 使得当时，均有则称集合M具有性质P，记具有性质P的集合M的个数为 （1)求的值； ‎ ‎(2)求的表达式. ‎