四川省双流中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

四川省双流中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

双流中学高2017级高三上期10月考试 数学 ‎（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，根据集合的运算求解即可。‎ ‎【详解】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，‎ 由于，所以 故选：C ‎【点睛】本题主要考查韦恩图表达集合的关系及运算、韦恩图的应用等基础知识，考查数形结合思想，属于基础题。‎ ‎2.已知复数，，其中为虚数单位，若，则的共轭复数的虚部是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数代数形式的运算法则求出复数，得到复数的共轭复数，进而可得其虚部。‎ ‎【详解】由于复数，，‎ 所以 则的共轭复数，所以共轭复数的虚部为-2‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查复数代数形式的运算法则，涉及共轭复数以及复数虚部的求解，属于基础题。‎ ‎3.在和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被5整除的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 能够被5整除的数只能是25,35两种情况，由古典概型公式可得：这个数能被5整除的概率是.‎ 本题选择C选项.‎ ‎4.一个频数分布表（样本容量为）不小心被损块了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本内的数据个数为 分组 频数 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由样本中数据在上的频率为0.8，求出样本中数据在上的频数为24，由此能估计样本在内的数据个数。‎ ‎【详解】由于一个频数分布表（样本容量为）不小心被损块了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，‎ 所以样本中数据在上的频数为，‎ 则估计样本在内的数据个数为 ‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查频数的求法，涉及频率分布表等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查划归与转化思想，函数与方程思想，属于基础题。‎ ‎5. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为(　　)‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.‎ ‎6.已知等差数列的前项和为，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设等差数列的公差为，‎ 由条件得 ，即，解得．‎ ‎∴．选D．‎ ‎7.已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则的值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，可得函数在处切线的斜率，再利用切线与已知直线垂直的条件：斜率之积为-1，建立方程，即可求出实数的值。‎ ‎【详解】由于函数的图像过点，故，即 ，‎ 由函数的导数为，‎ 可得函数在点处切线的斜率为 由于函数的图像在点处的切线与直线垂直，‎ 所以，解得： ‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，考查两条直线垂直的条件：斜率之积为-1，属于基础题。‎ ‎8.已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的　　‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；‎ 当“平面α和平面β相交”，则 “直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立.‎ 故选A.‎ ‎9.已知命题若，则；命题若，则.在命题①；②；③；④中，真命题的是（）‎ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质，判断命题，的真假，再依据复合命题的真值表，来判断相关复合命题的真假 ‎【详解】当，故，即命题为真命题，则为假命题，‎ 当 ，满足，但，故命题为假命题，则为真命题，‎ 根据复合命题的真值表可得：为假命题，为真命题，为真命题，为假命题，所以真命题为②③‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查不等式的基本性质以及判断复合命题的真假，熟练掌握复合命题的真假是解题的关键，属于基础题。‎ ‎10.某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 由三视图可知：该几何体是由一个三棱锥和半个圆锥组合而成，利用体积公式计算即可得出。‎ ‎【详解】由三视图可知：该几何体是由一个三棱锥和半个圆锥组合而成 其中三棱锥和圆锥的高都为，三棱锥的底面面积为，圆锥的底面半径为： ，‎ 所以组合体的体积为 故选:B ‎【点睛】本题考查由三视图恢复原几何体、求几何体体积，熟练掌握锥、柱、球等几何体的体积公式是解题的关键，属于基础题。‎ ‎11.与圆，都相切的直线有（）‎ A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相切的直线条数。‎ ‎【详解】由于圆可化为，则圆的圆心为，半径为 圆可化为，则圆的圆心为，半径为 所以圆，的圆心距 则两个圆内切，‎ 所以它们只有1条公切线，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查圆与圆的位置关系：利用两圆心距与半径之间的关系进行判断，直线与圆的位置关系的判断，属于基础题 ‎12.已知函数，其中是自然对数的底数.则关于的不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 函数，其中是自然对数的底数，由指数函数的性质可得是递增函数，‎ ‎，是奇函数，那么不等式，等价于，等价于，解得，等式的解集为，故选B.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于，利用正切的两角差的公式展开，进而可得的值。‎ ‎【详解】由于，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查两角差的正切函数公式，考查学生对三角函数基本公式的熟悉，属于基础题。‎ ‎14.如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，〈，〉＝60°，则||＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为〈，〉＝60°，所以·＝||||·cos 60°＝3×＝，又＝(＋)，所以＝(+)2＝，即2＝(1＋3＋9)＝，所以||＝.‎ ‎15.等比数列的前项和为，若，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列的通项公式表示出，，解出和，再利用等比数列的前项和公式，求出 ‎【详解】由于等比数列满足，‎ 所以，即，解得： ‎ 所以 故答案为：511‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式以及前项和公式，考查学生的运算能力，属于基础题。‎ ‎16.在三棱锥中，为的中心，过点作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线和，则截面的周长为________________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 试题分析：过点G作交PA、PC于点E、F，过E、F分别作、分别交AB、BC于点N、M，连结MN，所以EFMN是平行四边形，∴，即，，即，所以截面的周长.‎ 考点：线线平行、截面的周长.‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求直方图的的值；‎ ‎（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；‎ ‎（3）估计居民月用水量的中位数.‎ ‎【答案】(1) ； (2)36000；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.‎ 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.‎ 由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，‎ 解得a=0.30.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.‎ 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000.‎ ‎（Ⅲ）设中位数为x吨.‎ 因为前5组频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，‎ 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5‎ 所以2≤x<2.5.‎ 由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.‎ 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.‎ ‎【考点】频率分布直方图 ‎【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期，以及单调递增区间；‎ ‎（2）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，成等差数列；若函数的图象经过点，求的值.‎ ‎【答案】（1）最小正周期，单调递增区间（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三角函数公式化简，由周期公式可得最小正周期，解可得单调递增区间；‎ ‎（2）由函数的图象经过点和三角形的内角的范围可得，由已知条件和等差中项的性质以及余弦定理可得到的方程，解方程即可的值。‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ 所以函数的最小正周期，‎ 由，得，其中.‎ 所以单调递增区间.‎ ‎（2）由，得或，，‎ 又，所以.‎ 由余弦定理，得，‎ 代入，得，即，从而.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数恒等变化公式，三角函数最小正周期的公式：，三角函数单调区间的求解，等差中项的性质以及余弦定理的应用，解题的关键在于熟练掌握三角函数与解三角形的公式，属于中档题。‎ ‎19.如图，在三棱锥中，，，平面平面，点，（与，不重合）分别在棱，上，且.‎ ‎（1）证明：平面.‎ ‎（2）证明：‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用及线面平行判定定理可得结论；‎ ‎（2）由平面平面且可得，结合，可说明平面，从而可证。‎ ‎【详解】（1）在平面内，因为，，所以.‎ 又因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 又，，平面，平面，‎ 所以平面，又因为平面，所以.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质以及判定定理，属于中档题。‎ ‎20.已知椭圆的右焦点为，长半轴长与短半轴长的比值为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，.若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据右焦点为，长半轴长与短半轴长的比值为2，结合，即可得到的值，从而求得椭圆的方程；‎ ‎（2）显然直线的斜率不为零，故可设直线的方程为，，.与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理可得和，再由点在以线段为直径的圆上，可得，利用向量的数量积化简可得的方程，解出的值，即可得到直线的方程。‎ ‎【详解】解：（1）由题可知，，，‎ ‎，.‎ 椭圆的方程为.‎ ‎（2）易知当直线的斜率为或直线的斜率不存在时，不合题意.‎ 当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，，.‎ 联立，消去，可得.‎ ‎，，‎ ‎.‎ 点在以为直径的圆上，‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎，‎ 整理，得，‎ 解得或.‎ 直线的方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，在求椭圆标准方程时注意有个隐含条件，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是解题的关键，考查学生运算化简的能力，属于中档题。‎ ‎21.已知函数，其中是自然对数的底数.‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把代入解析式中，求出导函数，令导函数等于0，解出值，列表表示正负以及函数的单调性，从而可得函数的极值；‎ ‎（2）把，不等式恒成立转化为对恒成立，令，利用导数求出函数在上的最大值，即可得求出实数的取值范围。‎ ‎【详解】（1）当时，，定义域为；‎ 求导得：，‎ 方程的根为或，‎ 列表得：‎ 极大值 极小值 由上表可以，.‎ ‎（2），‎ 由条件知，对恒成立 令，，‎ ‎.‎ 当时，，‎ 在上单调递减，‎ ‎，即，‎ 在上单调递减，‎ ‎，‎ 则若在上恒成立，‎ 则需，，‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数极值的求法以及函数恒成立的问题，解题的关键是利用导数研究原函数的单调性以及最值，属于中档题。‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）直线，直线，若，与曲线分别交于异于极点的，两点，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用普通方程与极坐标方程的转化公式，即可得曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）把，分别代入曲线的极坐标方程中，即可得到，的长，，的坐标以及，最后代入三角形面积公式，即可得到的面积。‎ ‎【详解】（1）曲线的普通方程为，‎ 即.‎ 曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）设，.‎ 把代入，‎ 得，‎ ‎.‎ 把代入，‎ 得，‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查普通方程与极坐标方程的转化： ，考查极坐标的几何意义，考查三角形面积的求法，属于中档题。‎ ‎ ‎ ‎ ‎