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文档介绍
2020八年级数学上册第2章特殊三角形2
2.5 逆命题和逆定理 A组 1.下列说法中,正确的是(A) A. 每一个命题都有逆命题 B. 假命题的逆命题一定是假命题 C. 每一个定理都有逆定理 D. 假命题没有逆命题 2.下列命题的逆命题为真命题的是(C) A. 直角都相等 B. 钝角都小于180° C. 若x2+y2=0,则x=y=0 D. 同位角相等 3.下列定理中,有逆定理的是(D) A. 对顶角相等 B. 同角的余角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 在一个三角形中,等边对等角 (第4题) 4.如图,AC=AD,BC=BD,则有(A) A. AB垂直平分CD B. CD垂直平分AB C. AB与CD互相垂直平分 D. CD平分∠ACB 5.写出下列命题的逆命题,并判断逆命题的真假,若是假命题,请举出反例. (1)若x=y=0,则x+y=0. (2)等腰三角形的两个底角相等. 【解】 (1)逆命题:若x+y=0,则x=y=0.这个逆命题是假命题.反例:当x=-1,y=1时,x+y=0,但x≠0,y≠0. (2)逆命题:有两个角相等的三角形是等腰三角形.这个逆命题是真命题. 6.写出下列各命题的逆命题,并判断原命题和逆命题是不是互逆定理. (1)相等的角是内错角. (2)两直线平行, 同旁内角互补. 【解】 (1)“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”,原命题与逆命题都是假命题,不是互逆定理. (2)“两直线平行,同旁内角互补”的逆命题为“同旁内角互补,两直线平行”,原命题和逆命题是互逆定理. 4 (第7题) 7.利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题. 已知:如图,AB=AC,DB=DC,点E在AD上.求证:EB=EC. 【解】 连结BC. ∵AB=AC,∴点A在线段BC的垂直平分线上. ∵DB=DC,∴点D在线段BC的垂直平分线上. ∴AD是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线). 又∵点E在AD上,∴EB=EC. B组 8.写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等”的逆命题,并判断原命题和逆命题的真假.若是假命题,请举出反例. 【解】 逆命题:如果两个角相等,那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直. 原命题是假命题. 反例:如解图①,∠CAD的两边与∠EBF的两边分别垂直,但∠CAD=45°,∠EBF=135°,即∠CAD≠∠EBF. (第8题解) 逆命题是假命题. 反例:如解图②,∠CAD=∠EBF,但显然AC与BE,BF都不垂直. 9.写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题,并证明该逆命题是真命题. 【解】 逆命题:如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等,那么这个三角形是等腰三角形. 已知:如解图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且DE=DF. 4 (第9题解) 求证:△ABC为等腰三角形. 证明:连结AD. ∵D是BC的中点, ∴S△ABD=S△ACD. ∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴S△ABD=AB·DE, S△ACD=AC·DF. 又∵DE=DF,∴AB=AC, ∴△ABC为等腰三角形. 10.举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理. 【解】 逆命题:如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等. 反例:如解图所示,l1∥l2,△ABC和△BCD同底等高, ∴△ABC的面积等于△BCD的面积,但△ABC和△BCD不全等. 故该定理没有逆定理. (第10题解) 数学乐园 11.已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”,写出它的逆命题,判断该逆命题的真假,并证明. 【解】 逆命题:一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.是真命题. (第11题解) 已知:如解图,在△ABC中,BD=CD,AD平分∠BAC. 求证:△ABC是等腰三角形. 证明:延长AD至点E,使DE=AD,连结BE,CE. ∵BD=CD,DE=DA,∠BDE=∠CDA, 4 ∴△BDE≌△CDA(SAS). ∴BE=CA,∠BED=∠CAD. ∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD. ∴∠BAD=∠BED.∴AB=BE.∴AB=AC. ∴△ABC是等腰三角形. 4查看更多