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文档介绍
2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二4月月考数学(理)试题 解析版
绝密★启用前 黑龙江省双鸭山市第一中学2018-2019学年高二4月月考数学(理)试题 评卷人 得分 一、单选题 1.由①安梦怡是高三(2)班的学生,②安梦怡是独生子女,③高三(2)班的学生都是独生子女.写一个“三段论”形式的推理,则大前提、小前提和结论分别为( ) A.②①③ B.③①② C.①②③ D.②③① 【答案】B 【解析】 【分析】 由三段论的一般模式,可得结论。 【详解】 因为高三(21)班的学生都是独生子女,又因为安梦怡是高三(21)班学生, 所以安梦怡是独生子女。 故选B。 【点睛】 三段论是演绎推理的一般模式:包括:⑴大前提——已知的一般原理;⑵小前提——所研究的特殊情况;⑶结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断。 2.设为虚数单位,复数 ,则复数在复平面上对应的点在( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【解析】 由题意可得 , 即复数在复平面上对应的点 在第一象限. 本题选择A选项. 3.已知函数,则函数的图象在处的切线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出函数的导函数,把代入求出在处的切线的斜率,然后根据点斜式求出切线方程,最后化成一般式。 【详解】 , 当,时,即点的坐标为(1,), 根据点斜式可得 化成一般式为。故本题选C。 【点睛】 本点考查了函数导数的几何意义、直线的点斜式方程、一般式方程。 4.一物体在力F(x)=2x+3(x的单位:m,F的单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=1运动到x=4处,求力F(x)所做的功.( ) A.24 B.25 C.26 D.27 【答案】A 【解析】 【分析】 直接应用定积分在物理中的应用公式求解。 【详解】 由变力作功公式,得到 故本题选A 【点睛】 本题重点考查了定积分在物理学上的应用。掌握公式是解决本题的关键。 5.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设是. ( ) A.三内角至少有一个小于60° B.三内角只有一个小于60° C.三内角有三个小于60° D.三内角都大于60度 【答案】D 【解析】 【分析】 用反证法证明时,应假设命题的否定成立,因此本题求出命题的否定即可。 【详解】 命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”的否定就是“三角形三个内角都大于60°”。因此反设就是三角形三个内角都大于60°,因此本题选D。 【点睛】 反证法证明命题时,首先要假设命题的结论不成立,也就是要知道命题的否定。 6.已知函数,其导函数的图象如图,则对于函数的描述正确的是( ) A.在上为减函数 B.在处取得最大值 C.在上为减函数 D.在处取得最小值 【答案】C 【解析】 分析:根据函数f(x)的导函数f′(x)的图象可知f′(0)=0,f′(2)=0,f′(4)=0,然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可. 详解:根据函数f(x)的导函数f′(x)的图象可知: f′(0)=0,f′(2)=0,f′(4)=0 当x<0时,f′(x)>0,f(x)递增;当0<x2时,f′(x)<0,f(x)递减; 当2<x<4时,f′(x)>0,f(x)递增;当x>4时,f′(x)<0,f(x)递减. 可知C正确,A错误; 由极值的定义可知,f(x)在x=0处函数f(x)取到极大值,x=2处函数f(x)的极小值点,但极大值不一定为最大值,极小值不一定是最小值;可知B、D错误. 故选:C. 点睛:由导函数图象推断原函数的性质,由f′(x)>0得增区间,由f′(x)<0得减区间,由f′(x)=0得到的不一定是极值点,需判断在此点左右f′(x)的符号是否发生改变. 7.曲线y=x2与曲线y=8所围成的封闭图形的面积为 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出交点,可求出积分区间,再利用定积分求出面积即可。 【详解】 曲线y=x2与曲线y=8联立,得到方程组, 解得交点坐标为(0,0)和(4,16) 曲线y=x2与曲线y=8所围成的封闭图形的面积为 故本题选A。 【点睛】 本题重点考查了利用定积分求面积,解决此类问题的关键是求交点定积分区间、利用图象找出被积函数。 8.在侦破某一起案件时,警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中揪出真正的嫌疑人,现有四条明确的信息: (1)此案是两人共同作案; (2)若甲参与此案,则丙一定没参加; (3)若乙参与此案,则丁一定参与; (4)若丙没参与此案,则丁也一定没参与. 据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是 A.甲、乙 B.乙、丙 C.丙、丁 D.甲、丁 【答案】C 【解析】分析:对四个选项逐一分析、排除可得答案. 详解:①若甲、乙参与此案,则与信息(2),(3),(4)矛盾,故A不正确. ②若乙、丙参与此案,则与信息(1),(3)矛盾,故B不正确. ③若丙、丁参与此案,则信息全部符合,故C正确. ④若甲、丁参与此案,则与信息(1),(4)矛盾,故D不正确. 故选C. 点睛: 本题主要考查推理的应用,此类问题的解法主要是根据反证法的思想,对给出的每一选项要逐一分析,看是否与题意符合,然后通过排除得到答案. 9.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0,且f(3)=0,则不等式的解集是( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 【答案】D 【解析】 因为当时,, 设函数, 且为奇函数,图象关于原点对称, 所以当时,为单调单调递增函数,故当时,为单调单调递增函数, 又,所以,即,图象如图所示, 又由,可得获, 即的解集为,故选D. 10.如图,第1个图形由正三角形扩展而成,共12个顶点.第n个图形是由正n+2边形扩展而来 ,则第n+1个图形的顶点个数是 ( ) (1) (2)(3) (4) A.(2n+1)(2n+2) B.3(2n+2) C.(n+2)(n+3) D.(n+3)(n+4) 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知图形中,分别列出顶点数个数与边数,分析它们之间的规律,用归纳法得出。 【详解】 由已知图形可以得到以下结果: n=1时,由正三角形扩展而来,顶点数为12= n=2时,由正方形扩展而来, 顶点数为20= n=3时,由正五边形扩展而来, 顶点数为30= n=4时,由正六边形扩展而来, 顶点数为42= 由此可以归纳出第n个图形的顶点个数是(n+2)(n+3),因此第n+1个图形的顶点个数是 (n+3)(n+4),故本题选D。 【点睛】 解决本题的关键是先求出一些简单图形的顶点数,通过数字的运算特征归纳出规律。 11.已知函数,在区间上任取三个数均存在为边长的三角形,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析:,当时,,递减,当时,,递增,所以时,,又,,所以,由题意,解得.故选D. 考点:导数与函数的最值,转化与化归思想. 【名师点睛】设函数的最大值为,最小值为,命题“对函数定义域内任意的三个实数,均存在以为边长的三角形”等价于“ ”. 第II卷(非选择题) 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 12.dx=________. 【答案】π 【解析】设y=,则x2+y2=4(y≥0),由定积分的几何意义知dx的值等于半径为2的圆的面积的.∴dx=×4π=π. 13.已知复数,则___________; 【答案】 【解析】 【分析】 先对复数进行运算化简,最后求出模。 【详解】 = 【点睛】 复数是高考的必考点,复数的四则运算、模的求法是常见的题型,解决的关键就是掌握复数四则运算的法则及复数求模的公式。 14.若函数f(x)=lnx+x2+ax在定义域内为增函数,则实数a的取值范围是________________. 【答案】 【解析】 【分析】 函数f(x)=lnx+x2+ax在定义域内为增函数,等价于导函数在定义域内恒大于等于0. 【详解】 定义域为x>0. 函数在定义域内为增函数,也说是在x>0怛成立,即 在x>0内恒成立, 因此可以得到 在x>0内恒成立,a也就必须满足:。 因为x>0 所以当且仅当等号成立 所以有 因此实数a的取值范围是。 【点睛】 已知函数的单调性求参量的取值范围,解决的方法一般是导函数在区间上恒大于等于零(或者小于等于零),进行常变量分离,通过构造新函数,求出最值,最后求出参变量的取值范围,当然本题是用到基本不等式来求解,这样的题目有时很灵活,可以采用不同的方法来求解。 15.在等差数列中,若,则有等式 成立,类比上述性质,在等比数列中,若,则有等式______________ . 【答案】b1•b2•b3…bn= b1•b2•b3…b13-n(n<13,nÎN*) 【解析】 解:因为在等差数列{an}中,若a8=0,则有a1+a2+a3+…+an=a1+a2+a3+…+a15-n(n<15,nÎN*)成立,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若b7=1,则有等式b1•b2•b3…bn= b1•b2•b3…b13-n(n<13,nÎN*) 16.对于任意的实数,总存在三个不同的实数,使得成立,则实数的取值范围为__________ 【答案】 【解析】 【分析】 对式子变形,得到关于两个函数相等的式子,利用导数,求出它们最值,根据集合之间的关系,进行求解。 【详解】 令 在上单调递增, 令 在单调递减,在单调递增,在单调递减。 要想有解,则 即 故所以实数的取值范围为。 【点睛】 本题考查了函数的单调性、最值的问题,考查了导数的应用、函数恒成立问题,考查了集合之间的关系问题。重点考查了转化思想。 评卷人 得分 三、解答题 17.(1)求函数的极小值; (2)求函数的单调减区间. 【答案】(1);(2) 【解析】分析:(1)求函数导数,令导函数为0,根据单调性可得极小值; (2)求函数导数,令导函数小于0即可解得减区间. 详解:(1), 令,得, ,且时, ; 时, ; 时, 故在时取得极小值. (2)函数的定义域为, , 令,即: ,解得: 所以函数的单调递减区间为. 点睛:求函数极值的步骤:(1) 确定函数的定义域;(2) 求导数;(3) 解方程求出函数定义域内的所有根;(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号,如果左正右负(左增右减),那么在处取极大值,如果左负右正(左减右增),那么在处取极小值. (5)如果只有一个极值点,则在该处即是极值也是最值. 18.某社会研究机构,为了研究大学生的阅读习惯,随机调查某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明,其中男女各一半,男生中有表示会读,女生中有表示不会读. (1)根据调查结果,得到如下2╳2列联表: 男 女 总计 读营养说明 不读营养说明 总计 (2)根据以上列联表,进行独立性检验,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系? P(K2≥k) 0.10 0.025 0.010 0.005 k 2.706 5.024 6.635 7.879 【答案】(1)见解析; (2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系. 【解析】 【分析】 (1)通过计算,直接填表。 (2)根据公式直接求出,直接作出判断。 【详解】 (1) 男 女 总计 读营养说明 16 8 24 不读营养说明 4 12 16 总计 20 20 40 (2)由表中数据,得, 能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系. 19.在如图所示的多面体中,平面,,,,,,,是的中点. (1)求证:; (2)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)见解析;(2). 【解析】 试题分析: 由题意可证得两两垂直,建立空间直角坐标系求解.(1)通过证明,可得.(2)由题意可得平面的一个法向量为 ,又可求得平面的法向量为,故可求得,结合图形可得平面与平面所成的二面角为锐角,由此可得所求余弦值. 试题解析: (1)∵平面平面平面, ∴, 又, ∴两两垂直, 以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则, ∴, ∵, ∴; (2)由已知,得是平面的一个法向量, 设平面的法向量为, ∵, 由,得, 令,得. ∴, 由图形知,平面与平面所成的二面角为锐角, ∴平面与平面所成二面角的余弦值为. 20.节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量,使用时间越长,表明质量越好,且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品.现用A,B两种不同型号的节能灯做试验,各随机抽取部分产品作为样本,得到试验结果的频率分布直方图如图所示. 以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率. (1)现从大量的A,B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品,求恰有两件是优质品的概率; (2)已知A型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”.通过多年统计发现,A型节能灯每件产品的利润y(单位:元)与其使用时间t(单位:千小时)的关系如下表: 使用时间t(单位:千小时) t<4 4≤t<6 t≥6 每件产品的利润y(单位:元) -10 10 20 若从大量的A型节能灯中随机抽取两件,其利润之和记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望. 【答案】(1)(2)21.2 【解析】 【分析】 (1)分别求出从A型号节能灯中随机抽取一件是优质品的概率和从B型号节能灯中随机抽取一件是优质品的概率,在求出从大量的A,B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品,求恰有两件是优质品的概率。 (2)先根据题意求出X的可能取值,再求出每个可能取值的概率、列出分布列,最后求出数学期望。 【详解】 (1)从A型号节能灯中随机抽取一件是优质品的概率为; 从B型号节能灯中随机抽取一件是优质品的概率为; 从大量的A,B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品,恰有两件是优质品的概率为: (2)由题意可知X的可能取值为-20,20,40,0,10,30 X -20 20 40 0 10 30 P 【点睛】 本题考查了概率的求法,考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是高考的必考题。 21.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,且经过点. (1)求椭圆C的方程; (2)动直线与椭圆C相交于点M,N,椭圆C的左右顶点为,直线与相交于点,证明点在定直线上,并求出定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析,定直线方程为。 【解析】 【分析】 (1)利用离心率公式,可知a,c的关系,利用,可知a,b的关系,椭圆经过点,代入椭圆方程,又得到一个方程,二个方程联立,即可求出椭圆方程。 (2)由椭圆的性质可以判断点G在直线上,先考虑特殊情况,求出点G在上,再考虑一般情况,直线与椭圆方程联立,利用韦达定理,最后可以验证点G在上。 【详解】 (1)离心率为,即,而所以 ①,椭圆经过点. 所以②,由①②联立方程组,解得, 所以椭圆的方程为 (2)由椭圆的对称性可知点G一定在上,假设直线过椭圆的上顶点,则M, ,显然直线过定点(4,0)所以,椭圆方程与直线方程联立,求出点N的坐标为 两方程联立,解得交点,所以G在定直线上。 当M不是椭圆顶点时,设 椭圆方程与直线联立消去y,整理得 所以有 当时,把 代入整理得: 所以有显然成立, 所以G在定直线上。 【点睛】 本题考查求椭圆方程及直线与椭圆的位置关系。求椭圆的方程一般方法就是待定系数法。解决椭圆与直线位置关系问题时,一般是设而不求,利用已知条件,构造等式、不等式或者函数,应用韦达定理,最后通过运算求解出来。 22.已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若,不等式有且只有两个整数解,求的取值范围. 【答案】(1)当时,函数在单调递减; 当时,函数在单调递增,在单调递减; 当时,函数在单调递增,在单调递减。 (2) 【解析】 【分析】 (1)对函数求导,根据a的不同范围,分别求出导函数何时大于零,何时小于零,这样就可以判断出函数的单调性。 (2)不等式 可以化成,构造函数, 求导数和单调性,结合条件分别讨论,三种情况下,可以求出满足条件的a的取值范围。 【详解】 (1)函数的定义域为 ② 当时, 函数在上是减函数; ②当时,,当时,函数单调递增, 当时,,函数单调递减。 ③当时,,当时,,函数递减, 当时,,函数单调递增。 综上所述:当时,函数在单调递减; 当时,函数在单调递增,在单调递减; 当时,函数在单调递增,在单调递减。 (2) 令,求导得 令 所以是R上的增函数,而 说明函数在R上存在唯一零点 此时函数在上单调递减,在上单调递增, 易证, 当时, ,当时, (1)若时,,此时有无穷多个整数解,不符合题意; (2)若时,即,因为函数在上单调递减,在上单调递增 所以时, ,所以无整数解,不符合题意; (3)当,即此时, 故0,1是的两个整数解, 又只有两个正整数解,因此 ,解得所以 综上所述的取值范围为. 【点睛】 本题考查了函数的单调性、有关不等式、方程有解的问题。重点考查了分类讨论思想、构造函数法、零点存在定理。查看更多