2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二4月月考数学(理)试题 解析版

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2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二4月月考数学(理)试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省双鸭山市第一中学2018-2019学年高二4月月考数学(理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1.由①安梦怡是高三(2)班的学生,②安梦怡是独生子女,③高三(2)班的学生都是独生子女.写一个“三段论”形式的推理,则大前提、小前提和结论分别为( )‎ A.②①③ B.③①② C.①②③ D.②③①‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三段论的一般模式,可得结论。‎ ‎【详解】‎ 因为高三(21)班的学生都是独生子女,又因为安梦怡是高三(21)班学生,‎ 所以安梦怡是独生子女。‎ 故选B。‎ ‎【点睛】‎ 三段论是演绎推理的一般模式:包括:⑴大前提——已知的一般原理;⑵小前提——所研究的特殊情况;⑶结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断。‎ ‎2.设为虚数单位,复数 ,则复数在复平面上对应的点在( ).‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可得 ,‎ 即复数在复平面上对应的点 在第一象限.‎ 本题选择A选项.‎ ‎3.已知函数,则函数的图象在处的切线方程为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导函数,把代入求出在处的切线的斜率,然后根据点斜式求出切线方程,最后化成一般式。‎ ‎【详解】‎ ‎ , ‎ ‎ 当,时,即点的坐标为(1,),‎ 根据点斜式可得 化成一般式为。故本题选C。‎ ‎【点睛】‎ 本点考查了函数导数的几何意义、直线的点斜式方程、一般式方程。‎ ‎4.一物体在力F(x)=2x+3(x的单位:m,F的单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=1运动到x=4处,求力F(x)所做的功.( )‎ A.24 B.25 C.26 D.27‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接应用定积分在物理中的应用公式求解。‎ ‎【详解】‎ 由变力作功公式,得到 故本题选A ‎【点睛】‎ 本题重点考查了定积分在物理学上的应用。掌握公式是解决本题的关键。‎ ‎5.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设是. ( )‎ A.三内角至少有一个小于60° B.三内角只有一个小于60°‎ C.三内角有三个小于60° D.三内角都大于60度 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用反证法证明时,应假设命题的否定成立,因此本题求出命题的否定即可。‎ ‎【详解】‎ 命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”的否定就是“三角形三个内角都大于60°”。因此反设就是三角形三个内角都大于60°,因此本题选D。‎ ‎【点睛】‎ 反证法证明命题时,首先要假设命题的结论不成立,也就是要知道命题的否定。‎ ‎6.已知函数,其导函数的图象如图,则对于函数的描述正确的是( )‎ A.在上为减函数 B.在处取得最大值 C.在上为减函数 D.在处取得最小值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析:根据函数f(x)的导函数f′(x)的图象可知f′(0)=0,f′(2)=0,f′(4)=0,然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可.‎ 详解:根据函数f(x)的导函数f′(x)的图象可知:‎ f′(0)=0,f′(2)=0,f′(4)=0‎ 当x<0时,f′(x)>0,f(x)递增;当0<x2时,f′(x)<0,f(x)递减;‎ 当2<x<4时,f′(x)>0,f(x)递增;当x>4时,f′(x)<0,f(x)递减.‎ 可知C正确,A错误;‎ 由极值的定义可知,f(x)在x=0处函数f(x)取到极大值,x=2处函数f(x)的极小值点,但极大值不一定为最大值,极小值不一定是最小值;可知B、D错误.‎ 故选:C.‎ 点睛:由导函数图象推断原函数的性质,由f′(x)>0得增区间,由f′(x)<0得减区间,由f′(x)=0得到的不一定是极值点,需判断在此点左右f′(x)的符号是否发生改变.‎ ‎7.曲线y=x2与曲线y=8所围成的封闭图形的面积为 (  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出交点,可求出积分区间,再利用定积分求出面积即可。‎ ‎【详解】‎ 曲线y=x2与曲线y=8联立,得到方程组, ‎ 解得交点坐标为(0,0)和(4,16)‎ 曲线y=x2与曲线y=8所围成的封闭图形的面积为 故本题选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题重点考查了利用定积分求面积,解决此类问题的关键是求交点定积分区间、利用图象找出被积函数。‎ ‎8.在侦破某一起案件时,警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中揪出真正的嫌疑人,现有四条明确的信息:‎ ‎(1)此案是两人共同作案;‎ ‎(2)若甲参与此案,则丙一定没参加;‎ ‎(3)若乙参与此案,则丁一定参与;‎ ‎(4)若丙没参与此案,则丁也一定没参与.‎ 据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是 A.甲、乙 B.乙、丙 C.丙、丁 D.甲、丁 ‎【答案】C ‎【解析】分析:对四个选项逐一分析、排除可得答案.‎ 详解:①若甲、乙参与此案,则与信息(2),(3),(4)矛盾,故A不正确.‎ ‎②若乙、丙参与此案,则与信息(1),(3)矛盾,故B不正确.‎ ‎③若丙、丁参与此案,则信息全部符合,故C正确.‎ ‎④若甲、丁参与此案,则与信息(1),(4)矛盾,故D不正确.‎ 故选C.‎ 点睛:‎ 本题主要考查推理的应用,此类问题的解法主要是根据反证法的思想,对给出的每一选项要逐一分析,看是否与题意符合,然后通过排除得到答案.‎ ‎9.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0,且f(3)=0,则不等式的解集是(  )‎ A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)‎ C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)‎ ‎【答案】D ‎【解析】 因为当时,,‎ ‎ 设函数,‎ 且为奇函数,图象关于原点对称,‎ ‎ 所以当时,为单调单调递增函数,故当时,为单调单调递增函数,‎ ‎ 又,所以,即,图象如图所示,‎ ‎ 又由,可得获,‎ 即的解集为,故选D.‎ ‎10.如图,第1个图形由正三角形扩展而成,共12个顶点.第n个图形是由正n+2边形扩展而来 ,则第n+1个图形的顶点个数是 (  )‎ ‎(1) (2)(3) (4)‎ A.(2n+1)(2n+2) B.3(2n+2) C.(n+2)(n+3) D.(n+3)(n+4)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知图形中,分别列出顶点数个数与边数,分析它们之间的规律,用归纳法得出。‎ ‎【详解】‎ 由已知图形可以得到以下结果:‎ n=1时,由正三角形扩展而来,顶点数为12= ‎ n=2时,由正方形扩展而来, 顶点数为20= ‎ n=3时,由正五边形扩展而来, 顶点数为30= ‎ n=4时,由正六边形扩展而来, 顶点数为42= ‎ 由此可以归纳出第n个图形的顶点个数是(n+2)(n+3),因此第n+1个图形的顶点个数是 ‎(n+3)(n+4),故本题选D。‎ ‎【点睛】‎ 解决本题的关键是先求出一些简单图形的顶点数,通过数字的运算特征归纳出规律。‎ ‎11.已知函数,在区间上任取三个数均存在为边长的三角形,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:,当时,,递减,当时,,递增,所以时,,又,,所以,由题意,解得.故选D.‎ 考点:导数与函数的最值,转化与化归思想.‎ ‎【名师点睛】设函数的最大值为,最小值为,命题“对函数定义域内任意的三个实数,均存在以为边长的三角形”等价于“ ”.‎ 第II卷(非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎12.dx=________.‎ ‎【答案】π ‎【解析】设y=,则x2+y2=4(y≥0),由定积分的几何意义知dx的值等于半径为2的圆的面积的.∴dx=×4π=π.‎ ‎13.已知复数,则___________;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对复数进行运算化简,最后求出模。‎ ‎【详解】‎ ‎= ‎ ‎【点睛】‎ 复数是高考的必考点,复数的四则运算、模的求法是常见的题型,解决的关键就是掌握复数四则运算的法则及复数求模的公式。‎ ‎14.若函数f(x)=lnx+x2+ax在定义域内为增函数,则实数a的取值范围是________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数f(x)=lnx+x2+ax在定义域内为增函数,等价于导函数在定义域内恒大于等于0.‎ ‎【详解】‎ 定义域为x>0. ‎ 函数在定义域内为增函数,也说是在x>0怛成立,即 在x>0内恒成立, 因此可以得到 在x>0内恒成立,a也就必须满足:。‎ 因为x>0 所以当且仅当等号成立 所以有 因此实数a的取值范围是。‎ ‎【点睛】‎ 已知函数的单调性求参量的取值范围,解决的方法一般是导函数在区间上恒大于等于零(或者小于等于零),进行常变量分离,通过构造新函数,求出最值,最后求出参变量的取值范围,当然本题是用到基本不等式来求解,这样的题目有时很灵活,可以采用不同的方法来求解。‎ ‎15.在等差数列中,若,则有等式 成立,类比上述性质,在等比数列中,若,则有等式______________ .‎ ‎【答案】b1•b2•b3…bn= b1•b2•b3…b13-n(n<13,nÎN*)‎ ‎【解析】‎ 解:因为在等差数列{an}中,若a8=0,则有a1+a2+a3+…+an=a1+a2+a3+…+a15-n(n<15,nÎN*)成立,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若b7=1,则有等式b1•b2•b3…bn= b1•b2•b3…b13-n(n<13,nÎN*)‎ ‎16.对于任意的实数,总存在三个不同的实数,使得成立,则实数的取值范围为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对式子变形,得到关于两个函数相等的式子,利用导数,求出它们最值,根据集合之间的关系,进行求解。‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令 ‎ ‎ 在上单调递增, ‎ 令 ‎ ‎ 在单调递减,在单调递增,在单调递减。‎ 要想有解,则 即 故所以实数的取值范围为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性、最值的问题,考查了导数的应用、函数恒成立问题,考查了集合之间的关系问题。重点考查了转化思想。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17.(1)求函数的极小值;‎ ‎(2)求函数的单调减区间.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】分析:(1)求函数导数,令导函数为0,根据单调性可得极小值;‎ ‎(2)求函数导数,令导函数小于0即可解得减区间.‎ 详解:(1),‎ 令,得, ,且时, ;‎ 时, ; 时, ‎ 故在时取得极小值.‎ ‎(2)函数的定义域为,‎ ‎,‎ 令,即: ,解得: ‎ 所以函数的单调递减区间为.‎ 点睛:求函数极值的步骤:(1) 确定函数的定义域;(2) 求导数;(3) 解方程求出函数定义域内的所有根;(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号,如果左正右负(左增右减),那么在处取极大值,如果左负右正(左减右增),那么在处取极小值. (5)如果只有一个极值点,则在该处即是极值也是最值.‎ ‎18.某社会研究机构,为了研究大学生的阅读习惯,随机调查某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明,其中男女各一半,男生中有表示会读,女生中有表示不会读.‎ ‎(1)根据调查结果,得到如下2╳2列联表:‎ 男 女 总计 读营养说明 ‎ 不读营养说明 总计 ‎(2)根据以上列联表,进行独立性检验,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系?‎ P(K2≥k)‎ ‎0.10‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k ‎2.706‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】(1)见解析;‎ ‎ (2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过计算,直接填表。‎ ‎(2)根据公式直接求出,直接作出判断。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎ 男 女 总计 读营养说明 ‎16‎ ‎8‎ ‎24‎ ‎ 不读营养说明 ‎4‎ ‎12‎ ‎16‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎ (2)由表中数据,得,‎ 能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系.‎ ‎19.在如图所示的多面体中,平面,,,,,,,是的中点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:‎ 由题意可证得两两垂直,建立空间直角坐标系求解.(1)通过证明,可得.(2)由题意可得平面的一个法向量为 ‎,又可求得平面的法向量为,故可求得,结合图形可得平面与平面所成的二面角为锐角,由此可得所求余弦值.‎ 试题解析:‎ ‎(1)∵平面平面平面,‎ ‎∴,‎ 又,‎ ‎∴两两垂直,‎ 以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴;‎ ‎(2)由已知,得是平面的一个法向量,‎ 设平面的法向量为,‎ ‎∵,‎ 由,得,‎ 令,得.‎ ‎∴,‎ 由图形知,平面与平面所成的二面角为锐角, ‎ ‎∴平面与平面所成二面角的余弦值为.‎ ‎20.节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量,使用时间越长,表明质量越好,且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品.现用A,B两种不同型号的节能灯做试验,各随机抽取部分产品作为样本,得到试验结果的频率分布直方图如图所示. ‎ 以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率.‎ ‎(1)现从大量的A,B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品,求恰有两件是优质品的概率;‎ ‎(2)已知A型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”.通过多年统计发现,A型节能灯每件产品的利润y(单位:元)与其使用时间t(单位:千小时)的关系如下表:‎ 使用时间t(单位:千小时)‎ t<4‎ ‎4≤t<6‎ t≥6‎ 每件产品的利润y(单位:元)‎ ‎-10‎ ‎10‎ ‎20‎ 若从大量的A型节能灯中随机抽取两件,其利润之和记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】(1)(2)21.2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分别求出从A型号节能灯中随机抽取一件是优质品的概率和从B型号节能灯中随机抽取一件是优质品的概率,在求出从大量的A,B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品,求恰有两件是优质品的概率。‎ ‎(2)先根据题意求出X的可能取值,再求出每个可能取值的概率、列出分布列,最后求出数学期望。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)从A型号节能灯中随机抽取一件是优质品的概率为;‎ 从B型号节能灯中随机抽取一件是优质品的概率为;‎ 从大量的A,B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品,恰有两件是优质品的概率为:‎ ‎(2)由题意可知X的可能取值为-20,20,40,0,10,30‎ X ‎-20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎0‎ ‎10‎ ‎30‎ P ‎【点睛】‎ 本题考查了概率的求法,考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是高考的必考题。‎ ‎21.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,且经过点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)动直线与椭圆C相交于点M,N,椭圆C的左右顶点为,直线与相交于点,证明点在定直线上,并求出定直线的方程.‎ ‎【答案】(1) (2)证明见解析,定直线方程为。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用离心率公式,可知a,c的关系,利用,可知a,b的关系,椭圆经过点,代入椭圆方程,又得到一个方程,二个方程联立,即可求出椭圆方程。‎ ‎(2)由椭圆的性质可以判断点G在直线上,先考虑特殊情况,求出点G在上,再考虑一般情况,直线与椭圆方程联立,利用韦达定理,最后可以验证点G在上。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)离心率为,即,而所以 ①,椭圆经过点.‎ 所以②,由①②联立方程组,解得,‎ 所以椭圆的方程为 ‎(2)由椭圆的对称性可知点G一定在上,假设直线过椭圆的上顶点,则M,‎ ‎ ,显然直线过定点(4,0)所以,椭圆方程与直线方程联立,求出点N的坐标为 ‎ ‎ 两方程联立,解得交点,所以G在定直线上。‎ 当M不是椭圆顶点时,设 椭圆方程与直线联立消去y,整理得 所以有 ‎ ‎ 当时,把 代入整理得:‎ ‎ 所以有显然成立,‎ 所以G在定直线上。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求椭圆方程及直线与椭圆的位置关系。求椭圆的方程一般方法就是待定系数法。解决椭圆与直线位置关系问题时,一般是设而不求,利用已知条件,构造等式、不等式或者函数,应用韦达定理,最后通过运算求解出来。‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若,不等式有且只有两个整数解,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)当时,函数在单调递减;‎ 当时,函数在单调递增,在单调递减;‎ 当时,函数在单调递增,在单调递减。‎ ‎(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对函数求导,根据a的不同范围,分别求出导函数何时大于零,何时小于零,这样就可以判断出函数的单调性。‎ ‎(2)不等式 可以化成,构造函数,‎ 求导数和单调性,结合条件分别讨论,三种情况下,可以求出满足条件的a的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)函数的定义域为 ‎ ‎② 当时, 函数在上是减函数;‎ ‎②当时,,当时,函数单调递增,‎ 当时,,函数单调递减。‎ ‎③当时,,当时,,函数递减,‎ 当时,,函数单调递增。‎ 综上所述:当时,函数在单调递减;‎ 当时,函数在单调递增,在单调递减;‎ 当时,函数在单调递增,在单调递减。‎ ‎(2) ‎ 令,求导得 令 ‎ 所以是R上的增函数,而 说明函数在R上存在唯一零点 此时函数在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎ ‎ 易证,‎ 当时, ,当时,‎ ‎(1)若时,,此时有无穷多个整数解,不符合题意;‎ ‎(2)若时,即,因为函数在上单调递减,在上单调递增 所以时, ,所以无整数解,不符合题意;‎ ‎(3)当,即此时, 故0,1是的两个整数解,‎ 又只有两个正整数解,因此 ,解得所以 综上所述的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性、有关不等式、方程有解的问题。重点考查了分类讨论思想、构造函数法、零点存在定理。‎
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