【数学】2018届一轮复习人教A版第9章热点探究课6概率中的高考热点问题学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第9章热点探究课6概率中的高考热点问题学案

热点探究课(六)　概率中的高考热点问题 ‎[命题解读]　1.概率是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力.2.概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具.3.离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中低档类题目，特别是与实际问题内容渗透，背景新颖，充分体现了概率的工具性和交汇性．‎ 热点1　常见概率模型的概率 几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考的热点，几何概型主要以客观题进行考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、均值与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式．‎ ‎　近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎(2)试估计生活垃圾投放错误的概率. 【导学号：51062378】‎ ‎[解]　(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 ＝＝.6分 ‎(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确．事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“‎ 其他垃圾”箱里其他拉圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()约为＝0.7，所以P(A)约为1－ 0.7＝‎0.3.15‎分 ‎[规律方法]　1.本题求解的关键是从图表中提炼数据信息，理解第(1)，第(2)问的含义．‎ ‎2．第(2)问可直接求解，也可间接求解，即求垃圾投放正确的概率，然后通过1－P()求解．‎ ‎[对点训练1]　现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．‎ ‎(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；‎ ‎(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列．‎ ‎[解]　依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.2分 设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)．则P(Ai)＝Ci4－i.4分 ‎(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P(A2)＝C22＝.6分 ‎(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3＋A4，且A3与A4互斥，7分 所以P(B)＝P(A3＋A4)＝P(A3)＋P(A4)‎ ‎ ＝C3·＋C4＝.9分 ‎(3)依题设，ξ的所有可能取值为0,2,4.‎ 且A1与A3互斥，A0与A4互斥．‎ 则P(ξ＝0)＝P(A2)＝，‎ P(ξ＝2)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3)‎ ‎ ＝C1·3＋C3×＝，‎ P(ξ＝4)＝P(A0＋A4)＝P(A0)＋P(A4)‎ ‎ ＝C4＋C4＝.13分 所以ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎15分 热点2　离散型随机变量的均值与方差(答题模板)‎ 离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年均有解答题，属于中档题．复习中应强化应用题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中应强化解答题的规范性训练．‎ ‎　(本小题满分15分)(2017·浙江名校联考)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．‎ ‎(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；‎ ‎(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望). ‎ ‎【导学号：51062379】‎ ‎[规范解答]　用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.2分 ‎(1)P(A)＝P(A‎1A2)＋P(B‎1A2A3)＋P(A1B‎2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)‎ ‎＝2＋2＋2＝.6分 ‎(2)X的可能取值为2,3,4,5，7分 P(X＝2)＝P(A‎1A2)＋P(B1B2)‎ ‎＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)‎ ‎＝2＋2＝，9分 P(X＝3)＝P(B‎1A2A3)＋P(A1B2B3)＝‎ P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝‎ 2＋2＝，11分 P(X＝4)＝P(A1B‎2A3A4)＋P(B‎1A2B3B4)＝‎ P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝‎ 2＋2＝，13分 P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.‎ 故X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎14分 E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.15分 ‎[答题模板]　求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：‎ 第一步：确定随机变量的所有可能值．‎ 第二步：求第一个可能值所对应的概率．‎ 第三步：列出离散型随机变量的分布列．‎ 第四步：求均值和方差．‎ 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．‎ ‎[温馨提示]　1.(1)求解的关键在于理解“甲在4局以内”赢得比赛的含义，进而将事件转化为“三个互斥事件”的概率和．‎ ‎(2)第(2)问中利用对立事件求P(X＝5)的概率．‎ ‎2．步骤要规范，善于进行文字符号转化．‎ 如第(1)问，引进字母表示事件，或用文字叙述正确，得2分；把事件拆分成A＝A1A2＋B1A2A3＋A1B2A3A4，就得2分，计算概率值正确，得1分．第(2)问求出X的四个值的概率，每对一个得1分，列出随机变量X的分布列得1分．‎ ‎3．解题过程中计算准确，是得满分的根本保证．‎ 如第(1)问、第(2)问中概率值的计算要正确，否则不得分，分布列中计算四个概率的和是否为1，若和不为1，就有概率值出现错误了，不得分．‎ ‎[对点训练2]　一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止．‎ ‎(1)从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P1；‎ ‎(2)从袋中有放回地取球．‎ ‎①求恰好取5次停止的概率P2；‎ ‎②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望. 【导学号：51062380】‎ ‎[解]　(1)P1＝＝.4分 ‎(2)①P2＝C×2×2×＝.8分 ‎②随机变量ξ的取值为0,1,2,3，‎ 由n次独立重复试验概率公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，‎ 得P(ξ＝0)＝C5＝；‎ P(ξ＝1)＝C××4＝；‎ P(ξ＝2)＝C×2×3＝；‎ P(ξ＝3)＝1－＝.13分 随机变量ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎14分 ξ的数学期望是 E(ξ)＝×0＋×1＋×2＋×3＝.15分 热点3　概率与分布列的综合应用 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．‎ ‎　设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：‎ T(分钟)‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ 频数(次)‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎(1)求T的分布列与数学期望E(T)；‎ ‎(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．‎ ‎[解]　(1)由统计结果可得T的频率分布为 T(分钟)‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ 频率 ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎2分 以频率估计概率得T的分布列为 T ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ P ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎4分 从而E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟).6分 ‎(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同.7分 设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.10分 法一：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.15分 法二：P()＝P(T1＋T2>70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)‎ ‎＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.‎ 故P(A)＝1－P()＝0.91.15分 ‎[规律方法]　1.在处理随机变量的分布列时，先根据随机变量的实际意义，利用试验结果，找出随机变量的取值，再求相应的概率是常用的基本方法．‎ ‎2．注意分布列的性质在求分布列中的应用．‎ ‎[对点训练3]　在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：‎ ‎(1)该顾客中奖的概率；‎ ‎(2)该顾客获得的奖品总价值ξ(元)的概率分布列及期望E(ξ)和方差D(ξ)．‎ ‎[解]　(1)P＝1－＝1－＝，‎ 即该顾客中奖的概率为.4分 ‎(2)ξ的所有可能取值为0,10,20,50,60元．‎ P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝10)＝＝，‎ P(ξ＝20)＝＝，‎ P(ξ＝50)＝＝，‎ P(ξ＝60)＝＝.8分 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎60‎ P 从而期望E(ξ)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16.12分 D(ξ)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384.15分 热点探究训练(六)　概率中的高考热点问题 ‎1．(2017·温州质检)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是 ‎2 min.‎ ‎(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；‎ ‎(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望. ‎ ‎【导学号：51062381】‎ ‎[解]　(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P(A)＝××＝.6分 ‎(2)由题意可得，ξ可能取的值为0,2,4,6,8(单位：min)．事件“ξ＝2k”等价于事件“该学生在上学路上遇到k次红灯”(k＝0,1,2,3,4)，所以P(ξ＝2k)＝‎ Ck·4－k(k＝0,1,2,3,4)．‎ 即ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ P ‎12分 所以ξ的期望是 E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.15分 ‎2．A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：‎ A组：10,11,12,13,14,15,16；‎ B组：12,13,15,16,17,14，a.‎ 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．‎ ‎(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；‎ ‎(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．‎ ‎[解]　设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，‎ 事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2，…，7.‎ 由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1,2，…，7.2分 ‎(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝.6分 ‎(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．‎ 由题意知C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，10分 因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝.15分 ‎3．甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．‎ ‎(1)求第4局甲当裁判的概率；‎ ‎(2)用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望. ‎ ‎【导学号：51062382】‎ ‎[解]　(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，‎ A2表示事件“第3局结果为甲负”，‎ A表示事件“第4局甲当裁判”．‎ 则A＝A1·A2.‎ 则P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.6分 ‎(2)X的可能取值为0,1,2.‎ 记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，‎ B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，‎ B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，‎ B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．‎ 则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，‎ P(X＝2)＝P(1·B3)＝，则P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝.11分 ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎13分 ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.15分 ‎4．现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为(00，‎ P(ξ＝2)－P(ξ＝0)＝>0，‎ P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝>0，‎ 又0

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