2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十一双曲线苏教版
核心素养测评五十一 双曲线
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知双曲线的方程为-=1,则下列关于双曲线说法正确的是 ( )
A.虚轴长为4
B.焦距为2
C.离心率为
D.渐近线方程为2x±3y=0
【解析】选D.根据题意,依次分析选项:
对于A,双曲线的方程为-=1,其中b=3,虚轴长为6,则A错误;
对于B,双曲线的方程为-=1,其中a=2,b=3,则c==,则焦距为2,则B错误;对于C,双曲线的方程为-=1,其中a=2,b=3,则c==,则离心率为e==,则C错误;
对于D,双曲线的方程为-=1,其中a=2,b=3,则渐近线方程为2x±3y=0,则D正确.
2.(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若=,则△PFO的面积为 ( )
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A. B. C.2 D.3
【解析】选A.由双曲线的方程-=1可得一条渐近线方程为y=x;
在△PFO中,|PO|=|PF|,过点P作PH⊥OF,垂足为H,
因为tan∠POF=得到PH=;
所以S△PFO=××=.
3.(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则=( )
A. B.3 C.2 D.4
【解析】选B.渐近线方程为-y2=0,
即y=±x,所以∠MON=.
因为△OMN为直角三角形,假设∠ONM=,如图,
则kMN=,所以直线MN方程为y=(x-2).
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联立解得
所以N,即ON=,
因为∠MON=,所以|MN|=3.
4.(多选)(2020·山东新高考模拟)已知双曲线C过点(3,)且渐近线为y=±x,则下列结论正确的是 ( )
A.C的方程为-y2=1
B.C的离心率为
C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点
D.直线x-y-1=0与C有两个公共点
【解析】选AC.对于选项A:
(方法一)设所求双曲线方程为-=1,由所给条件知=,又双曲线C过点(3,),从而-=1,解得a=,b=1,c=2,所以选项A正确;
(方法二)由已知y=±x,可得y2=x2,从而设所求双曲线方程为x2-y2=λ,又由双曲线C过点(3,),从而×32-()2=λ,即λ=1,从而选项A正确;
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对于选项B:由双曲线方程可知a=,b=1,c=2,从而离心率为e===,所以B选项错误;
对于选项C:双曲线的右焦点坐标为(2,0),满足y=ex-2-1,从而选项C正确;
对于选项D:联立整理,
得y2-2y+2=0,由Δ=(-2)2-4×2=0,且直线斜率大于渐近线斜率,知直线与双曲线C只有一个交点,选项D错误.
5.(2020·杭州模拟)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:-=1(m>0,n>0)有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,且∠F1PF2=60°,若椭圆e1=,则双曲线C2的离心率e2= ( )
A. B. C.3 D.4
【解析】选B.设|PF1|=s,|PF2|=t,P为第一象限的交点,由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a,s-t=2m,解得s=a+m,t=a-m,在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,可得4c2=s2+t2-2stcos 60°=a2+m2+2am+a2+m2-2am-(a2-m2),即有a2+3m2=4c2,可得+=4,即+=4,由e1=,可得e2=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.双曲线+=1的焦距为________,焦点坐标为________.
【解析】由题意可得(25-k)(9-k)<0,
解得9
0,9-k<0,
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双曲线方程为-=1,
由c2=a2+b2=(25-k)+(k-9)=16,即c=4,所以2c=8.焦点坐标为(±4,0).
答案:8 (±4,0)
7.设m>0,双曲线M:-y2=1与圆N:x2+(y-m)2=5相切,A(-,0),B(,0),若圆N上存在一点P满足|PA|-|PB|=4,则点P到x轴的距离为________.
【解析】由题意得,双曲线中a=2,c=,易知点A,B为双曲线的左、右焦点,又点P满足|PA|-|PB|=4=2a,所以点P是双曲线与圆的切点,且在双曲线的右支上,由圆方程可知其圆心为N(0,m),半径为,
由
得5y2-2my+m2-1=0,
由Δ=(-2m)2-4×5×(m2-1)=0,
又m>0,解得m=,
则5y2-2·y+-1=0,
解得y=,即所求距离为.
答案:
8.已知双曲线-=1,过点M(m,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A,B两点.若△AOB是锐角三角形(O为坐标原点),则实数m的取值范围是________.
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【解析】由题意得A,
Bm,-2,
所以=,=m,-2,
因为△AOB是锐角三角形,
所以∠AOB是锐角,即与的夹角为锐角,
所以·>0,即m2-+4>0,
解得-2.
故实数m的取值范围是(-2,-)∪(,2).
答案:(-2,-)∪(,2)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·宿迁模拟)已知双曲线两个焦点分别是F1(-,0),F2(,0),点P(,1)在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)过双曲线的右焦点F2且倾斜角为60°的直线与双曲线交于A,B两点,求△F1AB的周长.
【解析】(1)由F1(-,0),F2(,0),点P(,1)在双曲线上,
得c=,2a=|PF1|-|PF2|=-=2,
所以a=1,则b2=c2-a2=1,
所以双曲线的标准方程为x2-y2=1.
(2)双曲线的右焦点F2(,0),直线AB的斜率为,
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则直线方程为y=(x-),
联立得2x2-6x+7=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=3,x1x2=.
所以|AB|=·=4.
因为|AF1|-|AF2|=2,|BF1|-|BF2|=2,
所以|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=4,
则|AF1|+|BF1|=4+|AB|=8,
所以△F1AB的周长为12.
10.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).
(1)求双曲线的方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证: MF1⊥MF2.
【解析】(1)因为e=,
所以可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).
因为双曲线过点(4,-),所以16-10=λ,即λ=6.
所以双曲线的方程为x2-y2=6,即-=1.
(2)方法一:由(1)可知,a=b=,所以c=2,
所以F1(-2,0),F2(2,0),
=(-2-3,-m),=(2-3,-m),
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所以·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2,
因为点M(3,m)在双曲线上,所以9-m2=6,即m2-3=0,所以·=0.
所以MF1⊥MF2.
方法二:由(1)可知,a=b=,
所以c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0),
所以=,=,
·==-.
因为点M(3,m)在双曲线上,所以9-m2=6,m2=3,
故·=-1,所以MF1⊥MF2.
(15分钟 35分)
1.(5分)-=2表示的曲线方程为 ( )
A.x2-y2=1(x≤-1) B.x2-y2=1(x≥-1)
C.y2-x2=1(y≤-1) D.y2-x2=1(y≥1)
【解析】选C.可看作动点(x,y)到点(0,)的距离,可看作动点(x,y)到点(0,-)的距离,则-=2表示动点(x,y)到(0,)和(0,-)的距离之差为2,符合双曲线的定义,且双曲线焦点在y轴上,又动点到(0,)的距离大于到(0,-)的距离,所以动点(x,y)的轨迹为双曲线的下支,则c=,a=1,所以b2=c2-a2=1,所以曲线方程为y2-x2=1(y≤-1).
【变式备选】
已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ( )
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A.-=1(x≥)
B.-=1(x≤-)
C.+=1(x≥)
D.+=1(x≤-)
【解析】选A.设动圆的半径为r,
由题意可得|MC1|=r+,|MC2|=r-,所以|MC1|-|MC2|=2=2a,
故由双曲线的定义可知动点M在以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点,实轴长为2a=2的双曲线的右支上,即a=,c=4⇒b2=16-2=14,故其标准方程为-=1(x≥).
2.(5分)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,与双曲线的两条渐近线交于C,D两点,若|AB|≥|CD|,则双曲线离心率的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
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【解析】选B.将x=c代入-=1,
得y=±,不妨取A,B,
则|AB|=,将x=c代入y=±x,
得y=±,不妨取C,D,
则|CD|=.因为|AB|≥|CD|,所以≥×,即b≥c,则b2≥c2,
又c2-a2=b2,
所以c2-a2≥c2,即c2≥a2,
则e2≥,则e≥.
【变式备选】
(2020·武汉模拟)已知A,B,C是双曲线-=1(a>0,b>0)上的三个点,AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BF⊥AC且2|AF|=|CF|,则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
【解析】选B.设左焦点为F′,|AF|=m,连接AF′,CF′,则|FC|=2m,|AF′|=2a+m,
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|CF′|=2a+2m,|FF′|=2c,
因为BF⊥AC,且AB经过原点O,
所以四边形FAF′B为矩形,
在Rt△AF′C中,|AF′|2+|AC|2=|F′C|2,代入(2a+m)2+(3m)2=(2a+2m)2,
化简得m=,所以在Rt△AF′F中,
|AF′|2+|AF|2=|F′F|2,
代入+=(2c)2,
化简得= ,即e=.
3.(5分)P是双曲线C:x2-y2=2左支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线,P在l上的射影为Q,F2是双曲线C的右焦点,则|PF2|+|PQ|的最小值为 ( )
A. B.
C.3 D.2+
【解析】选C.由题知|PF2|-|PF1|=2a=2,则|PF2|+|PQ|=|PF1|+|PQ|+2,由对称性,当F1,P,Q在同一直线上时|PF1|+|PQ|最小,由渐近线方程y=x,|F1O|=2知|F1Q|=,则|PF2|+|PQ|的最小值为3.
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4.(10分)(2019·福州模拟)已知双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为y=±x,过点P.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线l的方程;如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为y=±x,
设双曲线方程为x2-=λ(λ≠0),
过点P,代入可得λ=1,
所求双曲线方程为x2-=1.
(2)假设直线l存在.设B(1,1)是弦MN的中点,
且M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2.因为M,N在双曲线上,
所以
所以2(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0,
所以4(x1-x2)=2(y1-y2),所以k==2,
所以直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,
联立方程组 ,得2x2-4x+3=0,
因为Δ=16-4×3×2=-8<0,
所以直线l与双曲线无交点,所以直线l不存在.
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5.(10分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为且过点(,2).
(1)求双曲线的标准方程.
(2)过点(0,1)且斜率为k的直线l与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,已知△OAB的面积为,求直线的斜率k.
【解析】(1)依题意可得
解得a=1,b=2,c=,
所以双曲线的标准方程为x2-=1.
(2)直线l的方程为y=kx+1,
由可得(4-k2)x2-2kx-5=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由Δ>0,可得k∈(-,),
由根与系数的关系可得x1+x2=,x1·x2=,
|AB|=·
=·
=4·,
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O到直线l的距离d=,
所以S△OAB=|AB|·d=2,
由S△OAB=得4k4-23k2+19=0,
解得k=±,±1∈(-,),
所以直线的斜率k=±,±1.
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