2018届二轮复习三角函数的化简与求值课件（江苏专用）

2018届二轮复习三角函数的化简与求值课件（江苏专用）

专题 4 　三角函数与平面向量 第 16 练　三角函数的化简与求值 三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力 . 运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 4 5 1.(2015· 课标全国 Ⅰ 改编 )sin 20°cos 10° － cos 160°sin 10° 等于 _____. 解析　 sin 20°cos 10° － cos 160°sin 10 ° ＝ sin 20°cos 10° ＋ cos 20°sin 10 ° ＝ sin 30° ＝ . 1 2 3 4 5 解析答案 3 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 返回 高考 必会题型 题型一　利用同角三角函数基本关系式化简与求值 基本方法： (1) 弦切互化； (2) “ 1 ” 的代换，即 1 ＝ sin 2 α ＋ cos 2 α ； (3) 在进行开方运算时，注意判断符号 . 解析答案 例 1 　已知 tan α ＝ 2 ，求： 解　 方法一　 ∵ tan α ＝ 2 ， ∴ cos α ≠ 0 ， 解析答案 点评 (2)3sin 2 α ＋ 3sin α cos α － 2cos 2 α 的值 . 解　 3sin 2 α ＋ 3sin α cos α － 2cos 2 α 点评 本题 (1)(2) 两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐次多项式 . 对于这样的多项式一定可以化成切函数，分式可以分子分母同除 “ cos α ” 的最高次幂，整式可以看成分母为 “ 1 ” ，然后用 sin 2 α ＋ cos 2 α 代换 “ 1 ” ，变成分式后再化简 . 解析答案 解　 由已知得 sin α ＝ 2cos α . 解析答案 (2)sin 2 α ＋ sin 2 α . 题型二　利用诱导公式化简与求值 1. 六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即 “ 函数名不变，符号看象限 ” ；一类是异名变换，即 “ 函数名称变，符号看象限 ”. 2. 诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！ 解析答案 点评 ＝－ sin α ＋ sin α ＝ 0. 解析答案 0 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键 . 另外，切化弦是常用的规律技巧 . 点评 解析 答案 解析答案 0 题型三　利用其他公式、代换等化简求值 两角和与差的三角函数的规律有三个方面： (1) 变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是 “ 配凑 ”. (2) 变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有 “ 切化弦 ”“ 升幂与降幂 ” 等 .(3) 变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有 “ 常值代换 ”“ 逆用变用公式 ”“ 通分与约分 ”“ 分解与组合 ”“ 配方与平方 ” 等 . 例 3 　化简： 解析答案 ＝ sin 50°(1 ＋ tan 60°tan 10°) 点评 解析答案 (1) 二倍角公式是三角变换的主要公式，应熟记、巧用，会变形应用 . (2) 重视三角函数的 “ 三变 ” ： “ 三变 ” 是指 “ 变角、变名、变式 ”. 变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等 . 在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求 ( 或所证明 ) 问题的整体形式中的差异，再选择适当的公式恒等变形 . 点评 解析　 因为三个内角 A ， B ， C 成等差数列，且 A ＋ B ＋ C ＝ π ， 解析答案 解析答案 返回 解析答案 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1.(2015· 陕西改编 ) “ sin α ＝ cos α ” 是 “ cos 2 α ＝ 0 ” 的 ______________ 条件 .( 填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ” 或 “ 既不充分也不必要 ” ) 解析 　 ∵ sin α ＝ cos α ⇒ cos 2 α ＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 0 ； cos 2 α ＝ 0 ⇔ cos α ＝ ±sin α 　　 sin α ＝ cos α . 充分不必要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 － 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 ∴ － sin α ＝－ 2cos α ，即 sin α ＝ 2cos α ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 6. 若 (4tan α ＋ 1)(1 － 4tan β ) ＝ 17 ，则 tan( α － β ) 等于 ________. 解析　 由已知得 4tan α － 16tan α tan β ＋ 1 － 4tan β ＝ 17 ， ∴ tan α － tan β ＝ 4(1 ＋ tan α tan β ) ， 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 ∵ tan α ＝－ 2 ， 解得 tan β ＝ 3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 8. 设当 x ＝ θ 时，函数 f ( x ) ＝ sin x － 2cos x 取得最大值，则 cos θ ＝ ________. 解析　 f ( x ) ＝ sin x － 2cos x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 ∴ (2sin α － 3cos α )(sin α ＋ cos α ) ＝ 0 , ∴ 2sin α ＝ 3cos α , 又 sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(2015· 四川 ) 已知 sin α ＋ 2cos α ＝ 0 ，则 2sin α cos α － cos 2 α 的值是 ________. 解析答案 解析　 ∵ sin α ＋ 2cos α ＝ 0 ， ∴ sin α ＝－ 2cos α ， ∴ tan α ＝－ 2. － 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 12. 已知函数 f ( x ) ＝ cos 2 x ＋ sin x cos x ， x ∈ R . 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解　 因为 f ( x ) ＝ cos 2 x ＋ sin x cos x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回