北京十一中学2020届高三下学期第一次模拟数学试题

北京十一中学2020届高三下学期第一次模拟数学试题

北京市第十一中学2020届高三一模数学试卷 一、选择题 ‎（本大题共10小题，每小题4分，共40分）‎ 1. 已知集合 ， ，且 、 都是全集 ( 为实数集)的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）．‎ A. B. 或 C. D. ‎ 2. 下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为 的是（ ）．‎ A. B. C. D.‎ ‎，则 C.‎ 3. 已知双曲线 的一条渐近线倾斜角为 A. B.‎ ‎（ ）．‎ D.‎ 4. 下列不等式成立的是（ ）．‎ A. B. C. D.‎ 5. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如 ， ．在不超过 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 的概率是（ ）．‎ A. B. C. D. 以上都不对 6. 设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )‎ A. 若 ‎，‎ ‎， B. 若 ‎，‎ ‎， C. 若 ‎，‎ ‎，‎ D. 若 ‎，‎ ‎，‎ 则 则 ‎，则 ‎，则 1. 数列 的通项公式为 ．则“ ”“是 为递增数列”的（ ） 条件．‎ A. 必要而不充分 B. 充 要 C. 充分而不必要 D. 即不充分也不必要 2. 设函数 A. ‎ ‎，则使得 成立的 的取值范围是（ ）．‎ B. C. D. ‎ 3. 已知函数 ．下列命题：①函数 的图象关于原点对称；②函数 是周期函数；③当 时，函数 取最大值；④函数 的图象与函数 的图象没有公共点， 其中正确命题的序号是（ ）．‎ A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②④‎ 4. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面 ， ， 两两互相垂直，点 ，点 到 ， 的距离都是 ，‎ 点 是 上的动点，满足 到 的最小值是（ ）．‎ 的距离与 到点 的距离相等，则点 的轨迹上的点到 的距离 A. B.‎ C.‎ D.‎ 二、填空题 ‎（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ 5. 如图，在复平面内，复数 ， 对应的向量分别是 ， ，则 ．‎ 6. 某高中共有 人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取 人，那么高二年级被抽取的人数为 ．‎ 7. 角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 的值是 ．‎ 1. 平面向量 ， ， ，且 与 的夹角等于 与 的夹角， 则 ．‎ 2. 以 ， 为圆心的两圆均过 ，与 轴正半轴分别交于 ， ，且满足 ‎，则点 的轨迹方程为 ．‎ 3. 某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对 名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这 名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的 ， ， ，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为百分之 ．‎ ‎“我身边的榜样”评选选票 候选人 符号 注:‎ ‎.同意画“ ”，不同意画 ．‎ ‎.每. 张. 选. 票. “ ”的. 个. 数. 不. 超. 过. 时. 才. 为. 有. 效. 票. ．‎ 甲 乙 丙 三、解答题 ‎（本大题共6小题，共80分）‎ 4. 如图所示，已知 平面 ， ， 为等边三角形， 为 边上的中点， 且 ．‎ ‎（ 1 ）求证： 面 ．‎ ‎（ 2 ）求证：平面 平面 ．‎ ‎（ 3 ）求该几何体 的体积．‎ 5. 在锐角 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边， ， ，且 ．‎ ‎（ 1 ）求角 的大小；‎ ‎（ 2 ）求函数 的值域．‎ 月收入（单位：百元） 频数 频率 赞成人数 1. 某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了 名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：‎ ‎（ 1 ）若所抽调的 名市民中，收入在 的有 名，求 ， ， 的值，并完成频率分布直方图．‎ 频率 组距 收入 百元 ‎（ 2 ）若从收入（单位：百元）在 的被调查者中随机选取 人进行追踪调查，选中的 人中恰有 人赞成“楼市限购令”，求 的分布列与数学期望．‎ ‎（ 3 ）从月收入频率分布表的 组市民中分别随机抽取 名市民，恰有一组的 名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表格数据，判断这 名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果．‎ ‎20. 已知函数 ‎（ 1 ） 当 时，求 ‎．‎ 的单调区间．‎ ‎（ 2 ）设直线 时切线 ‎（ 3 ）已知 是 曲 线 的方程．‎ 分别在 的切线，若 的斜率存在最小值 ，求 ‎， （ ）处取得极值，求证：‎ 的值，并求取得最小斜率 ‎．‎ 21. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ．点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．‎ ‎（ 1 ）求椭圆 的方程；‎ ‎（ 2 ）已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．过点 任作直线 与椭圆 相交于 ， 两点，设直线 ， ， 的斜率分别为 , ， ，若 ‎ ‎，试求 满足的关系式．‎ 21. 对于非负整数集合 （非空），若对任意 ， ，或者 ，或者 ，则称为一个好集合．以下记 为 的元素个数．‎ ‎（ 1 ）给出所有的元素均小于 的好集合．（给出结论即可）‎ ‎（ 2 ）求出所有满足 的好集合．（同时说明理由）‎ ‎（ 3 ）若好集合 满足 ，求证： 中存在元素 ，使得 中所有元素均为 的整数倍．‎ 北京市第十一中学2020届高三一模数学试卷(答案)‎ 一、选择题 1. C ‎【解析】 ‎ ‎，‎ ‎，‎ 图中表示的是 ，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ．‎ 故选 ．‎ 2. B ‎【解析】A 选项：‎ 根据题意可画出函数 上不单调，故 错误； B 选项：‎ ‎的图象草图，则函数 ‎在定义域 根据题意可画出函数 的图象，由图象可知， 在定义域上单调递增，且值域为 ，故 正确；‎ C 选项：‎ 根据题意可作出 的大致图象，由图象可知，此函数单调递增，但值域为，故 错误；‎ D 选项：‎ 根据题意可作出错误；‎ 故选 B .‎ ‎的大致图象，由图象可知，此函数在定义域上不单调，故 1. D ‎【解析】题目中双曲线方程可知， ，且渐近线方程为 ，因为其中一条渐 近线倾斜角为 ，则切斜率 ， ，则 ， 故选 D．‎ 2. D ‎【解析】对于 ， 则 ，故 错误； 对于 ， 是在 单调递增， ，‎ ‎∴ ，故 错误；‎ 对于 ， ， ，‎ ‎，∴ ．故 错误;‎ 对于 ， 在 单调递增，又 ，‎ ‎∴ ，故 正确．‎ 综上，不等式成立的是 ，故选 ．‎ 1. A ‎【解析】不超过 的 素 数 有 ， ， ， ， ， ， ， 共 个 ， 从这 个素数中任选 个，有 种可能，‎ 其中选取的两个数，其和等于 的有 ， 共 个，‎ 故随机选出两个不同的数，其和等于 的概率是 ． 故选 ．‎ 2. C ‎【解析】解：对于A，由 可知存在直线 ，故当 为 内与 垂直的直线时，显然 ‎， ，故A错误；‎ 对于B，设 ‎，则当 为 内与 平行的直线时，‎ ‎，‎ ‎，故B错 误；‎ 对于C， ，‎ ‎，得到 ‎，又 ‎，所以 ‎，故C正确；‎ 对于D，设 ，则当 为 内与 平行的直线时， ，故D错误． 故选：C．‎ 3. A ‎【解析】数列 的通项公式为 ， ， 若“ 是递增数列”，则 ‎ ，‎ 即 ，‎ 化简的 ，‎ 又 ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴“ ”是 为递增数列的必要不充分条件． 故选 ．‎ 4. B ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎的定义域为 ，‎ ‎ ‎ ‎∴ 为偶函数， 时，‎ ‎∴ 在 ‎ ‎‎ 单调递减，‎ ‎，‎ 单调递增，‎ 若 ，则 ‎∴ 的取值范围是故 选 ．‎ ‎，即 或 ，‎ ‎，‎ 1. A ‎【解析】函数定义域为 ，且 ，即函数为奇函数，故①正确；‎ 是周期函数，而 不是周期函数，故 不是周期函数，即②错 误；‎ ‎， ，故 不是最值，即③错 误；‎ 因为 ，当 时， ， ，故 ‎， ；当 时， ， ，故 ‎， ．即函数 的图象与函数 的图象没有公共 点，④正确． 故选： ．‎ 2. D ‎【解析】‎ 如图，原题等价于在直角坐标系 中，点 、 是第一象限内的动点，满足到 轴的距离等于点 到点 的距离，则点 的轨迹上的点到 轴的距离的最小值 是多少．设 ，则 ，化简得 ‎ ‎，则 ，故 ，即点 的轨迹上的点到 的距离的最小值是 ，故选 ．‎ 二、填空题 1. ‎【解析】由图可知 ， ，所以 ‎ ‎．‎ 2. 人 ‎【解析】 设高一、高二、高三人数分别为 、 、 ， 则 ，‎ 且 ，‎ 解得 ，‎ 用分层抽样的方法抽取 人，那么高二年级被抽取的人数为 人．‎ 3. ‎【解析】由于角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，可得 ，∴ ．‎ 故答案为： ．‎ 4. 所以 ‎，即 ‎【解析】由已知可得 ，且 ，‎ ‎，‎ 即 ，解得 ．‎ 5. ‎【解析】∵ ，‎ ‎∴ ，‎ 和 的中点坐标为 ，‎ ‎∵ 在线段 的垂直平分线上，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，‎ 和 的中点坐标为 ，‎ ‎∵ 在线段 的垂直平分线上，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ‎ ‎，‎ ‎∵‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴点 的轨迹方程为 ． 故答案为： ．‎ 1. ‎【解析】不妨设共有选票 张，投 票的有 ， 票的 ， 票的 ，则由题意可得：‎ ‎，化简 得 ，即 ，‎ 由题投票有效率越高， 越小，则 ， ，‎ 故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为 ．‎ 三、解答题 2. ‎（ 1 ）证明见解析．‎ ‎（ 2 ）证明见解析．‎ ‎（ 3 ） ．‎ ‎【解析】（ 1 ）取 的中点 ，连接 ， ，‎ 则 ‎，‎ ‎，‎ ‎∴ ，‎ ‎（ 2 ）‎ ‎∴四边形 为平行四边形，‎ ‎∴ ．‎ 又 面 ， 平面 ，‎ ‎∴ 面 ．‎ 为等边三角形， 为 中点，‎ ‎∴ ．‎ 又 ，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ 面 ． 又 ，‎ ‎∴ 面 ，‎ ‎∴面 平面 ．‎ ‎（ 3 ）几何体 是四棱锥 ，‎ 作 交 于点 ，即 面 ，‎ ‎ ．‎ ‎18. （ 1 ） ；‎ ‎（ 2 ）‎ ‎【解析】（ 1 ）由 ，得 ， ，‎ ‎，‎ 在锐角 中， ，‎ ‎，故有 ；‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（ 2 ）在锐角 中， ，故 ．‎ ‎．‎ 函数 的值域为 ．‎ ‎19. （ 1 ）‎ ‎（ 2 ）‎ ‎（ 3 ）‎ ‎， ， ，画图见解析． 的分布列为：‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎【解析】（ 1 ）由频率分布表得 ，‎ 即 ．‎ 因为所抽调的 名市民中，收入（单位：百元）在 的有 名， 所以 ，‎ 所以 ， ，‎ 所以 ， ， ，且频率分布直方图如下：‎ 频率组距 收入 百元 ‎（ 2 ）收入在 中赞成人数为 ，不赞成人数为 ，‎ ‎；‎ ‎，‎ ‎∴ 可能取值为 ， ， ，‎ ‎；‎ ‎∴ 的分布列为：‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎（ 3 ）来自 的可能性更大．‎ 20. ‎（ 1 ）函数的单调递减区间为 ．‎ ‎（ 2 ） ， ．‎ ‎（ 3 ）证明见解析．‎ ‎【解析】（ 1 ）因为函数的定义域为 ，‎ 当 时， ，‎ ‎ ，‎ 所以由于 ，解得 ， 即函数的单调递减区间为 ．‎ ‎（ 2 ）因为 ，所以 ，‎ 因为 ‎，所以 ‎．‎ 当 取得最小斜率时，因为 ，即切点为 从而切线方程 ，即：‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎） ，‎ 因为 分别在 ， （ ）处取得极值，‎ 所以 ， （ ）是方程 ‎，‎ 即 的两个不等正根．‎ 则 解得 ，且 ‎，‎ ‎．‎ 从而 当且仅当 时取等号．因为直线 的斜率存在最小值 ， 所以 ，即 ．‎ ‎（ 3 ‎ ‎，‎ 即不等式 成立．‎ 20. ‎（ 1 ） 椭圆 的方程为 ．‎ ‎（ 2 ） 的关系式为 ．‎ ‎【解析】（ 1 ）依题意， ， ，‎ 所以 ．‎ 故椭圆 的方程为 ．‎ ‎（ 2 ）①当直线 的斜率不存在时，由 解得 ． 不妨设 ， ，‎ 因为 ，又 ，所以 ， 所以 的关系式为 ，即 ．‎ ‎②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ． 将 代入 整理化简得， ．‎ 所以 所以 ‎，所以 ‎，所以 的关系式为 设 ， ，则 , ． 又 ， ．‎ ‎．‎ 综上所述， 的关系式为 ．‎ ‎22. （ 1 ）‎ ‎（ 2 ）‎ ‎， ， ， ． ；证明见解析．‎ ‎（ 3 ）证明见解析．‎ ‎【解析】（ 1 ） ， ， ， ．‎ ‎（ 2 ）设 ，其中 ，‎ 则 由 题 意 ： ， 故 ， 即 ， 考 虑 ， ， 可知 ，‎ 所以 或 ， 若 ，则考虑 ， ， 由于 ，‎ 所以 ，因此 ，‎ 所以 ，但此时考虑 ， ，但 ， ， 不满足题意．‎ 若 ，此时 满足题意， 所以 ，其中 ， 为相异正整数．‎ ‎（ 3 ）记 首先， 其中 分别考虑 ‎，则 ‎，设 ‎ ‎ 和其他任一元素 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，由题意可得 也 在 中 ，‎ 而 所以 所以 ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎，‎ 对 于 故其差 特别的，‎ ‎，考虑 ‎，‎ ‎， ，其和大于 ‎，‎ ‎，‎ 所以 由 ‎，‎ ‎，且 ‎，‎ 所以 ‎，‎ 通过归纳可得：‎ ‎，‎ 所以 ‎，此时，‎ ‎，‎ 故 中存在元素 ，使得 中所有元素均为 的整数倍．‎