高考数列练习题及答案理科

高考数列练习题及答案理科

‎2013年全国各地高考试题汇编 ‎ (理科) ‎ ‎1.（本小题满分12分）(2013湖北.理)‎ 已知等比数列满足：‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）是否存在正整数使得若存在,求的最小值;若不存在，说明理由.‎ ‎2．（本小题满分16分）(2013江苏卷)‎ 设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和．记，‎ ‎，其中为实数．‎ ‎（1）若，且成等比数列，证明：（）；‎ ‎（2）若是等差数列，证明：．‎ ‎3.(本题满分14分)(2013浙江.理)‎ 在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列. ‎ ‎（Ⅰ）求d，an；‎ ‎（Ⅱ) 若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| .‎ ‎4. (本小题满分12分) (2013陕西.理)‎ 设是公比为的等比数列. ‎ ‎ (Ⅰ) 推导的前项和公式; ‎ ‎ (Ⅱ) 设, 证明数列不是等比数列. ‎ ‎6.（本小题满分13分）(2013安徽.理)‎ 设函数，证明：‎ ‎（Ⅰ）对每个，存在唯一的，满足；‎ ‎（Ⅱ）对任意，由（Ⅰ）中构成的数列满足 ‎8.（本小题满分14分）(2013广东.理)‎ ‎ 设数列的前项和为，已知，. （1）求的值 ‎（2）求数列的通项公式 ‎(3)证明：对一切正整数，有.‎ ‎11．（本小题满分12分）(2013江西.理)‎ 正项数列的前项和满足：‎ （1） 求数列的通项公式；‎ （2） 令，数列的前项和为．证明：对于任意，都有.‎ ‎23. (本小题满分14分) (2013天津.理)‎ 已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前项和为, 且成等差数列. ‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式; ‎ ‎(Ⅱ) 设, 求数列的最大项的值与最小项的值 ‎13.（本小题共13分）(2013北京.理)‎ 已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项…的最小值记为，．‎ ‎（Ⅰ）若为…，是一个周期为4的数列（即对任意，），写出的值；‎ ‎（Ⅱ）设是非负整数，证明：…的充分必要条件为是公差为的等差数列；‎ ‎（Ⅲ）证明：若，…，则的项只能是或者，且有无穷多项为．‎ ‎15. (本小题满分12分) (2013全国卷.理)‎ 设是公比为的等比数列. ‎ ‎ (Ⅰ) 推导的前项和公式; ‎ ‎ (Ⅱ) 设, 证明数列不是等比数列. ‎ ‎20.（本小题满分12分）(2013四川.理)‎ 在等差数列中，，且为和的等比中项，求数列的首项，公差及前项和。‎ ‎1.（本小题满分12分）(2013湖北.理)‎ 解(1) 或 ‎(2)若,则,故是首项为,公比为的等比数列.‎ 从而 若,则,故是首项为,公比为的等比数列.‎ 从而故 综上,对任何正整数,总有 故不存在正整数,使得成立.‎ ‎2．（本小题满分16分）(2013江苏卷)‎ 证：（1）若，则，，．‎ 当成等比数列，，‎ 即：，得：，又，故．‎ 由此：，，．‎ 故：（）．‎ ‎（2）， ‎ ‎． (※)‎ 若是等差数列，则型．‎ 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，‎ 故有：，即，而，‎ 故．‎ 经检验，当时是等差数列．‎ ‎3.(本题满分14分)(2013浙江.理)‎ 解.本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎（I）由题意得 a1·5a3＝(2a2+2)2‎ 即d2－3d－4=0‎ 故d=－1或d=4‎ 所以an＝－n+11,n∈N*或an＝4n+6,n∈N*‎ ‎（II）设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由(I)得d=－1, an＝－n+11。则 当n≤11时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|＝Sn＝‎ 当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|＝－Sn +2S11＝+110‎ 综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|＝‎ ‎4. (本小题满分12分) (2013陕西.理)‎ ‎【解析】(Ⅰ) 分两种情况讨论。‎ ‎①‎ ‎②.‎ 上面两式错位相减: ‎ ‎。‎ ‎③综上，‎ ‎(Ⅱ) (用反证法)‎ 设是公比的等比数列, 假设数列是等比数列.则 ‎①当使得成立，则不是等比数列。‎ ‎②当成立，则 ‎。这与题目条件q≠1矛盾。‎ ‎③综上两种情况，假设数列是等比数列均不成立，所以当时, 数列不是等比数列。（证毕）‎ ‎6.（本小题满分13分）(2013安徽.理)‎ 证明(1) 对每个，当时,,‎ 故在上单调递增.‎ 由于,当时,故 又 所以存在唯一的,满足 ‎(2)当时,,‎ 故 由在上单调递增知,,故为单调递减数列.‎ 从而对任意,.‎ 对任意,由于 ‎ …………① ‎ ‎……②‎ ‎①-②并移项,利用得 因此对任意的,都有 ‎8.（本小题满分14分）(2013广东.理)‎ ‎ ‎ 解(Ⅰ) 依题意,,又,所以；‎ ‎ (Ⅱ) 当时,,‎ ‎ 两式相减得 ‎ 整理得,即,又 ‎ 故数列是首项为,公差为的等差数列,‎ 所以,所以.‎ ‎ (Ⅲ) 当时,；当时,；‎ ‎ 当时,,此时 综上,对一切正整数,有 .‎ ‎11．（本小题满分12分）(2013江西.理)‎ 解(1)由 由于是正项数列,所以.‎ 于是时,‎ 综上数列的通项公式为.‎ ‎(2)证明:由于 ‎ ‎ ‎13.（本小题共13分）(2013北京.理)‎ 解(1)‎ ‎(2)(充分性)因为是公差为的等差数列,且,所以 ‎ 因此 ‎(必要性)因为,所以.‎ 又因为 于是 即是公差为的等差数列;‎ ‎(3)因为所以 故对任意 假设中存在大于2的项 设为满足的最小正整数 则,并且对任意 又因为,所以,且,于是 故与矛盾.‎ 所以对于任意,有,即非负整数列的各项只能为1,‎ 因为对任意,所以.‎ 故 ,因此对于任意正整数,存在满足,且,即数列的项为1.‎ ‎15. (本小题满分12分) (2013全国卷.理)‎ 解(1)设的前项和为,‎ 当时,‎ 当时,……………①‎ ‎ ………②‎ ‎①-②得 ‎(2)假设是等比数列,则对任意的,‎ ‎,‎ 这与已知矛盾.所以假设不成立.故不是等比数列.‎ ‎20.（本小题满分12分）(2013四川.理)‎ 解:设等差数列的公差为,前项和为,‎ 由已知得 解得或 所以数列的通项公式为或 所以数列的前项和或 ‎23. (本小题满分14分) (2013天津.理)‎ 解(1)设等比数列的公比为,因为成等差数列,‎ 所以 又不是递减数列,且 ‎(2)由(1)得 当为奇数时,随的增大而减小,所以 故.‎ 当为偶数时, 随的增大而减大,所以,‎ 故.‎ 所以数列的最大项的值为;最小项的值为.‎