安徽省安庆市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

安徽省安庆市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

安庆市2018-2019学年高二下学期期末考试 数学（文）试卷 一.选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知是虚数单位，复数的值是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简即可得出．‎ ‎【详解】复数.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．‎ ‎2.设，其中是自然对数的底数，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本初等函数的求导公式运算即可.‎ ‎【详解】因为，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查基本初等函数的求导公式，属于基础题．‎ ‎3.因为正弦函数是周期函数，是正弦函数，所以是周期函数，以上推理（　　）‎ A. 结论正确 B. 大前提不正确 C. 小前提不正确 D. 全不正确 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先要分清谁是大前提、小前提和结论，继而判断对错得出结果．‎ 详解】根据演绎推理得：小前提：是正弦函数，错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查演绎推理，涉及了三角函数的图象和性质，属于基础题．‎ ‎4.已知，则“”是“直线和直线平行”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线和直线平行，得；反之不成立，例如时，两条直线重合．‎ ‎【详解】由直线和直线平行，可得．‎ 反之不成立，例如时，两条直线都为，所以两条直线重合．‎ ‎∴是“直线和直线平行”的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，属于基础题．‎ ‎5.已知双曲线:的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的渐近线方程得出的关系，再求出与的关系，即可计算双曲线的离心率．‎ ‎【详解】双曲线:的一条渐近线方程为，即，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴双曲线的离心率为＝＝．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的渐近线与离心率的计算问题，属于基础题．‎ ‎6.下列说法错误的是（　　）‎ A. 命题：存在，使，则非：对任意，都有；‎ B. 如果命题“或”与命题“非”都是真命题，那么命题一定是真命题；‎ C. 命题“若都是偶数，则是偶数”的逆否命题是“若不是偶数，则不是偶数”；‎ D. 命题“存在，”是假命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由命题的否定形式可判断A；由复合命题的真值表可判断B；由命题的逆否命题形式可判断C；由二次方程的解法可判断D．‎ ‎【详解】命题：存在，使，则非：对任意，都有 ‎，故A正确；‎ 如果命题“或”与命题“非”都是真命题，那么命题为假命题，那么命题一定是真命题，故B正确；‎ 命题“若都是偶数，则是偶数”的逆否命题是“若不是偶数，则不全是偶数”，故C错误；‎ 由于命题的判别式，则方程无实数解，所以不存在，，故D正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定和复合命题的真假、四种命题和存在性命题的真假，考查推理能力，属于基础题．‎ ‎7.甲.乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度.跑步速度均相同，则（　　）‎ A. 甲先到教室 B. 乙先到教室 C. 两人同时到教室 D. 谁先到教室不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设两人步行，跑步的速度分别为，（）．图书馆到教室的路程为，再分别表示甲乙的时间，作商比较即可.‎ ‎【详解】设两人步行、跑步的速度分别为，（）．图书馆到教室的路程为．‎ 则甲所用的时间为：．‎ 乙所用的时间，满足+，解得．‎ 则＝＝＝1．∴．故乙先到教室．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了路程与速度、时间的关系、基本不等式的性质，属于基础题．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）‎ A. 3 B. 5 C. 7 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知的框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算输出变量n的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案，本题中在计算S时，还需要结合数列中的裂项求和法解决问题，即：.‎ ‎【详解】解：由程序框图知：‎ 第一次循环：初始值为0，不满足，故，；‎ 第二次循环：当，不满足，故，；‎ 第三次循环：当，不满足，故，；‎ 第四次循环：当，不满足，故，；‎ 此时，，满足，退出循环，输出，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图应用问题，解题时模拟程序框图的运行过程，便可得出正确的结论，这类题型往往会和其他知识综合，解题需结合其他知识加以解决.‎ ‎9.设函数，则是（　　）‎ A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是奇函数，且在上是减函数 C. 是偶函数，且在上是增函数 D. 是偶函数，且在上是减函数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的定义域，判断的奇偶性，再根据复合函数的单调性判断在上的单调性．‎ ‎【详解】∵函数，；‎ ‎∴，∴是上的偶函数，又，‎ 当 时，二次函数是减函数，所以函数在也是减函数．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断问题，属于基础题．‎ ‎10.函数的图象如图所示，是函数的导函数，下列数值排序正确的是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设为函数的上的点，由导数的几何意义分析可得（3）与（2）的几何意义，又由﹣＝为直线的斜率，结合图象分析可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，设为函数的上的点，‎ 则为函数在处切线的斜率，为函数在处切线的斜率，‎ ‎﹣＝，为直线的斜率，‎ 结合图象分析可得﹣；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，涉及直线的斜率大小比较，属于基础题．‎ ‎11.已知是双曲线上任意一点，过点分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的值是（　　）‎ A. B. － C. D. 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，即，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量，的坐标，由向量的数量积的坐标表示计算即可．‎ ‎【详解】设，则，即，‎ 由双曲线的渐近线方程为，‎ 则由解得交点A（，）；‎ 由解得交点B（，）．‎ ‎＝（，），＝（，），‎ 则＝＝﹣＝﹣＝﹣．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎12.已知函数有且只有一个极值点，则实数构成的集合是（　　）‎ A. 且 B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，构造新函数，利用导函数判断新函数的单调性，利用原函数的极值，列出不等式求解的范围即可．‎ ‎【详解】由题意，求得函数的导数，令，即.‎ 则．设，得．‎ 当时，得；当时，得或，‎ 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．‎ 因为函数有且只有一个极值点，‎ 所以直线与函数的图象有一个交点，所以或．‎ 当时恒成立，所以无极值，所以．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及导函数的应用，考查转化思想以及计算能力以及构造法的应用，属于中档题．‎ 二.填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13.能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.‎ ‎【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．‎ ‎14.函数在点处的切线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：求出函数的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程.‎ 详解：的导数为，‎ 在点（0,1）处的切线斜率为，‎ 即有在点（0,1）处的切线方程为.‎ 故答案为：.‎ 点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线在点的导数就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程.‎ ‎15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程：比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，即．类似上述过程，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过已知得到求值方法，先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），即可得解．‎ ‎【详解】由已知，令，则，所以，‎ 解得或（舍）.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了类比推理，注意对应关系，让知识正确迁移，属于基础题．‎ ‎16.设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则 ．‎ ‎【答案】或．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，，，设，‎ ‎∴，，‎ 或．‎ 考点：1．抛物线的标准方程及其性质；2．圆的性质．‎ ‎【思路点睛】研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用，“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．‎ 三.解答题（共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知复数，其中是虚数单位．‎ ‎（1）当为何值时，复数是纯虚数？‎ ‎（2）若复数对应的点在复平面内第二，四象限角平分线上，求的模．‎ ‎【答案】（1）0；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接由复数的实部为0，且虚部不为0，列式求解即可；‎ ‎（2）由实部与虚部的和等于0列式求得，进一步求得，则||可求．‎ ‎【详解】（1）由复数是纯虚数，得，即时，是纯虚数；‎ ‎（2）∵复数对应的点在复平面内第二，四象限角平分线上，‎ 由，即，得或.‎ 当＝﹣时，＝，则||＝＝；‎ 当＝1时，＝0，则||＝0．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的模，属于基础题．‎ ‎18.为了了解高三学生的心理健康状况，某校心理健康咨询中心对该校高三学生的睡眠状况进行抽样调查，随机抽取了50名男生和50名女生，统计了他们进入高三后的第一个月平均每天睡眠时间，得到如下频数分布表．规定：“平均每天睡眠时间大于等于8小时”为“睡眠充足”，“平均每天睡眠时间小于8小时”为“睡眠不足”．‎ 高三学生平均每天睡眠时间频数分布表 睡眠时间（小时）‎ ‎[5，6）‎ ‎[6，7）‎ ‎[7，8）‎ ‎[8，9）‎ ‎[9，10）‎ 男生（人）‎ ‎4‎ ‎18‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎6‎ 女生（人）‎ ‎2‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎（Ⅰ）请将下面的列联表补充完整：‎ 睡眠充足 睡眠不足 合计 男生（人）‎ ‎32‎ 女生（人）‎ ‎12‎ 总计 ‎100‎ ‎（Ⅱ）根据已完成的2×2列联表，判断是否有90%的把握认为“睡眠是否充足与性别有关”？‎ 附：参考公式＝‎ P（K2≥k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3841‎ ‎6.636‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）没有的把握认为“睡眠是否充足与性别有关”‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题意填写列联表；‎ ‎（Ⅱ）由表中数据计算K2，对照临界值得出结论．‎ ‎【详解】（Ⅰ）根据题意知，男生平均每天睡足8个小时的有18人，‎ 女生平均每天不足8个小时的有38人，由此列联表如下；‎ 睡眠充足 睡眠不足 合计 男生（人）‎ ‎18‎ ‎32‎ ‎50‎ 女生（人）‎ ‎12‎ ‎38‎ ‎50‎ 总计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎（Ⅱ）根据列联表中数据，计算K2＝＝≈1.714＜2.706，‎ 所以没有90%的把握认为“睡眠是否充足与性别有关”．‎ ‎【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，属于基础题．‎ ‎19.请在综合法，分析法，反证法中选择两种不同的方法证明：‎ ‎（1）如果，则；‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用分析法和综合法，结合基本不等式即可得证；‎ ‎（2）运用分析法，考虑移项和平方，可得证明；运用分子有理化和不等式的性质，即可得证．‎ ‎【详解】（1）方法一、（综合法）因为，所以，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ 方法二、（分析法）要证，‎ 即为≥＝，‎ 即证≥，由＞0，上式显然成立，‎ 则原不等式成立；‎ ‎（2）方法一（分析法）要证，‎ 即证，‎ 即证.‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证.‎ 因为，所以成立.‎ 由上述分析可知成立.‎ 方法二、由2﹣＝，且﹣3＝，‎ 由2＜，＜3，可得＜+3，‎ 可得＞，即2﹣＞﹣3成立．‎ ‎【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用分析法和综合法，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题．‎ ‎20.某城市公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系，经过调查得到如下数据：‎ 间隔时间/分 ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 等候人数y/人 ‎23‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎29‎ ‎28‎ ‎31‎ 调查小组先从这组数据中选取组数据求线性回归方程，再用剩下的组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数的差，若差值的绝对值都不超过，则称所求方程是“恰当回归方程”．‎ ‎（1）从这组数据中随机选取组数据后，求剩下的组数据的间隔时间不相邻的概率；‎ ‎（2）若选取的是后面组数据，求关于的线性回归方程，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；‎ ‎（3）为了使等候的乘客不超过人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．‎ 附：对于一组数据，，……，，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.‎ ‎【答案】（1）；（2），见解析；（3）18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可；‎ ‎（2）首先求得回归方程，然后确定其是否为“恰当回归方程”即可；‎ ‎（3）结合（2）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间．‎ ‎【详解】（1）设“从这组数据中随机选取组数据后，剩下的组数据不相邻”为事件.‎ 记这六组数据分别为，，‎ 剩下的两组数据的基本事件有，共种，‎ 其中相邻的有共种，所以.‎ ‎（2）后面组数据是：‎ 间隔时间（分钟）‎ 等候人数（人）‎ 因为，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 当时，,；‎ 当时,,；‎ 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”.‎ ‎（3）由，得，故间隔时间最多可设置为分钟.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，求线性回归直线方程及其应用等知识，属于中档题．‎ ‎21.已知椭圆的离心率是，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，当直线垂直于轴时，．‎ ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）当变化时，在轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2），见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可得关于a，b，c的方程组，求出a，b，c即可求椭圆的方程；‎ ‎（2）设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系进行求解．‎ ‎【详解】（1）过点作斜率为的直线交椭圆于两点，当直线垂直于轴时，．‎ 得椭圆过点，得，‎ 解得，所以椭圆的方程为：.‎ ‎（2）设，的中点.‎ 由，得，‎ 所以，.‎ ‎①当时，线段的垂直平分线的方程为.‎ 令，得，即.‎ 若，则，那么；‎ 若，则，‎ ‎，所以或. ‎ ‎②当时，.‎ 综上所述，存在点满足条件，取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用设而不求的数学思想是解决本题的关键，属于中档题．‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）设，曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的最小值；‎ ‎（2）若只有一个零点，且，求取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2），或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，切线方程，可令，求得，再由二次函数的最值求法，可得所求；‎ ‎（2）若只有一个零点，且，可得，按，，分类讨论的单调性，得的极小值都大于，解不等式可得所求范围．‎ ‎【详解】（1）的导数为，‎ 在点处的切线斜率为，且，‎ 所以切线方程为 令，得，‎ 由，可得在上递增，可得的最小值为；‎ ‎（2）因为，令，可得或，‎ 当时，在，上递增，在上递减，‎ 且，，若只有一个零点，且，‎ 则，解得，所以；‎ 当时，在，上递增，在上递减，且，‎ 若只有一个零点，且，则，或，解得或；‎ 当时，，得在上递增，且，‎ 所以只有一个零点，且，满足题意.‎ 综上：，或.‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求函数的切线方程和单调性、极值，考查化简运算能力，分类讨论的思想，属于中档题．‎ ‎ ‎