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文档介绍
江苏高考数学试题和答案含理科附加
2013年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 参考公式: 样本数据的方差,其中。 棱锥的体积公式:,其中是锥体的底面积,为高。 棱柱的体积公式:,其中是柱体的底面积,为高。 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡的相应位置上。 1、函数的最小正周期为 ▲ 。 2、设 (为虚数单位),则复数的模为 ▲ 。 3、双曲线的两条渐近线的方程为 ▲ 。 4、集合{-1,0,1}共有 ▲ 个子集。 5、右图是一个算法的流程图,则输出的n的值是 ▲ 。 6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。 7、现有某类病毒记作为,其中正整数可以任意选取,则都取到奇数的概率为 ▲ 。 8、如图,在三棱柱A1B1C1 -ABC中,D、E、F分别为AB、AC、A A1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为,三棱柱A1B1C1 -ABC的体积为,则: = ▲ 。 9、抛物线在处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)。若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则的取值范围是 ▲ 。 10、设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且。若(、均为实数),则+的值为 ▲ 。 11、已知是定义在R上的奇函数。当时,,则不等式的解集用区间表示为 ▲ 。 12、在平面直角坐标系xoy中,椭圆C的方程为,右焦点为F,右准线为,短轴的一个端点为B。设原点到直线BF的距离为,F到的距离为。若,则椭圆C的离心率为 ▲ 。 13、在平面直角坐标系xoy中,设定点A(a,a),P是函数图象上的一动点。若点P、A之间的最短距离为,则满足条件的实数a的所有值为= ▲ 。 14、在正项等比数列中, ,则满足的最大正整数n的值为 ▲ 。 二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、(本小题满分14分) 已知向量。 (1)若,求证:; (2)设,若,求的值。 16、(本小题满分14分) 如图,在三棱锥S-ABC中,平面平面SBC,,AS=AB。过A作,垂足为F,点E、G分别为线段SA、SC的中点。 求证:(1)平面EFG//平面ABC; (2)。 17、(本小题满分14分) 如图,在平面直角坐标系xoy中,点A(0,3),直线,设圆C的半径为1,圆心在直线上。 (1)若圆心C也在直线上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; (2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标的取值范围。 18、(本小题满分16分) 如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C。 现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50米/分钟。在甲出发2分钟后,乙从A乘坐缆车到B,在B处停留1分钟后,再从B匀速步行到C。假设缆车速度为130米/分钟,山路AC的长为1260米,经测量,。 (1)求索道AB的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 19、(本小题满分16分) 设是首项为、公差为的等差数列,为其前项和。记,其中c为实数。 (1)若c=0,且成等比数列,证明: (2)若为等差数列,证明:c=0。 20、(本小题满分16分) 设函数,其中为实数。 (1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围; (2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论。 21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4 - 1:几何证明选讲](本小题满分10分) 如图,AB和BC分别与圆O相切于点D、C,AC经过圆心O,且BC=2OC。 求证:AC=2AD。 B.[选修4 - 2:矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵,求矩阵. C.[选修4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线C的参数方程为(为参数)。试求直线和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标。 D.[选修4 - 5:不等式选讲](本小题满分10分) 已知≥>0,求证:≥。 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分) 如图,在直三棱柱中,AB⊥AC,AB=AC=2,=4,点D是BC的中点。 (1)求异面直线与所成角的余弦值; (2)求平面与平面所成二面角的正弦值。 23.(本小题满分10分) 设数列:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…,,… 即当时,。记。 对于,定义集合=﹛|为的整数倍,且1≤≤} (1)求中元素个数; (2)求集合中元素个数。 参考答案 1.【答案】π 【解析】T=||=||=π. 2.【答案】5 【解析】z=3-4i,i2=-1,| z |==5. 3.【答案】 【解析】令:,得. 4.【答案】8 【解析】23=8. 5.【答案】3 【解析】n=1,a=2,a=4,n=2;a=10,n=3;a=28,n=4. 6.【答案】2 【解析】易得乙较为稳定,乙的平均值为:. 方差为:. 7. 【答案】 【解析】m取到奇数的有1,3,5,7共4种情况;n取到奇数的有1,3,5,7,9共5种情况,则都取到奇数的概率为. 8. 【答案】1:24 【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1:2,故体积之比为1:8.又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1:3.所以,三棱锥与三棱柱的体积之比为1:24. 9. 【答案】[—2,] 【解析】抛物线在处的切线易得为y=2x—1,令z=,y=—x+. 画出可行域如下,易得过点(0,—1)时,zmin=—2,过点(,0)时,zmax=. 10. 【答案】 【解析】 所以,,,. 11. 【答案】(﹣5,0) ∪(5,﹢∞) 【解析】做出 ()的图像,如下图所示。由于是定义在上的奇函数,利用奇函数图像关于原点对称做出x<0的图像。不等式,表示函数y=的图像在y=x的上方,观察图像易得:解集为(﹣5,0) ∪(5,﹢∞)。 12. 【答案】 【解析】如图,l:x=,=-c=,由等面积得:=。若,则=,整理得:,两边同除以:,得:,解之得:=,所以,离心率为:. 13. 【答案】1或 【解析】 14. 【答案】12 【解析】设正项等比数列首项为a1,公比为q,则:,得:a1=,q=2,an=26-n.记,.,则,化简得:,当时,.当n=12时,,当n=13时,,故nmax=12. 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解:(1)a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ), |a-b|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosα·cosβ+sinα·sinβ)=2, 所以,cosα·cosβ+sinα·sinβ=0, 所以,. (2),①2+②2得:cos(α-β)=-. 所以,α-β=,α=+β, 带入②得:sin(+β)+sinβ=cosβ+sinβ=sin(+β)=1, 所以,+β=. 所以,α=,β=. 16. 证:(1)因为SA=AB且AF⊥SB, 所以F为SB的中点. 又E,G分别为SA,SC的中点, 所以,EF∥AB,EG∥AC. 又AB∩AC=A,AB面SBC,AC面ABC, 所以,平面平面. (2)因为平面SAB⊥平面SBC,平面SAB∩平面SBC=BC, AF平面ASB,AF⊥SB. 所以,AF⊥平面SBC. 又BC平面SBC, 所以,AF⊥BC. 又AB⊥BC,AF∩AB=A, 所以,BC⊥平面SAB. 又SA平面SAB, 所以,. 17. 解:(1)联立:,得圆心为:C(3,2). 设切线为:, d=,得:. 故所求切线为:. (2)设点M(x,y),由,知:, 化简得:, 即:点M的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D. 又因为点在圆上,故圆C圆D的关系为相交或相切. 故:1≤|CD|≤3,其中. 解之得:0≤a≤. 18. 解:(1)如图作BD⊥CA于点D, 设BD=20k,则DC=25k,AD=48k, AB=52k,由AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m. (2)设乙出发x分钟后到达点M, 此时甲到达N点,如图所示. 则:AM=130x,AN=50(x+2), 由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000, 其中0≤x≤8,当x=(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时:=(min). 若甲等乙3分钟,则乙到C用时:+3= (min),在BC上用时: (min) . 此时乙的速度最小,且为:500÷=m/min. 若乙等甲3分钟,则乙到C用时:-3= (min),在BC上用时: (min) . 此时乙的速度最大,且为:500÷=m/min. 故乙步行的速度应控制在[,]范围内. 19. 证:(1)若,则,,. 当成等比数列,, 即:,得:,又,故. 由此:,,. 故:(). (2), . (※) 若是等差数列,则型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂, 故有:,即,而≠0, 故. 经检验,当时是等差数列. 20. 解:(1)≤0在上恒成立,则≥, . 故:≥1. , 若1≤≤e,则≥0在上恒成立, 此时,在上是单调增函数,无最小值,不合; 若>e,则在上是单调减函数,在上是单调增函数,,满足. 故的取值范围为:>e. (2)≥0在上恒成立,则≤ex, 故:≤. . (ⅰ)若0<≤,令>0得增区间为(0,); 令<0得减区间为(,﹢∞). 当x→0时,f(x)→﹣∞;当x→﹢∞时,f(x)→﹣∞; 当x=时,f()=﹣lna-1≥0,当且仅当=时取等号. 故:当=时,f(x)有1个零点;当0<<时,f(x)有2个零点. (ⅱ)若a=0,则f(x)=﹣lnx,易得f(x)有1个零点. (ⅲ)若a<0,则在上恒成立, 即:在上是单调增函数, 当x→0时,f(x)→﹣∞;当x→﹢∞时,f(x)→﹢∞. 此时,f(x)有1个零点. 综上所述:当=或a<0时,f(x)有1个零点;当0<<时,f(x)有2个零点.查看更多