江苏高考数学试题和答案含理科附加

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江苏高考数学试题和答案含理科附加

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)‎ 参考公式:‎ 样本数据的方差,其中。‎ 棱锥的体积公式:,其中是锥体的底面积,为高。‎ 棱柱的体积公式:,其中是柱体的底面积,为高。‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡的相应位置上。‎ ‎1、函数的最小正周期为 ▲ 。‎ ‎2、设 (为虚数单位),则复数的模为 ▲ 。‎ ‎3、双曲线的两条渐近线的方程为 ▲ 。‎ ‎4、集合{-1,0,1}共有 ▲ 个子集。‎ ‎5、右图是一个算法的流程图,则输出的n的值是 ▲ 。‎ ‎6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:‎ ‎ 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 ‎87‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎93‎ 乙 ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎92‎ 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。‎ ‎7、现有某类病毒记作为,其中正整数可以任意选取,则都取到奇数的概率为 ▲ 。‎ ‎8、如图,在三棱柱A1B1C1 -ABC中,D、E、F分别为AB、AC、A A1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为,三棱柱A1B1C1 -ABC的体积为,则:‎ ‎= ▲ 。‎ ‎9、抛物线在处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)。若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则的取值范围是 ▲ 。‎ ‎10、设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且。若(、均为实数),则+的值为 ▲ 。‎ ‎11、已知是定义在R上的奇函数。当时,,则不等式的解集用区间表示为 ▲ 。‎ ‎12、在平面直角坐标系xoy中,椭圆C的方程为,右焦点为F,右准线为,短轴的一个端点为B。设原点到直线BF的距离为,F到的距离为。若,则椭圆C的离心率为 ▲ 。‎ ‎13、在平面直角坐标系xoy中,设定点A(a,a),P是函数图象上的一动点。若点P、A之间的最短距离为,则满足条件的实数a的所有值为= ▲ 。‎ ‎14、在正项等比数列中, ,则满足的最大正整数n的值为 ▲ 。‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.‎ ‎15、(本小题满分14分)‎ 已知向量。‎ ‎(1)若,求证:;‎ ‎(2)设,若,求的值。‎ ‎16、(本小题满分14分)‎ 如图,在三棱锥S-ABC中,平面平面SBC,,AS=AB。过A作,垂足为F,点E、G分别为线段SA、SC的中点。‎ 求证:(1)平面EFG//平面ABC;‎ ‎(2)。‎ ‎17、(本小题满分14分)‎ 如图,在平面直角坐标系xoy中,点A(0,3),直线,设圆C的半径为1,圆心在直线上。‎ ‎(1)若圆心C也在直线上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;‎ ‎(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标的取值范围。‎ ‎18、(本小题满分16分)‎ 如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C。‎ 现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50米/分钟。在甲出发2分钟后,乙从A乘坐缆车到B,在B处停留1分钟后,再从B匀速步行到C。假设缆车速度为130米/分钟,山路AC的长为1260米,经测量,。‎ ‎(1)求索道AB的长;‎ ‎(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?‎ ‎(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?‎ ‎19、(本小题满分16分)‎ 设是首项为、公差为的等差数列,为其前项和。记,其中c为实数。‎ ‎(1)若c=0,且成等比数列,证明:‎ ‎(2)若为等差数列,证明:c=0。‎ ‎20、(本小题满分16分)‎ 设函数,其中为实数。‎ ‎(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;‎ ‎(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论。‎ ‎21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.[选修4 - 1:几何证明选讲](本小题满分10分)‎ 如图,AB和BC分别与圆O相切于点D、C,AC经过圆心O,且BC=2OC。‎ 求证:AC=2AD。‎ B.[选修4 - 2:矩阵与变换](本小题满分10分)‎ 已知矩阵,求矩阵.‎ C.[选修4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)‎ 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线C的参数方程为(为参数)。试求直线和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标。‎ D.[选修4 - 5:不等式选讲](本小题满分10分)‎ 已知≥>0,求证:≥。‎ ‎【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 如图,在直三棱柱中,AB⊥AC,AB=AC=2,=4,点D是BC的中点。‎ ‎(1)求异面直线与所成角的余弦值;‎ ‎(2)求平面与平面所成二面角的正弦值。‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 设数列:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…,,… ‎ 即当时,。记。‎ 对于,定义集合=﹛|为的整数倍,且1≤≤}‎ ‎(1)求中元素个数;‎ ‎(2)求集合中元素个数。‎ 参考答案 ‎1.【答案】π ‎【解析】T=||=||=π.‎ ‎2.【答案】5‎ ‎【解析】z=3-4i,i2=-1,| z |==5.‎ ‎3.【答案】‎ ‎【解析】令:,得.‎ ‎4.【答案】8‎ ‎【解析】23=8.‎ ‎5.【答案】3‎ ‎【解析】n=1,a=2,a=4,n=2;a=10,n=3;a=28,n=4.‎ ‎6.【答案】2‎ ‎【解析】易得乙较为稳定,乙的平均值为:.‎ 方差为:.‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】m取到奇数的有1,3,5,7共4种情况;n取到奇数的有1,3,5,7,9共5种情况,则都取到奇数的概率为.‎ ‎8.‎ ‎【答案】1:24‎ ‎【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1:2,故体积之比为1:8.又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1:3.所以,三棱锥与三棱柱的体积之比为1:24.‎ ‎9.‎ ‎【答案】[—2,]‎ ‎【解析】抛物线在处的切线易得为y=2x—1,令z=,y=—x+.‎ 画出可行域如下,易得过点(0,—1)时,zmin=—2,过点(,0)时,zmax=.‎ ‎10.‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 所以,,,.‎ ‎11.‎ ‎【答案】(﹣5,0) ∪(5,﹢∞)‎ ‎【解析】做出 ()的图像,如下图所示。由于是定义在上的奇函数,利用奇函数图像关于原点对称做出x<0的图像。不等式,表示函数y=的图像在y=x的上方,观察图像易得:解集为(﹣5,0) ∪(5,﹢∞)。‎ ‎12. 【答案】‎ ‎【解析】如图,l:x=,=-c=,由等面积得:=。若,则=,整理得:,两边同除以:,得:,解之得:=,所以,离心率为:.‎ ‎13.‎ ‎【答案】1或 ‎【解析】‎ ‎14.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】设正项等比数列首项为a1,公比为q,则:,得:a1=,q=2,an=26-n.记,.,则,化简得:,当时,.当n=12时,,当n=13时,,故nmax=12.‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.‎ 解:(1)a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),‎ ‎|a-b|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosα·cosβ+sinα·sinβ)=2,‎ 所以,cosα·cosβ+sinα·sinβ=0,‎ 所以,.‎ ‎(2),①2+②2得:cos(α-β)=-.‎ 所以,α-β=,α=+β,‎ 带入②得:sin(+β)+sinβ=cosβ+sinβ=sin(+β)=1,‎ 所以,+β=.‎ 所以,α=,β=.‎ ‎16.‎ 证:(1)因为SA=AB且AF⊥SB,‎ 所以F为SB的中点.‎ 又E,G分别为SA,SC的中点,‎ 所以,EF∥AB,EG∥AC.‎ 又AB∩AC=A,AB面SBC,AC面ABC,‎ 所以,平面平面.‎ ‎(2)因为平面SAB⊥平面SBC,平面SAB∩平面SBC=BC,‎ AF平面ASB,AF⊥SB.‎ 所以,AF⊥平面SBC.‎ 又BC平面SBC,‎ 所以,AF⊥BC.‎ 又AB⊥BC,AF∩AB=A,‎ 所以,BC⊥平面SAB.‎ 又SA平面SAB,‎ 所以,.‎ ‎17. 解:(1)联立:,得圆心为:C(3,2).‎ 设切线为:,‎ d=,得:.‎ 故所求切线为:.‎ ‎(2)设点M(x,y),由,知:,‎ 化简得:,‎ 即:点M的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D.‎ 又因为点在圆上,故圆C圆D的关系为相交或相切.‎ 故:1≤|CD|≤3,其中.‎ 解之得:0≤a≤.‎ ‎18.‎ 解:(1)如图作BD⊥CA于点D,‎ 设BD=20k,则DC=25k,AD=48k,‎ AB=52k,由AC=63k=1260m,‎ 知:AB=52k=1040m.‎ ‎(2)设乙出发x分钟后到达点M,‎ 此时甲到达N点,如图所示.‎ 则:AM=130x,AN=50(x+2),‎ 由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000,‎ 其中0≤x≤8,当x=(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.‎ ‎(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时:=(min).‎ 若甲等乙3分钟,则乙到C用时:+3= (min),在BC上用时: (min) .‎ 此时乙的速度最小,且为:500÷=m/min.‎ 若乙等甲3分钟,则乙到C用时:-3= (min),在BC上用时: (min) .‎ 此时乙的速度最大,且为:500÷=m/min.‎ 故乙步行的速度应控制在[,]范围内.‎ ‎19.‎ 证:(1)若,则,,.‎ 当成等比数列,,‎ 即:,得:,又,故.‎ 由此:,,.‎ 故:().‎ ‎(2), ‎ ‎. (※)‎ 若是等差数列,则型.‎ 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,‎ 故有:,即,而≠0,‎ 故.‎ 经检验,当时是等差数列.‎ ‎20.‎ 解:(1)≤0在上恒成立,则≥, .‎ 故:≥1.‎ ‎,‎ 若1≤≤e,则≥0在上恒成立,‎ 此时,在上是单调增函数,无最小值,不合;‎ 若>e,则在上是单调减函数,在上是单调增函数,,满足.‎ 故的取值范围为:>e.‎ ‎(2)≥0在上恒成立,则≤ex,‎ 故:≤.‎ ‎.‎ ‎(ⅰ)若0<≤,令>0得增区间为(0,);‎ 令<0得减区间为(,﹢∞).‎ 当x→0时,f(x)→﹣∞;当x→﹢∞时,f(x)→﹣∞;‎ 当x=时,f()=﹣lna-1≥0,当且仅当=时取等号.‎ 故:当=时,f(x)有1个零点;当0<<时,f(x)有2个零点.‎ ‎(ⅱ)若a=0,则f(x)=﹣lnx,易得f(x)有1个零点.‎ ‎(ⅲ)若a<0,则在上恒成立,‎ 即:在上是单调增函数,‎ 当x→0时,f(x)→﹣∞;当x→﹢∞时,f(x)→﹢∞.‎ 此时,f(x)有1个零点.‎ 综上所述:当=或a<0时,f(x)有1个零点;当0<<时,f(x)有2个零点.‎
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