九年级数学上册 231 图形的旋转教学 新版新人教版

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第二十三章 旋转 23.1 　图形的旋转 知识点一 知识点二 知识点三 知识点一 旋转的相关概念 把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度 , 叫做图形的旋转 , 点 O 叫做旋转中心 , 转动的角叫做旋转角 . 如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P' , 那么这两个点叫做这个旋转的对应点 . 知识点一 知识点二 知识点三 名师解读 : 可以这样理解和识别旋转的相关概念 : (1) 旋转中心 : 旋转中心可以是平面内的任意一点 . 注意 : 旋转中心是点 , 而不是直线 , 如生活中的开门、关门 , 虽然门转动了 , 但它是绕轴旋转一定的角度 , 所以它不属于我们要研究的绕定点旋转 . (2) 旋转角 : 因为经过旋转 , 图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度 , 所以任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角 . (3) 旋转方向 : 旋转方向通常是指顺时针旋转或逆时针旋转 . 这三个方面构成的旋转的三要素 , 三者缺一不可 . 知识点一 知识点二 知识点三 例 1 　 如图所示 , △ AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转得到 △ COD , 当 OA ⊥ OC 时 , 在这个旋转过程中 , 旋转中心是什么 ? 旋转角是多少度 ? 并指出各对对应点 . 分析 : 由于绕点 O 旋转 , 易确定点 O 为旋转中心 ; 由 OA ⊥ OC , 所以确定旋转角为 90 ° ; 有了旋转中心和旋转角 , 再根据旋转的三要素确定对应点 . 知识点一 知识点二 知识点三 解 : 旋转中心是点 O ; 旋转角是 ∠ AOC ( 或 ∠ BOD ), 等于 90 ° ; A 和 C , B 和 D 分别是对应点 , 点 O 的对应点是它本身 . 识别旋转中心、旋转方向、旋转角时 , 先确定旋转中心 , 再抓住图形的性质确定旋转方向和旋转角 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点二 旋转的性质 旋转的性质 :(1) 对应点到旋转中心的距离相等 ; (2) 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 ; (3) 旋转前、后的图形全等 . 名师解读 : 我们可以这样理解旋转的性质 : (1) 经过旋转 , 图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度 , 对应点的排列次序相同 ; (2) 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角 ; (3) 对应点到旋转中心的距离相等 ; (4) 对应线段相等 , 对应角相等 . 知识点一 知识点二 知识点三 例 2 　 如图 , 将 △ ABC 绕点 A 旋转到 △ AB 1 C 1 , 下列说法正确的个数有 ( 　　 ) (1) AC=AB ;(2) BC=B 1 C 1 ;(3) ∠ BAC= ∠ B 1 AC 1 ;(4) ∠ CAC 1 = ∠ BAB 1 . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析 : 根据旋转的性质 , 可知 AC=AC 1 , 故 (1) 错误 ; BC=B 1 C 1 , 故 (2) 正确 ; ∠ BAC= ∠ B 1 AC 1 , 故 (3) 正确 ; 在 (3) 的基础上 , 结合等式的性质 , 得 ∠ CAC 1 = ∠ BAB 1 , 故 (4) 正确 . 答案 : C 知识点一 知识点二 知识点三 解答这类问题 , 抓住旋转前后的两个图形是全等形是关键 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点三 旋转作图 进行旋转作图时可按照下列步骤进行 : (1) 在已知图形上找一些关键点 ( 如三角形的三个顶点 ) . (2) 作出这些关键点的对应点 , 对应点的作法是 : ① 将各关键点与旋转中心连接 ; ② 以旋转中心为顶点 , 以上述连线为一边 , 向旋转方向作角 , 使这些角都等于旋转角 , 且使另一边的长度都等于关键点到旋转中心的长度 , 则这些 “ 另一边的端点就是对应点 ” . (3) 顺次连接这些对应点 . 知识点一 知识点二 知识点三 名师解读 : 根据旋转的性质可知 , 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 , 对应线段相等 , 由此可以通过作相等的角 , 在角的边上截取相等的线段的方法 , 找到对应点 , 顺次连接得出旋转后的图形 . 知识点一 知识点二 知识点三 例 3 　 如图 , △ ABC 绕 O 点旋转后 , 顶点 B 的对应点为 E , 试确定顶点 A , C 旋转后对应点位置 , 以及旋转后的三角形位置 . 分析 : 连接 BO , OE , 则 ∠ BOE 就是旋转角 , 点 E 就是 B 点旋转后的对应点 , 作 ∠ BOE= ∠ AOF , 且 OF=OA , 点 F 就是 A 点旋转后的对应点 , 则按照此方法可找到 C 的对应点 G. 顺次连接各点 , 即可得到旋转后的三角形 . 知识点一 知识点二 知识点三 解 : 如图所示 . 知识点一 知识点二 知识点三 作一个图形的旋转后的图形 , 先确定旋转中心和旋转角 , 然后分别作出各个关键点 ( 如 : 线段的端点、三角形和四边形的顶点、图形的拐点、公共点等 ) 的对应点 , 最后按照原有顺序连接各点即可 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一 旋转性质的运用 例 1 　 下列图中 , 已知等边三角形 ABC 和等边三角形 DBC 有公共的底边 BC. (1) 以图 1 中的某个点为旋转中心 , 旋转 △ DBC , 使它与 △ ABC 重合 , 则旋转中心有哪些点 ?( 写出所有满足条件的点 ) (2) 如图 2, 已知 B 1 是 BC 的中点 , 现沿着由 B 到 B 1 的方向 , 将 △ DBC 平移到 △ D 1 B 1 C 1 的位置 , 如图 3, 连接 AC 1 , BD 1 得到的四边形 ABD 1 C 1 是什么特殊四边形 ? 说明你的理由 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 分析 : (1) 根据等边三角形的性质 , 得到四边形 ABDC 是菱形 , 从而再根据菱形是中心对称图形 , 得到旋转中心有 B 点、 C 点、 BC 的中点 ; (2) 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断 . 解 : (1) ∵ 等边三角形 ABC 和等边三角形 DBC 有公共的底边 BC , ∴ AB=AC=CD=BD , ∴ 四边形 ABDC 是菱形 . ∴ 要旋转 △ DBC , 使 △ DBC 与 △ ABC 重合 , 旋转中心有三点 , 分别为 : B 点、 C 点、 BC 的中点 . (2) 四边形 ABD 1 C 1 是平行四边形 . 理由如下 : 根据平移的性质 , 得到 BB 1 =CC 1 , 根据等边三角形的性质 , 得到 AC=B 1 D 1 , ∠ BB 1 D 1 = ∠ ACC 1 , ∴ △ BB 1 D 1 ≌ △ C 1 CA , ∴ AC 1 =BD 1 , 又 AB=C 1 D 1 , ∴ 四边形 ABD 1 C 1 是平行四边形 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解答这类问题 , 在理解旋转的性质的基础上 , 抓住旋转前后图形中的 “ 变 ” 与 “ 不变 ” , 然后与其他相关知识结合 , 进行综合分析 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点二 坐标系中的旋转作图 例 2 　 △ ABC 三个顶点 A , B , C 在平面直角坐标系中位置如图所示 . (1) 将 △ ABC 向右平移 3 个单位 , 画出平移后的 △ A 1 B 1 C 1 ; (2) 将 △ ABC 绕 C 点顺时针旋转 90 ° , 画出旋转后的 △ A 2 B 2 C , 并写出 A 2 的坐标 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 分析 : (1) 把 △ ABC 的各顶点向右平移 3 个单位长度 , 顺次连接得到的各点即为平移后的三角形 ; (2) 以点 C 为旋转中心 , 把 A , B 两点顺时针旋转 90 ° , 得点 A 2 , B 2 , 顺次连接点 A 2 , B 2 , C 即可得到旋转后的图形 , 根据点 A 2 所在象限及距离原点的水平距离和竖直距离可得相应坐标 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解 : (1) 如图所示 . (2) 如图所示 , 从图形可得 A 2 的坐标为 (8,3) . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 图形的平移或旋转要归结为图形关键点 ( 顶点 ) 的平移或旋转 , 在坐标系中的平移和旋转 , 只需在坐标系或网格中 , 利用坐标系或网格的特点 , 作出这些关键点的对应点 , 按照原有的顺序连接即可 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点三 与旋转有关的综合题 例 3 　 如图 , 在正方形 ABCD 中作 ∠ EAF= 45 ° , 分别交边 BC , CD 于点 E , F ( 不与顶点重合 ), 把 △ ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 ° , 落在 △ ADG 的位置 . (1) 请你在图中画出 △ ADG ( 不写作法 ); (2) 试说明线段 BE , DF 与 EF 之间存在怎样的数量关系 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 分析 : (1) 过 A 作 AE 的垂线 , 与 CD 的延长线的交点就是 G , 据此即可作出 ; (2) 根据旋转的性质可以得到 △ ADG ≌ △ ABE , 则 GF=BE+DF , 只要再证明 △ AFG ≌ △ AFE 即可 . 解 : (1) 作图如下 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 (2) BE+DF=EF. 证明 : ∵ △ ADG ≌ △ ABE , ∴ AG=AE , ∠ DAG= ∠ BAE , DG=BE. 又 ∵ ∠ EAF= 45 ° , 即 ∠ DAF+ ∠ BAE= ∠ EAF= 45 ° , ∴ ∠ GAF= ∠ FAE. ∴ △ AFG ≌ △ AFE (SAS) . ∴ GF=EF. 又 ∵ DG=BE , ∴ GF=BE+DF , ∴ BE+DF=EF. 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解答这类问题 , 可以在画好图形后利用测量的方法进行初步的推测 , 然后分析图形的变化 , 找出图形中的全等形 , 最后验证并推出所发现的结论 .