数学理卷·2017届广西陆川县中学高三5月模拟考试（2017

数学理卷·2017届广西陆川县中学高三5月模拟考试（2017

广西陆川县中学2017年春季期高三5月模拟考试卷 理科数学试题 ‎ 第I卷(选择题，共60分）‎ 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合，则( )‎ ‎． ． ． ．‎ ‎2.已知复数满足，则复数的共轭复数为( ) ‎ ‎． ． ． ．‎ ‎3.命题“”的否定是( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) ‎ ‎ ‎ ‎5.已知的展开式中( )‎ ‎ ‎ ‎6、，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则 实数的值为（ ）‎ ‎(A)或 （B）或 （C）或 （D）．或 ‎7、已知向量==,若,则的最小值为（ ）‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D)  ‎ ‎8、已知的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（ ）‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎9、已知双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎10、如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别 为A(0,—1)，B(,—1)，C(,1)，D(0,1)，‎ 正弦曲线f(x)=和余弦曲线g(x)=‎ 在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内 随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率 是( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎11、设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)1‎ ‎12、定义域为的偶函数满足对于任意的,有,且当 时,,若函数在上至少有三个零点,则的取值范围是（ ） ‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ 第II卷(非选择题，共90分）‎ 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13、已知抛物线的准线方程是，则 .‎ ‎14、等比数列中，----------.‎ ‎15、的展开式中项的系数等于 .(用数值作答)‎ ‎16、已知函数，若实数互不相等，且满足，则的取值范围是 .‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ 17、 ‎（本题满分12分）设函数，其中向量，，.‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期与单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）在△中，、、分别是角、、的对边，已知，，‎ ‎△的面积为，求的值.‎ ‎ ‎ ‎18、（本小题满分12分）如图，三角形和梯形所在的平面互相垂直， ‎ ‎，,∥且，是线段上一点 ，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求证：‖；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）是否存在点,满足？并说明理由。 ‎ ‎ ‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：,,，，．‎ ‎（Ⅰ）从中任意拿取张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；‎ ‎（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．‎ ‎ ‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ 已知是圆上的动点，在轴上的射影为，点满足，当在圆上运动时，点的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）经过点的直线与曲线相交于点，并且，求直线的方程.‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ 设函数, . ‎ ‎（Ⅰ）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，若函数在上恰有两个不同零点，求实数 的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）是否存在实数，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 ‎ ‎ ‎22、（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线的参数方程为为参数，，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（I）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）设点的直角坐标为，直线与曲线相交于、两点，并且，求的值. ‎ ‎23、（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时，求函数的定义域；‎ ‎(Ⅱ)若关于的不等式≥的解集是R，求实数的最大值．‎ ‎．‎ ‎ 理科数学试题参考答案及评分标准 一、 选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A C B D D D A C B C B 二、 填空题：‎ ‎13.1 14.135‎ ‎15.280‎ ‎16. ‎ 三、 解答题：‎ ‎17. （1）‎ ‎ ‎ ‎∴函数的最小正周期 ‎ 令，解得 ‎∴函数的单调递减区间是 ‎ ‎（2）由，得，即 在△中，∵，∴，得 ‎ 又∵，∴‎ ‎∴由余弦定理得：，∴ ‎ 由，得， ‎ ‎∴ ‎ ‎18.解：（1）取中点，连接， 又，所以.‎ 因为，所以, 四边形是平行四边形， 所以 因为平面，平面，所以平面. ‎ ‎（2）因为平面平面，平面平面=， ‎ 且，所以平面，‎ 所以， ‎ 因为，所以平面.‎ 如图，以为原点，建立空间直角坐标系.‎ 则， ‎ ‎ 是平面的一个法向量.‎ 设平面的法向量，‎ 则，即 令，则，所以, ‎ 所以， 故二面角的余弦值为。 ‎ ‎（3）因为，所以与不垂直, ‎ 所以不存在点满足平面. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．解：（Ⅰ）为奇函数；为偶函数；为偶函数；为奇函数；为偶函数; 为奇函数.‎ ‎ 所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；‎ 另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;故基本事件总数为 ‎ .‎ 满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为 故所求概率为,‎ ‎（Ⅱ）可取1，2，3，4． ，‎ ‎ ；‎ ‎ 故的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ 的数学期望为 ‎ ‎ ‎20、【解析】（I）设，则在圆上，所以，即………..4分 ‎（II）经检验，当直线轴时，题目条件不成立，所以直线存在斜率.设直线.设，则.………6分 ‎，得.‎ ‎….①，……②. ……………8分 又由，得，将它代入①，②得，（满足）.‎ 所以直线的斜率为.所以直线的方程为………………12分 ‎21、解：(1)由,可得 即 记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.‎ 求得 ‎ 当时;;当时，‎ 故在x=e处取得极小值，也是最小值，‎ 即，故. ‎ ‎(2)函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，‎ 在［1,3］上恰有两个相异实根。‎ 令g(x)=x-2lnx,则 当时，,当时，‎ g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。‎ 故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3‎ ‎∵g(1)>g(3),∴只需g(2)0，解得x>或x<-（舍去）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23.【解析】（1）当时，将，，代入，得. 经检验，极点的直角坐标也满足此式.‎ 所以曲线的直角坐标方程为……………………………………………5分 ‎（II）将代入，得，‎ 所以，…………………………………………………………8分 所以，或，即或.…………10分 ‎24.【解析】【解】：(Ⅰ)解：由题设知：， ‎ ‎ ① 当时，得，解得. ‎ ‎ ② 当时,得,无解. ‎ ‎③ 当时,得, 解得. ‎ ‎∴函数的定义域为. ‎ ‎(Ⅱ)解：不等式，即， ‎ ‎∵R时，恒有，‎ 又不等式解集是R， ‎ ‎∴，即. ‎ ‎∴的最大值为. ‎