2020届高三数学（文）“大题精练”2

2020届高三数学（文）“大题精练”2

‎2020届高三数学（文）“大题精练”2‎ ‎17.已知等比数列的各项均为正数，为等比数列的前项和，若，.‎ ‎(1)恒成立，求的最小值； (2)设，求数列的前项和.‎ ‎18.为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；‎ ‎（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？‎ 优秀 非优秀 合计 男生 ‎40‎ 女生 ‎50‎ 第 9 页 共 9 页 合计 ‎100‎ 参考公式及数据：  ‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19.如图，在三棱锥中，，，为的中点．‎ ‎ （1）证明：平面；‎ ‎ （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．‎ ‎20.已知椭圆：的左右顶点分别为，，点是椭圆上异于、的任意一点，设直线，的斜率分别为、，且，椭圆的焦距长为4.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，分别记，的面积 第 9 页 共 9 页 为、，求的值.‎ ‎21．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）判断曲线与曲线的位置关系；（2）设点为曲线上任意一点，求的最大值.‎ ‎22．已知实数正数x, y满足．‎ ‎（1）解关于x的不等式； （2）证明：‎ 第 9 页 共 9 页 ‎2020届高三数学（文）“大题精练”2（答案解析）‎ ‎17.已知等比数列的各项均为正数，为等比数列的前项和，若，.‎ ‎(1)恒成立，求的最小值； (2)设，求数列的前项和.‎ ‎【解】(1)因为为等比数列，所以，所以，，所以，‎ 又，所以，所以，‎ 因为恒成立，所以，即的最小值是3.‎ ‎(2)由(1)可知，所以，‎ 故 ①‎ ‎ ②‎ ① ‎-②得：，‎ 整理得，‎ ‎18.为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求的值；‎ 第 9 页 共 9 页 ‎（2）估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；‎ ‎（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？‎ 优秀 非优秀 合计 男生 ‎40‎ 女生 ‎50‎ 合计 ‎100‎ 参考公式及数据：  ‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【解】（1）由题可得 ，解得．‎ ‎（2）平均成绩为：‎ ‎（3）由（2）知，在抽取的名学生中，比赛成绩优秀的有人，由此可得完整的列联表：‎ 优秀 非优秀 合计 男生 女生 第 9 页 共 9 页 合计 ‎∵的观测值， ‎ ‎∴没有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．‎ ‎19.如图，在三棱锥中，，，为的中点．‎ ‎ （1）证明：平面；‎ ‎ （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．‎ ‎【解】（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．‎ 连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．‎ 由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．‎ ‎（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．‎ 故CH的长为点C到平面POM的距离．‎ 由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．‎ 所以OM=，CH==．‎ 所以点C到平面POM的距离为．‎ ‎20.已知椭圆：的左右顶点分别为，，点是椭圆上异于、‎ 第 9 页 共 9 页 的任意一点，设直线，的斜率分别为、，且，椭圆的焦距长为4.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，分别记，的面积 为、，求的值.‎ ‎【解】（1）设点，则，①∵，②‎ ‎∴联立①②得，∴，∴，∴.‎ ‎（2）由题意知，，即，由（1）知，，∴，‎ ‎∴，，∴椭圆的方程为：，由已知得：.‎ 联立，可得.设，，根据韦达定理，得，‎ 于是.‎ ‎21.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）判断曲线与曲线的位置关系；‎ ‎（2）设点为曲线上任意一点，求的最大值.‎ 第 9 页 共 9 页 ‎【解】（1）消去得的普通方程为，由得，‎ ‎∴，即，化为标准方程为，‎ 即曲线是以为圆心，半径为1的圆，圆心到直线的距离，故曲线与曲线相交.‎ ‎（2）由为曲线上任意一点，可设，‎ 则，其中，‎ ‎∴的最大值是.‎ ‎22.已知实数正数x, y满足．‎ ‎（1）解关于x的不等式； （2）证明：‎ ‎【解】（1）‎ ‎，解得，所以不等式的解集为 ‎ 第 9 页 共 9 页 ‎（2）解法1： 且， ‎ ‎ . ‎ 当且仅当时，等号成立. ‎ 解法2： 且，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 第 9 页 共 9 页