2018-2019学年江西省吉安市几所重点中学高二上学期联考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年江西省吉安市几所重点中学高二上学期联考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 江西省吉安市几所重点中学2018-2019学年高二上学期联考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线方程求得直线斜率进而可得倾斜角.‎ ‎【详解】‎ 由直线，即直线 可知斜率为：，所以倾斜角为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的斜率和倾斜角，属于基础题.‎ ‎2．命题“，使得”的否定是（ ）‎ A． ，都有 B．，都有 C．，都有 D．，都有 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据含有量词的命题的否定可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由于特称命题的否定为全称命题，‎ 所以“，使得”的否定为“，都有”．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 对于含有量词的命题的否定要注意两点：一是要改换量词，即把全称（特称）量词改为特称（全称）量词；二是注意要把命题进行否定．‎ ‎3．设是两不同的直线，α，β是两不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A．若α⊥β，α∩β=，，则 B．若， ，，则α∥β C．若∥α，∥β，，则α⊥β D．若⊥α，⊥β， ⊥β，则⊥α ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中线面关系、面面关系的判定及性质定理对四个结论逐一进行判断．‎ ‎【详解】‎ 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：‎ 若α⊥β，α∩β=n，m⊥n时，m与α可能垂直，也可能不垂直，不一定垂直，故A不正确 若m⊂α,n⊂β,m∥n时，α与β可能平行或相交；，故B不正确 若m∥α,n∥β，m⊥n时，α与β不一定垂直，故C错误 n⊥α，n⊥β时，则必有：，所以当m⊥β有m⊥α，故D一定成立，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中直线与平面、平面与平面之间位置关系的判定，属于中档题.‎ ‎4．与圆关于直线成轴对称的圆的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆方程化为的标准方程形式，可得圆心为（2，-1）且半径等于1．利用轴对称的知识，解出（2，-1）关于直线x-y+3=0 的对称点为（-4，5），即可得到对称圆的标准方程，再化成一般方程可得本题答案．‎ ‎【详解】‎ 将圆化成标准方程，得(x−2)2+(y+1)2=1，表示圆心在(2,−1)，半径等于1的圆.‎ 因此，可设对称圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=1‎ 可得，解之得，‎ 即点(2,−1)关于直线x−y+3=0对称的点的坐标为(−4,5)，‎ ‎∴与圆关于直线x−y+3=0成轴对称的圆方程是(x+4)2+(y−5)2=1，‎ 整理成一般式为：.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 在求一个点关于直线的对称点时，可以根据以下两个条件列方程：‎ ‎（1）两点的中点在对称直线上；‎ ‎（2）两点连线的斜率与对称直线垂直.‎ ‎5．过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线的点斜式方程可得直线的方程，由点到直线的距离可得圆心到直线的距离,结合勾股定理，即可得结论.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，设过点且倾斜角为的直线为 ,‎ 其方程为,即,变形可得，‎ 圆 的圆心为，半径 ,‎ 设直线与圆交于点,‎ 圆心到直线的距离,‎ 则，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆的位置关系以及直线的点斜式方程，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.‎ ‎6．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是（　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出直观图，计算三棱锥四个面的面积，由此求得面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ 画出直观图如下图所示，计算各面的面积为,,,故最大面积为，所以选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三视图还原为原图，并求原图各个面的面积，由于题目所给垂直较多，故只需要代入直角三角形面积公式，即可计算得到结果，属于基础题.‎ ‎7．是直线与直线平行的 （ ）‎ A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断 ‎【详解】‎ 当m=4，则两直线方程分别为：4x+8y+3=0，2x+4y+3=0，满足直线平行，‎ 当m=0时，直线方程分别为：， ，两直线不平行；‎ 当3m - 4=0，即时，直线方程分别为： ，2x+y+3=0，两直线不平行； ‎ 由直线与直线平行，可知两直线斜率相等，‎ 即 ，解得m=2或m=4；‎ 当m=2时，两直线重合，故“”是“直线与直线平行”的充要条件.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 考查存在斜率的两直线平行的充要条件，根据直线方程求直线斜率，以及充分条件，必要条件，充分不必要条件的概念,注意求出m 值后，代入直线方程，验证两直线是否重合，直线平行不包括直线重合这一情况.‎ ‎8．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是(　　)‎ A．y＝1 B．2x＋y－1＝0‎ C．y＝1或2x＋y－1＝0 D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵kAB＝，过P与AB平行的直线方程为y－1＝－2(x－0)，即：2x＋y－1＝0；又AB的中点C(4,1)，∴PC的方程为y＝1.选C.‎ ‎9．不等式组的解集记为D， ，有下面四个命题：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中的真命题是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数表示平面区域内的点与点之间连线的斜率，‎ 则，‎ 即实数的取值范围是，‎ 据此可得命题是假命题，是真命题，‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．‎ ‎(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．‎ ‎10．直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． 或 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知曲线，即表示一个再y轴右侧的单位圆的一半，再利用数形结合找到两图象只有一个公共点时b的范围即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知曲线，即表示一个再y轴右侧的单位圆的一半，如图所示.‎ 当直线经过(0,1)时，；‎ 当直线经过(0,-1)时，；‎ 当直线与半圆相切时，有：，解得或（舍）.‎ 由图可知，直线与曲线有且只有一个交点时， .‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系，利用了数形结合的思想，属于中档题.‎ ‎11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到一种名为 “刍甍”的五面体，如图所示，四边形是矩形，棱， ， ， 和都是边长为的等边三角形，则这个几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 过作⊥平面，垂足为，过作⊥平面，垂足为，过作∥，交于，交于，过信∥，交于，交于，如图所示：‎ ‎∵四边形是矩形，棱，，，和都是边长为的等边三角形 ‎∴四边形是边长为的正方形，‎ ‎∴这个几何体的体积为 故选C.‎ ‎12．若圆上至少有三个不同的点到直线 的距离为,则直线 的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 画图知道圆的半径为 ，要想圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，需要求圆心到直线的距离的范围为 ，‎ 代入公式得 ，化简为 ，等式两边同除 ‎ 得到 . 直线的斜率为 ，结合 的图像得到.‎ 故选D.‎ 点睛：先由数形结合得到，有三个交点时直线的变化范围，得到圆心到直线的距离的范围为，转化为圆心到直线的距离，得到，而直线的斜率为 因此，在解方程时用到了同除，得到，最终再结合正切的图像得到结果.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知命题：对任意，，若是真命题，则实数的取值范围是___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用均值不等式求出命题为真时的的范围为，从而求出为假时的的范围为其补集即可．‎ ‎【详解】‎ 关于命题：对任意，， 为真时：，而，∴，‎ 若是真命题，则是假命题，∴ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题的否定，即将命题的结论否定得到命题的否定，考查基本不等式的性质，是一道基础题．‎ ‎14．空间四个点在同一个球面上，两两垂直，，则球的表面积为_____。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知三棱锥P-ABC是长方体的一个角，该长方体的对角线的长就是经过P、A、B、C四点的球的直径，利用长方体对角线长公式算出球的直径，从而得到球的半径，再由球的表面积公式加以计算，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，可知三棱锥P-ABC是长方体的一个角，该长方体的外接球就是经过P，A，B，C四点的球 ∵PA=3，PB=4，PC=5， ∴长方体的对角线的长为 ‎ ， 即外接球的直径2R=13，可得 因此，外接球的表面积为 ‎ 故答案为：169π ‎【点睛】‎ 本题给出三条侧棱两两垂直的三棱锥，求它的外接球的表面积．着重考查了长方体对角线公式、球内接多面体和球的表面积公式等知识，属于基础题．‎ ‎15．若直线l过（1,4），在两坐标轴上的截距相等，则直线l直线的方程是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线l在两坐标轴上的截距相等，就是说过原点和不过原点两种，不过原点的斜率为﹣1．‎ ‎【详解】‎ 直线在两坐标轴上的截距相等，当直线过原点时，直线方程为y=kx，其中，所以直线为4x-y=0；‎ 当直线不过原点时：直线斜率为k=﹣1，所求直线方程为y-4=﹣1（x﹣1），即x+y-5=0‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求直线的方程时，考虑一定要全面，本题要用到直线的截距式方程，所以要考虑直线的截距相等且为零的情况，否则就漏解了.‎ ‎16．如图，在正方体中，点是棱 上的一个动点，平面交棱于点．下列命题正确的为_______. ‎ ‎①存在点，使得//平面； ‎ ‎②对于任意的点，平面平面；‎ ‎③存在点，使得平面；‎ ‎④对于任意的点，四棱锥的体积均不变．‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ ‎①为棱上的中点时，此时也为棱 上的中点，此时；满足//平面，∴①正确．‎ ‎②平面，∴不可能存在点，使得 ，∴②错误． ③连结 则平面，而平面，∴平面平面，成立，∴③正确． ④四棱锥B1-BED1F的体积等于 设正方体的棱长为1， ∵无论在何点，三角形的面积为 为定值，三棱锥的高 ‎，保持不变．三角形的面积为为定值，三棱锥的高为，保持不变． ∴三棱锥和三棱锥体积为定值， 即四棱锥的体积等于 为定值，∴④正确． 故答案为：①③④‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知命题： ，命题q:若是q的充分不必要条件，求的取值范围 。‎ ‎【答案】0＜a≤3．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：首先解一元二次不等式得到命题p,q的范围，由p是q的充分不必要条件可得关于a的不等式，从而求解其范围 试题解析：由已知p：x＞10或x＜－2，‎ 记A＝{x|x＜－2，或x＞10}．‎ q：x≤1－a或x≥1＋a，‎ 记B＝{x|x≤1－a，或x≥1＋a}(a＞0)．‎ ‎∵p是q的充分不必要条件，‎ ‎∴AB，∴解得0＜a≤3．‎ ‎∴所求a的取值范围为0＜a≤3．‎ 考点：1.一元二次不等式解法；2.充分条件与必要条件 ‎18．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形， ，底面， ，为的中点， 为的中点．‎ ‎ ‎ ‎(1)证明：直线平面 ；‎ ‎(2)求异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取 中点，连接，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，进而证得平面 ‎ ‎（2）根据异面直线所成钝角的定义，得到为异面直线与所成的角，进而可求解异面直线所成的角.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）取 中点，连接∵ ‎ 又∵,∴平面平面，∴平面 ‎ ‎（注：也可利用线面平行的判定定理证明）‎ ‎（2）∵,∴为异面直线与所成的角（或其补角）‎ 由题易得为等边三角形，又∵平面，∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴在等腰中， ‎ 所以AB与MD所成角的余弦值大小为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了异面直线所成角的求解，以及面面垂直的判定与性质的应用，其中解答中熟记面面垂直的判定定理和性质定理，以及异面直线所成的角的概念是解答的关键，同时准确认识几何体的结构特征是解答的基础，着重考查了推理与论证能力，以及数形结合思想的应用.‎ ‎19．设：函数的定义域为，，使得不等式成立，如果“或”为真命题，“ 且”为假，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出命题p,q分别为真命题时的取值范围，由“p或q”为真命题，“p且q”为假可得p，q一真一假，然后根据分类讨论可得所求的范围．‎ ‎【详解】‎ 若命题p为真，即恒成立，‎ 则有，解得．‎ 令，且，，‎ 所以函数在上单调递减，‎ 所以，即，‎ 所以的值域为，‎ 若命题q为真，即，使得成立，‎ 则． ‎ 由命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，可知p，q一真一假， ‎ ‎①当p为真命题，q为假命题时，‎ 则有，不等式组无解．‎ ‎②当p为假命题q为真命题时，‎ 则有，解得．‎ 综上可得．‎ 所以实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．‎ ‎20．如图所示，在棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，底面是菱形，且，为的中点，二面角为.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接，利用等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理可证明，再证明即可（2）利用平面可得是二面角的平面角，即，再利用菱形的性质和三垂线定理及其逆定理可证是二面角的平面角，求出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：取的中点，连接，．‎ ‎∵侧面是边长为的正三角形，．‎ ‎∵底面是菱形，且，∴也是边长为的正三角形，‎ ‎∴．又∵，∴平面，∴．‎ 在中，，为的中点，∴，‎ 又，∴平面．‎ ‎（2）∵平面，∴是二面角的平面角，∴．‎ 又∵底面是菱形，∴，∴平面，∴，．‎ 又∵平面平面，‎ ‎∴是二面角的平面角． ∵，，∴，∴，∴．‎ ‎∴ 二面角的大小为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理，菱形的性质和三垂线定理及其逆定理，二面角的作法和求值，属于难题.‎ ‎21．已知方程.‎ ‎（Ⅰ）若此方程表示圆，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ)若（Ⅰ）中的圆与直线相交于 两点，且（为坐标原点），求；‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 解：（1）方程变形为 ‎∵此方程表示圆 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）由消去得 设，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 又∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎22．设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求圆的方程；‎ ‎（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论。‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）过定点，证明见解析。‎ ‎【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。‎ ‎（1）‎ ‎（2）设所求圆的方程为。‎ 令得 又时，从而。‎ 所以圆的方程为。‎ ‎（3）整理为，过曲线 与的交点，即过定点与。‎