2020年高中数学第二章对数函数及其性质的应用
1
第 2 课时 对数函数及其性质的应用
[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．设 a＝log54，b＝log53，c＝log45，则( )
A．a
log44＝1，
∴log530，
∴logax 是减函数，∴Error!得
1
20 且 a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则 f(a＋1)与 f(2)的大小
关系为( )
A．f(a＋1)＝f(2) B.f(a＋1)>f(2)
C．f(a＋1)f(2)．
2
答案：B
5．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设 a＝f(－ 3)，b＝f(log3
1
2)，c＝f (4
3 )，则 a、b、c 的大小关系是( )
A．a＜c＜b B.b＜a＜c
C．b＜c＜a D．c＜b＜a
解析：a＝f(－ 3)＝f( 3)，b＝f(log3
1
2)＝f(log32)，c＝f (4
3 ).
∵0＜log32＜1,1＜
4
3＜ 3，∴ 3＞
4
3＞log32.
∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴a＞c＞b.
答案：C
6．已知 log0.45(x＋2)＞log0.45(1－x)，则实数 x 的取值范围是________．
解析：原不等式等价于Error!解得－2＜x＜－
1
2.
答案：(－2，－
1
2)
7．若实数 a 满足 loga2>1，则实数 a 的取值范围是________．
解析：当 a>1 时，loga2>1＝logaa.
∴2>a.∴10，所以 x＋1<2－2x<10x＋10，
解得－
2
3ln e，∴x>1.
∵y＝log52
1
4＝
1
2，∴
1
2b>1,0b>1,0bc，选项 A 不正确．
∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数，
∴当 a>b>1,0bac，选项 B 不正确．
∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，∴alg a>blg b>0.
1
2
−
4
∴
a
lg b>
b
lg a.又∵0logbc，选项 D 不正确．
答案：C
3．已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且 f (1
2 )＝0，则不等式
f(log4x)＜0 的解集是________．
解析：由题意可知，f(log4x)＜0⇔－
1
2＜log4x＜
1
2⇔log44 ＜log4x＜log44 ⇔
1
2＜
x＜2.
答案：{x|
1
2＜x＜2}
4．已知 f(x)＝Error!是 R 上的增函数，求 a 的取值范围．
解析：f(x)是 R 上的增函数，则当 x≥1 时，y＝logax 是增函数，∴a＞1.
又当 x＜1 时，函数 y＝(6－a)x－4a 是增函数．∴6－a＞0，∴a＜6.
又(6－a)×1－4a≤loga1，得 a≥
6
5.
∴
6
5≤a＜6.
5．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 x≤0 时，f(x)＝log (－x＋1)．
(1)求 f(0)，f(1)；
(2)求函数 f(x)的解析式；
(3)若 f(a－1)<－1，求实数 a 的取值范围．
解析：(1)因为当 x≤0 时，f(x)＝log (－x＋1)，所以 f(0)＝0.
又函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以
f(1)＝f(－1)＝log [－(－1)＋1]＝log 2＝－1，即 f(1)＝－1.
(2)令 x>0，则－x<0，
从而 f(－x)＝log (x＋1)＝f(x)，
∴x>0 时，f(x)＝log (x＋1)．
∴函数 f(x)的解析式为
1
2
− 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
5
(3)设 x1，x2 是任意两个值，且 x1－x2≥0，
∴1－x1>1－x2>0.
∵f(x2)－f(x1)＝log (－x2＋1)－log (－x1＋1)＝log
1－x2
1－x1>log 1＝0，
∴f(x2)>f(x1)，
∴f(x)＝log (－x＋1)在(－∞，0]上为增函数．
又 f(x)是定义在 R 上的偶函数，
∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
∵f(a－1)<－1＝f(1)，∴|a－1|>1，解得 a>2 或 a<0.
故实数 a 的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
6．已知函数 f(x)＝loga(1＋x)，其中 a＞1.
(1)比较
1
2[f(0)＋f(1)]与 f(
1
2)的大小；
(2)探索
1
2[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f (x1＋x2
2 －1)对任意 x1＞0，x2＞0 恒成立．
解析：(1)∵
1
2[f(0)＋f(1)]＝
1
2(loga1＋loga2)＝loga 2，
又∵f (1
2 )＝loga
3
2，且
3
2＞ 2，由 a＞1 知函数 y＝logax 为增函数，所以 loga 2＜loga
3
2.
即
1
2[f(0)＋f(1)]＜f (1
2 ).
(2)由(1)知，当 x1＝1，x2＝2 时，不等式成立．
接下来探索不等号左右两边的关系：
1
2[f (x1－1)＋f(x2－1)]＝loga x1x2，
f(x1＋x2
2 －1)＝loga
x1＋x2
2 ，
因为 x1＞0，x2＞0，
所以
x1＋x2
2 － x1x2＝
x1－ x22
2 ≥0，
即
x1＋x2
2 ≥ x1x2.
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
6
又 a＞1，
所以 loga
x1＋x2
2 ≥loga x1x2，
即
1
2[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f (x1＋x2
2 －1).
综上可知，不等式对任意 x1＞0，x2＞0 恒成立．
