2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题04 函数与导数（测）（解析版）
专题04 函数与导数(测)
【满分：100分 时间：90分钟】
一、选择题(12*5=60分)
1．已知函数f(x)＝x(2 016＋lnx)，若f′(x0)＝2 017，则x0等于( )
A．e2 D．1
C．ln 2 D．e
【答案】B
【解析】f′(x)＝2 016＋ln x＋x×＝2 017＋ln x，由f′(x0)＝2 017，得2 017＋lnx0＝2 017，则lnx0＝0，解得x0＝1。
2．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )
A．y＝x3 B．y＝ln(－x)
C．y＝xe－x D．y＝x＋
【答案】D
【解析】A、B为单调函数，不存在极值，C不是奇函数，故选D.
3．已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的一条切线，则m的值为( )
A．0 B．2
C．1 D．3
【答案】B
【解析】因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的切线，所以令y′＝2x－＝－1，得x＝1，
x＝－(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2，故选B.
4． 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
【答案】D
【解析】由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2
2时，f′(x)>0。由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值。
5．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为( )
A. B．1
C．0 D．不存在
【答案】A
【解析】f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得01时，f′(x)>0；当－20恒成立，所以函数f(x)在[1,2]上单调递
增，所以e－1≤f(x)≤e2－4，又不等式－m≤f(x)≤m2－4恒成立，解得m≥e，所以选D.
10．若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间[1,4]上单调递减，则实数t的取值范围是( )
A. B．(－∞，3]
C. D．[3，＋∞)
【答案】C
【解析】f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于f(x)在区间[1,4]上单调递减，则有f′(x)≤0在[1,4]上恒成立，即
3x2－2tx＋3≤0，即t≥在[1,4]上恒成立，因为y＝在[1,4]上单调递增，所以t≥＝.
11．若曲线y＝ln(x＋a)的一条切线为y＝ex＋b，其中a，b为正实数，则a＋的取值范围是( )
A． D．[e，＋∞)
C．[2，＋∞) D．[2，e)
【答案】C
【解析】设切点为(x0，y0)，则解得b＝ae－2。因为b>0，所以ae－2>0。所以a>，所以a＋＝a＋≥2，当且仅当a＝1时取等号。
12．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟(最后一卷)考试】已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，因为为上的奇函数，所以，
即为上的奇函数对求导，得，而当时，有，故时，，即单调递增，所以在上单调递增，
则不等式即，
即，即，所以，解得.
故选A.
【名师点睛】本题考查构造函数解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题.
二、填空题(4*5=20分)
13.已知函数f(x)=exlnx，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(1)的值为__________．
【答案】
【解析】由函数的解析式可得：，则．即的值为．
14．若函数y=－x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________.
解析：y′=－4x2+b，若y′值有正、有负，则b>0. 答案：b>0
15．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】曲线在点处的切线与直线垂直，则________.
【答案】
【解析】因为，所以，因此，曲线在点处的切线斜率为，又该切线与直线垂直，所以.故答案为.
【名师点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可求解，属于常考题型.
16．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试(6月)数学】已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是______．
【答案】
【解析】作出函数的图象如图所示，由，可得， 即，不妨设 ，则，令，则，
，令，则，
当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，当时，取得最大值，为.故答案为.
【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数的极值与最值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)判断在的根左右两侧值的符号，如果左正右负(左增右减)，那么在处取极大值，如果左负右正(左减右增)，那么在处取极小值.(5)如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值；(6)如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.
二、解答题(6*12=70分)
17．设函数=[]．
(1)若曲线y= f(x)在点(1，)处的切线与轴平行，求a；
(2)若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
【解析】(1)因为，
所以，
，由题设知，即，解得．
此时，所以的值为1．
(2)由(1)得．
若，则当时，；当时，，所以在处取得极小值．
若，则时，，，所以，所以2不是的极小值点．
综上可知，的取值范围是．
18、【陕西省2019届高三第三次联考数学】已知函数，，.
(1)求函数的极值点；(2)若恒成立，求的取值范围.
【解析】(1)的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增，无极值点；
当时，解得，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以有极大值点，为，无极小值点.
(2)由条件可得恒成立，则当时，恒成立，
令，则，令，
则当时，，所以在上为减函数.
又，所以在上，；在上，.
所以在上为增函数，在上为减函数，所以，所以.
【名师点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0
；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.
19、已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a和b的值；
(2)讨论方程f(x)＝0(a＞0)的解的个数，并说明理由．
解：(1)因为f′(x)＝x－(x＞0)，又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，所以f(2)＝2－aln 2＝2＋b，
f′(2)＝2－＝1，解得a＝2，b＝－2ln 2.
(2) 因为f′(x)＝x－(x＞0)，又a＞0，
所以当x∈(0，)时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0，)内为减函数，
当x∈(，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在区间(，＋∞)内为增函数，
所以当x＝时，取得最小值f()＝a(1－ln a)．
当a∈(0，e)时，f()＝a(1－ln a)＞0，方程无解；
当a＝e时，f()＝a(1－ln a)＝0，方程有唯一解；
当a∈(e，＋∞)时，f()＝a(1－ln a)＜0，因为f(1)＝＞0，且＞1，所以方程f(x)＝0在区间
(0，)内有唯一解，当x＞1时，设g(x)＝x－ln x，g′(x)＝1－＞0，所以g(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，又g(1)＝1，所以x－ln x＞0，即ln x＜x，故f(x)＝x2－aln x＞x2－ax.因为2a＞＞1，所以f(2a)＞(2a)2－2a2＝0.所以方程f(x)＝0在区间(，＋∞)内有唯一解，所以方程f(x)＝0在区间(0，＋∞)内有两解，
综上所述，当a∈[0，e)时，方程无解，当a＝e时，方程有唯一解，当a＞e时，方程有两解．
20．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
【解析】(1)．令，得x=0或.
若a>0，则当时，；当时，．故
在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；
若a<0，则当时，；当时，．故 在单调递增，在单调递减.
(2)满足题设条件的a，b存在.
(i)当a≤0时，由(1)知，在[0，1]单调递增，所以在区间[0，l]的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，，即a=0，．
(ii)当a≥3时，由(1)知，在[0，1]单调递减，所以在区间[0，1]的最大值为，最小值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1．
(iii)当0
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