2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二下学期期中考试 数学（文） word版

2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二下学期期中考试 数学（文） word版

深圳市高级中学（集团）2018－2019学年高二年级第二学期期中考试 数学（文科）‎ 本试卷由二部分组成:‎ 第一部分：高二数学第二学期前的基础知识和能力考查，共76分；‎ 选择题部分包含第1、2、3、4、6、9题，分值共30分，‎ 填空题部分包含第13、14题，分值共10分，‎ 解答题部分包含第18、19、20题，分值共36分.‎ 第二部分：高二数学第二学期的基础知识和能力考查，共74分； ‎ 选择题部分包含第5、7、8、10、11、12题，分值共30分，‎ 填空题部分包含第15、16题，分值共10分，‎ 解答题部分包含第17、21、22题，分值共34分.‎ 全卷共计150分，考试时间为120分钟.‎ 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. “”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4. 已知向量，，且，则实数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．已知曲线关于直线对称，则的最小值为（ ）‎ A． ‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6．直线：被圆M：截得的弦长为（ ）‎ A． B．5 C． D．10‎ ‎7．已知在极坐标系中，点，则为（ ）‎ A．正三角形　 B．直角三角形　 C．锐角等腰三角形　 D．等腰直角三角形 　‎ ‎8．下列函数求导运算正确的个数为（ ）‎ ‎①； ②； ③； ④；‎ ‎⑤．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9. 已知流程图如图所示，该程序运行后，若输出的值为16，则循环体的判断框内①处应填（ ）‎ A．2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎10．已知点，在⊙O：上任取一点P，则的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知a＞1，b＞0，，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知双曲线：（），点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为，且满足，若，则的离心率为（　 　）‎ A. B. C. D. ‎ 二．填空题：共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 函数的定义域为 ‎ ‎14. 若实数满足条件，则的最大值是 ‎ ‎15．已知直线的普通方程为，点是曲线为参数)上的任意一点，则点到直线的距离的最大值为_______________‎ ‎16．将正整数12分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当（且、）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如，则数列的前2019项和为 ‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17. （12分）‎ 在中，角所对的边分别为，且满足．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）已知，的面积为，求边．‎ ‎18．（12分） ‎ 已知等比数列的各项为正数，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求证数列的前项和＜2．‎ ‎19．（12分）‎ ‎2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：‎ 年龄段 人数（单位：人）‎ 约定：此单位45岁~59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.‎ ‎（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？‎ ‎（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事.完成下列列联表，并回答能否有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？‎ 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 ‎12‎ 中年 ‎5‎ 总计 ‎30‎ ‎（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎.‎ ‎20. （12分）‎ 已知抛物线的焦点为，是上的一点，且．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）直线交于两点，且的面积为，求的方程．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数（）．‎ ‎（1）求在上的单调性及极值；‎ ‎（2）若，对任意的，不等式都在上有解，求实数的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 已知曲线在平面直角坐标系下的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的普通方程及极坐标方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程是，射线：与曲线交于点与直线交于点，求线段的长.‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围．‎ 深圳市高级中学（集团）2018－2019学年高二年级第二学期期中考试 数学（文科）‎ 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ B ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（ C ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.“”是“”的（ A ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4. 已知向量，，且，则实数（ D ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5．已知曲线关于直线对称，则的最小值为（ D ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6．直线l：3x+4y+5=0被圆M：（x–2）2+（y–1）2=16截得的弦长为（C）‎ A． B．5 C． D．10‎ ‎7、 已知在极坐标系中，点则为（D）‎ A、正三角形　 B、直角三角形　 C、锐角等腰三角形　 D、等腰直角三角形 　‎ ‎8．下列函数求导运算正确的个数为（ C ）‎ ‎①；②；③；④；⑤．‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎9.已知流程图如图所示，该程序运行后，若输出的值为16，则循环体的判断框内①处应填（ B ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10．已知点，在⊙O：上任取一点P，则的概率为（ C ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎11．已知a＞1，b＞0，，则的最小值为( A )．‎ A． B. C. D. ‎ ‎12. 已知双曲线： ﹣=1（），点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为，且满足，若，则的离心率为（　B 　）‎ A． ‎ B. C. 2 D. ‎ 二．填空题：共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 函数的定义域为 ‎ ‎14.若实数满足条件，则的最大值是 6 ‎ ‎15．已知直线的普通方程为，点是曲线为参数)上的任意一点，则点到直线的距离的最大值为_______________．‎ ‎16. 将正整数分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当（且、）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如，则数列的前2019项和为 ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 在中，角所对的边分别为，且满足．‎ ‎ （1）求角的大小；‎ ‎ （2）已知，的面积为，求边．‎ ‎（1）解：‎ ‎ ∴由正弦定理得：---2分 ‎ ‎ ‎ -------3分 ‎ -----4分 ‎ 又 .........................5分 ‎ ∴ --------6分 （2） 解：， ‎ ‎ ‎ ‎ 即： --------8分 ‎ 又 ‎ 由余弦定理得：‎ ‎ --11分 ‎ 故： -------12分 （3） ‎【方法2】， ‎ ‎ ‎ ‎ 即： ..............①--------8分 ‎ 又.............②‎ 由①②解得：..................9分 ‎ 由余弦定理得：‎ ‎ --11分 ‎ 故： ---------12分 ‎18． 已知等比数列的各项为正数，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求证数列的前项和＜2．‎ 解：（1）设数列N的公比为q，‎ ‎∵‎9a32=a‎2a6，即‎9a22q2=a2•a2q4，解得q2=9．‎ 又q＞0，则q=3，………….2分 ‎∵a3=‎2a2+9，即‎9a1=‎6a1+9，解得a1=3，…………4分 ‎∴．…………5分 ‎（2）a‎1a2…an=31+2+3+…+n=3，…………6分 ‎∴bn=log‎3a1+log‎3a2+…+log3an=log3（a‎1a2…an）=，…………8分 ‎∴．…………9分来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎∴<2．…………12分 ‎19．2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：‎ 年龄段 人数（单位：人）‎ ‎180‎ ‎180‎ ‎160‎ ‎80‎ 约定：此单位45岁~59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.‎ ‎（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？‎ ‎（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事.完成下列列联表，并回答能否有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？‎ 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 ‎12‎ 中年 ‎5‎ 总计 ‎30‎ ‎（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎.‎ 解：(1)抽出的青年观众为18人，中年观众12人 ‎（2）列联表如下：‎ ‎，‎ ‎∴没有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关.‎ ‎（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为，其余两人记为，则从中选两人，一共有如下15种情况：‎ 抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况，‎ 所以.‎ ‎20. 已知抛物线的焦点为，是上的一点，且．‎ ‎（1）求的方程； ‎ ‎（2）直线交于两点，且的面积为，求的方程．‎ 解：（1） 抛物线的方程为 -------------------------4分 ‎ （2）直线的斜率显然存在，设直线，、‎ ‎ 由得：‎ ‎ ----------------------------6分 ‎ 由， ----------------------------7分 ‎ 直线方程为：，所以直线恒过定点 ----------------------------8分 ‎ ‎ ‎ ，即 ‎ ，即 ‎ ----------------------------11分 ‎ 所以直线方程为： ----------------------------12分 ‎21．已知函数（）.‎ ‎（1）求在上的单调性及极值；‎ ‎（2）若，对任意的，不等式都在上有解，求实数的取值范围.‎ ‎（1）当时，，，‎ 令，∴‎ ‎∴在递减，递增，‎ ‎∴极小值，无极大值.‎ ‎（2）因为，令，，‎ 则为关于的一次函数且为减函数，‎ 根据题意，对任意，都存在，使得成立，‎ 则在上，有解，‎ 令，只需存在使得即可，‎ 由于，‎ 令，∵，∴，‎ ‎∴在上单调递增，，‎ ‎①当，即时，，即，‎ ‎∴在上单调递增，∴，不符合题意.‎ ‎②当，即时，，，‎ 若，则，所以在上恒成立，即恒成立，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∴存在使得，符合题意.‎ 若，则，∴在上一定存在实数，使得，‎ ‎∴在上恒成立，即恒成立，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∴存在使得，符合题意.‎ 综上所述，当时，对任意的，都存在，使得成立.‎ ‎22. 已知曲线在平面直角坐标系下的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的普通方程及极坐标方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程是，射线：与曲线交于点与直线交于点，求线段的长.‎ ‎【解析】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 消去参数得曲线的普通方程为，‎ 又，，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）由 ‎，‎ 故射线与曲线的交点的极坐标为；‎ 由，‎ 故射线与直线的交点的极坐标为，‎ ‎∴.‎ ‎23. 设函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎（1）当时，‎ 所以或或………………………3分 解得或或……………………………………4分 综上，不等式的解集为.……………………………………………5分 ‎（2），转化为 令，……………………………………6分 ‎，……………………………………7分 时，,……………………………………………8分 令得………………………………………………10分