2017-2018学年河南省平顶山市高二上学期期末调研考试理科数学试题 解析版

2017-2018学年河南省平顶山市高二上学期期末调研考试理科数学试题 解析版

‎2017-2018学年河南省平顶山市高二上学期期末调研考试理科数学试题 解析版 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若坐标原点到抛物线 的准线的距离为 ，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由题意得，抛物线的标准方程为， 则抛物线的准线方程为，‎ ‎ 又由原点到准线的距离为，则，解得，故选A．‎ ‎2. 命题“， ”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】 根据全称命题与存在性命题的关系可知，命题“”的否定 为“”，故选C．‎ ‎3. 等差数列 中， ， ，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由等差数列性质可知 考点：等差数列性质 ‎4. 在 中，内角 和 所对的边分别为和 ，则 是 的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】在中，由正弦定理可得，则，即 又，则，即，‎ 所以是的充要条件，故选C．‎ ‎5. 若不等式 对任意实数 均成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由题意，不等式，可化为，‎ ‎ 当，即时，不等式恒成立，符合题意；‎ ‎ 当时，要使不等式恒成立，需 ， ‎ 解得，‎ 综上所述，所以的取值范围为，故选B．‎ ‎6. 已知双曲线 ： （ ， ），右焦点 到渐近线的距离为 ， 到原点的距离为 ，则双曲线 的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由题意，双曲线，右焦点到渐近线的距离为，‎ 到原点的距离为，则双曲线焦点到渐近线的距离为，‎ 又，代入得，解得，故选D．‎ ‎7. 设 的内角 、 、 的对边分别为、 .若 ， ， ，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 又，所以，所以，‎ ‎ 所以在直角中，，故选B．‎ ‎8. 若， ， ，则 的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 根据题意，，当时等号成立，‎ ‎ 则由，‎ 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故选B．‎ ‎9. 设向量， ， 是空间基底， ，有下面四个命题：‎ ‎ ：若 ，那么 ；‎ ‎ ：若 ， ，则 ；‎ ‎ ： ，，也是空间基底；‎ ‎ ：若，，则 .其中真命题为（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由题意得，若，根据向量相等可得是正确的；‎ ‎ 若，当时，与不一定是共线向量，所以不正确；‎ ‎ 中，由三个不共面的向量，可以作为一个孔家基底，而向量 是三个不共面的向量，所以可以作为一个空间的基底，所以是正确的；‎ ‎ 中，只有当向量是三个两两垂直的单位向量时，才能使得 成立，所以不正确，故选A．‎ ‎10. 设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：作出约束条件的可行域，如图，平移直线，当直线经过点时有最大值，由得，将代入得，即的最大值为，故选B．‎ 考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．‎ 视频 ‎11. 过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，且点平分 ，则直线 的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 设，代入椭圆的方程可得，‎ ‎ 两式相减可得，‎ ‎ 又，‎ ‎ 即为，‎ ‎ 则直线的方程为：，化为，故选A．‎ ‎ 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，注意运用“点差法”的应用，考查了学生的推理与计算能力，试题比较基础，属于基础题，解答此类问题的关键在于把握弦的中点，恰当的选择“点差法”是解答的关键．‎ ‎12. 定义数列 如下： ， ，当 时，有 ；‎ 定义数列 如下： ，，当 时，有 ，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由，两边同除，可得，即，‎ ‎ 则数列构成首项为，公差为的等差数列，所以，‎ ‎ 所以 ‎ 同理可得，则数列构成首项为，公差为的等差数列，所以，‎ ‎ 可得，‎ ‎ 所以，故选D．‎ 点睛：本题主要考查了数列的递推公式和等差数列的通项、累乘法求解数列的通项公式等知识点的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，在利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形，运算问题时，要注意采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知椭圆的两焦点坐标分别是 、 ，并且过点 ，则该椭圆的标准方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意，椭圆的两个焦点坐标分别是，可得，‎ ‎ 设椭圆的方程为，椭圆经过点，‎ ‎ 可得，解得，所以椭圆的方程为．‎ ‎14. 已知三个数 ， ，成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列 的前三项，则能使不等式 成立的自然数 的最大值为 __________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】 因为三个数成等比数列，所以，所以，‎ ‎ 倒数重新排列后恰好为递增的等比数列的前三项为，公比为，‎ ‎ 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎ 则不等式等价为，‎ ‎ 整理，得，所以，所以的最大值为．‎ ‎15. 在平行六面体 中， ， ， ， ， ，则 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 连接，因为，所以,‎ ‎ 根据，‎ ‎ 即，所以，则,‎ 而,‎ 根据余弦定理得.‎ ‎.....................‎ ‎16. 函数 （ ）， ，对 ， ，使 成立，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由函数的图象是开口向上的抛物线，且关于对称，‎ ‎ 所以时，函数的最小值为，最大值为，‎ ‎ 可得的值域为，‎ ‎ 又因为，‎ ‎ 所以为单调增函数，的值域为，即，‎ 以为对， ，使成立，‎ ‎ 所以，解得，所以实数的取值范围是．‎ 点睛：本题考查函数的值域，同时涉及到了“任意”、“存在”等量词的理解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中正确理解“任意”、“存在”等量词，转化为函数的值域与最值之间的关系，列出不等式组是解答的关键．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （1）解不等式 ；‎ ‎（2）已知、 ，求证：‎ ‎【答案】(1) 或 或 (2)见解析 ‎【解析】 试题分析：（1）把原不等式化简为等价不等式，即可额牛街不等式的解集； ‎ ‎（Ⅱ）由、 是非负实数，作差比较，即可作出证明．‎ 试题解析：‎ ‎（1）原不等式可化为 ‎ 继续化为 ，其等价于 ．‎ ‎∴原不等式的解为 或 或 ．‎ ‎（Ⅱ）由、 是非负实数，作差可得：‎ ‎ ‎ 当 时， ，从而 ，得；‎ 当 时， ，从而 ，得；‎ 所以， ．‎ ‎18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求，.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题设条件及正弦定理可化简得，即求解角； ‎ ‎（Ⅱ）由三角形的面积公式，可得，在由余弦定理得，即可求解的值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由 及正弦定理得 ，‎ ‎∵ ，∴ ，‎ 又 ，故 ．‎ ‎（Ⅱ）∵ 的面积为 ，∴ ．‎ 由余弦定理得 ，故 ．‎ 解得 .‎ ‎19. 已知数列 的前 项和为 ， ，且 ；数列 是等比数列，且 ， .‎ ‎（1）求 ， 的通项公式；‎ ‎（2）数列 满足， 的前 项和为 ，求 .‎ ‎【答案】(1) ， ， ，．(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由 ，得，以上两式相减，利用数列的累乘法，求解求解数列的通项公式，进而求解的通项公式；‎ ‎（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵ ，∴ ．‎ 以上两式相减得： ，即 ．‎ 所以， ， ‎ 所以， ，即 ， ‎ ‎∴ ， ，因此， ，．‎ ‎（2）∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ，‎ 以上两式相减得： ‎ 所以， ．‎ ‎20. 如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为直角梯形， ， ， .‎ ‎（1）求平面 与平面 所成二面角的余弦值；‎ ‎（2）点 是线段 上的动点，当直线 与 所成角最小时，求线段的长.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为．‎ ‎（1） 因为平面，所以是平面的一个法向量，．‎ 因为．‎ 设平面的法向量为，则，‎ 即，令，解得．‎ 所以是平面的一个法向量，从而，‎ 所以平面与平面所成二面角的余弦值为．‎ ‎（2） 因为，设，‎ 又，则，‎ 又，‎ 从而，‎ 设，‎ 则，‎ 当且仅当，即时，的最大值为．‎ 因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．‎ 又因为，所以．‎ 考点：二面角的计算，异面直线所成的角，最值问题.‎ ‎【方法点晴】求二面角常采用求法向量直接公式计算的方法去解决，原则是半平面有现成的垂线就直接做法向量，没有现成的垂线就设法向量，求出法向量后再算二面角；第二步的最值问题很好，是高考很常见的形式，多发生在圆锥曲线题目中，一要会换元，如本题中的设，二要会处理分式如本题中的，当然这一步有时使用均值不等式（或对勾函数），个别题还可使用导数求最值.‎ 视频 ‎21. 已知是抛物线：（）上一点，是抛物线的焦点，且.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）已知 ，过 的直线交抛物线 于 、 两点，以 为圆心的圆 与直线 相切，试判断圆 与直线 的位置关系，并证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）抛物线的方程为；（2）圆与直线相切．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由抛物线的方程，可得焦点坐标与准线方程，过作于点，‎ 连接 ，利用等边三角形，求得的值，即可得到抛物线的方程；‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，可得圆 与直线 相切．‎ 当直线的斜率存在时，设方程为，代入抛物线的方程，求得，进而得到直线 ‎、的方程，求得点到直线的距离，得到，即可判定直线与圆相切．‎ 试题解析：‎ ‎（1）抛物线 : （ ）的准线方程为: ，‎ 过 作 于点 ，连接 ，则 ，‎ ‎∵ ，∴ 为等边三角形，‎ ‎∴ ，∴ ．‎ ‎∴抛物线 的方程为 ．‎ ‎（2）直线的斜率不存在时， 为等腰三角形，且 ．‎ ‎∴圆 与直线 相切．‎ 直线的斜率存在时，设方程为 ，‎ 代入抛物线方程，得 ，‎ 设 ， ，则 ．‎ 直线 的方程为，即 ，‎ ‎∴圆 的半径 满足 ‎．‎ 同理，直线 的方程为 ，‎ ‎ 到直线 的距离 ， ．‎ ‎∴ ，∴ ，∴圆 与直线 相切，‎ 综上所述，圆 与直线 相切．‎ 点睛：本题考查了抛物线的标准方程的求解，直线与抛物线的位置关系的应用问题，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量．‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，已知点 ， 为平面上一动点， 到直线 的距离 为 ， .‎ ‎（1）求点 的轨迹的方程；‎ ‎（2）不过原点 的直线与 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，直线 与直线 交点的纵坐标为 ，求 面积的最大值及此时直线的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) 面积的最大值为 ，此时直线的方程为 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）直接法求动点轨迹方程,先设动点坐标,再两点间距离公式及点到直线距离公式将条件用坐标表示,化简整理成椭圆标准方程;（Ⅱ）涉及弦中点问题,一般利用点差法求弦中点坐标与直线斜率的关系,本题由于弦中点与原点连线的斜率已知,所以可得弦所在直线斜率 .根据直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理、弦长公式可得三角形底边长（用直线在 轴上截距表示），再根据点到直线距离公式可得高（用直线在 轴上截距表示），利用三角形面积公式可得面积关于直线在 轴上截距的函数关系式，最后根据基本不等式求最值，确定直线在 轴上截距，可得直线方程.‎ 试题解析：解：（Ⅰ）由题意：，‎ 又，即，‎ 化简整理得：‎ 所求曲线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）易得直线的方程：,设.其中 ‎∵在椭圆上，‎ ‎，所以，‎ ‎∴设直线的方程为：.‎ 联立：.整理得.‎ ‎∵直线与椭圆有两个不同的交点且不过原点，‎ ‎∴，解得：且 由韦达定理:‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∵点到直线的距离为：.‎ ‎∴.‎ 当且仅当即时等号成立，满足（*）式 所以面积的最大值为，此时直线的方程为.‎ 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.‎ ‎ ‎ ‎ ‎