高中数学讲义微专题06 函数的图像

高中数学讲义微专题06 函数的图像

- 1 - 微专题 06 函数的图像 一、基础知识 1、做草图需要注意的信息点： 做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作 图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符 号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知 识点讲解与分析”的第 3 点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结 合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常 见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点 （1）一次函数： ,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定 直线 特点：两点确定一条直线 信息点：与坐标轴的交点 （2）二次函数： ，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧 的图像，另一侧由对称性可得。函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则 标出交点坐标可使图像更为精确 特点：对称性 信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点 （3）反比例函数： ,其定义域为 ，是奇函数，只需做出正版轴图像 即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线 特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线 信息点：渐近线 注： （1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线 在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中， 轴是渐近线，那 么当 ，曲线无限向 轴接近，但不相交，则函数在 正半轴就不会有 轴下方的部分。 （2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若 （或 ）时， 常数 ，则称直线 为函数 的水平渐近线 y kx b   2y a x h k   1y x    ,0 0,  x x   x x x x     f x  C y C  f x - 2 - 例如： 当 时， ，故在 轴正方向不存在渐近线 当 时， ，故在 轴负方向存在渐近线 （3）竖直渐近线的判定：首先 在 处无定义，且当 时， （或 ），那么称 为 的竖直渐近线 例如： 在 处无定义，当 时， ，所以 为 的一条渐近线。 综上所述：在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图像中：与坐标轴的交点；对称轴与 对称中心；极值点；渐近线。 例：作出函数 的图像 分析：定义域为 ，且 为奇函 数， 故先考虑 正半轴情况。 故函数单调递增， ，故函数为上凸函数，当 时， 无水平渐近线， 时， ， 所以 轴为 的竖直渐近线。零点： ，由这些信息可做出正半轴的草图，在根据对称性 得到 完整图像： 2、函数图象变换：设函数 ，其它参数均为正数 （1）平移变换： ： 的图像向左平移 个单位 ： 的图像向右平移 个单位 ： 的图像向上平移 个单位 ： 的图像向下平移 个单位 （2）对称变换： ：与 的图像关于 轴对称 2xy  x   y   x x   0y  x 0y   f x x a x a  f x    x a  f x 2logy x 0x  0x   f x   0x  2logy x   1f x x x     ,0 0,   f x x  ' 2 11 0f x x    '' 3 2 0f x x   x    f x   0x   f x   y  f x  1,0  f x  y f x  f x a  f x a  f x a  f x a  f x b  f x a  f x b  f x a  f x  f x y - 3 - ：与 的图像关于 轴对称 ：与 的图像关于原点对称 （3）伸缩变换： ： 图像纵坐标不变，横坐标变为原来的 ： 图像横坐标不变，纵坐标变为原来的 （4）翻折变换： ： 即正半轴的图像不变，负半轴的原图像不要，换上与正半 轴图像关于 轴对称的图像 ： 即 轴上方的图像不变，下方的图像沿 轴对称的翻上 去。 3、二阶导函数与函数的凹凸性： （1）无论函数单调增还是单调减，其图像均有 3 种情况， 若一个函数的增减图像为 则称函数为下凸函数 若一个函数的增减图像为 则称函数为上凸函数 （2）上凸函数特点：增区间增长速度越来越慢，减区间下降速度越来越快 下凸函数特点：增区间增长速度越来越快，减区间下降速度越来越慢 （3）与导数的关系：设 的导函数为 （即 的二阶导函数），如图所示：增长 速度受每一点切线斜率的变化情况的影响，下凸函数斜率随 的增大而增大，即 为增函 数 ；上凸函数随 的增大而减小，即 为减函数 ； 综上所述：函数是上凸下凸可由导函数的增减性决定，进而能用二阶导函数的符号进行求解。 二、方法与技巧： 1、在处理有关判断正确图像的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，  f x  f x x  f x   f x  f kx  f x 11 0 1 k k k     ： 收缩 ：拉伸  kf x  f x 1 0 1 kk k     ： 拉伸倍 ：收缩  f x       , 0 , 0 f x x f x f x x     y  f x           , 0 , 0 f x f x f x f x f x    x x  'f x  ''f x  f x x  'f x  '' 0f x  x  'f x  '' 0f x  - 4 - 再结合函数的性质即可进行排除，常见的区分要素如下： （1）单调性：导函数的符号决定原函数的单调性，导函数图像位于 轴上方的区域表示原函 数的单调增区间，位于 轴下方的区域表示原函数的单调减区间 （2）函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分 （3）极值点 （4）对称性（奇偶性）——易于判断，进而优先观察 （5）函数的凹凸性：导函数的单调性决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸部 分，减区间为函数的上凸部分。其单调性可由二阶导函数确定 2、利用图像变换作图的步骤： （1）寻找到模板函数 （以此函数作为基础进行图像变换） （2）找到所求函数与 的联系 （3）根据联系制定变换策略，对图像进行变换。 例如：作图： 第一步寻找模板函数为： 第二步寻找联系：可得 第三步制定策略：由 特点可得：先将 图像向左平移一个单位，再将 轴下方 图像向上进行翻折，然后按照方案作图即可 3、如何制定图象变换的策略 （1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换 例如： ：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤 ：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为 平移变换 （2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在 安排顺序时注意以下原则： ① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 x x  f x  f x  ln 1y x    lnf x x  1y f x   1f x   f x x  3 1y f x    2y f x   - 5 - ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有 发生相应变化 例如： 可有两种方案 方案一：先平移（向左平移 1 个单位），此时 。再放缩（横坐标变为原来的 ），此时系数 只是添给 ，即 方案二：先放缩（横坐标变为原来的 ），此时 ，再平移时，若平移 个单 位，则 （只对 加 ），可解得 ，故向左平移 个单位 ③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行 例如： 有两种方案 方案一：先放缩： ，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加 1， 即 方案二：先平移： ，则再放缩时，若纵坐标变为原来的 倍，那么 ，无论 取何值，也无法达到 ，所以需要对 前一步进行调整：平移 个单位，再进行放缩即可（ ） 4、变换作图的技巧： （1）图像变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方 向的移动。先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图像的精确性 （2）图像变换后要将一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与 轴的交点等 三、例题精析： 例 1：己知函数 ，其导数 的图象如图所示，则函数 的极大 值是（ ） A. B. C. D. 思路：由图像可知： 时， , 单调递增， 时， , 单调递减，所以 的极大值为 答案：B x    2 1y f x y f x       1f x f x  1 2 2 x    1 2 1f x f x   1 2    2f x f x a       2 2 2 2f x f x a f x a    x a 1 2a  1 2    2 1y f x y f x       2y f x y f x       2 2 1y f x y f x        1y f x y f x    a     1 1y f x y a f x     a  2 1y f x  1 2 2a  y   3 2f x ax bx c    'f x  f x a b c  8 4a b c  3 2a b c  0,2x   ' 0f x   f x  2,x    ' 0f x   f x  f x  2 8 4f a b c   - 6 - 小炼有话说：观察导函数图像时首要关注的是函数的符号，即是在 轴的上方还是下方，导函 数的符号决定原函数的单调性 例 2：设函数 可导， 的图象如图所示，则导函数 的图像可能为 （　　） 思路：根据原函数的图像可得： 在 单调递增，在正半轴先增再减再增，故 在负半轴的符号为正，在正半轴的符号依次为“正负正”，观察四个选项只有 D 符合 答案：D 小炼有话说：本题可直接由导函数的符号来排除其他选项，若选项中也有符合 D 中“ 负半轴 的符号为正，在正半轴的符号依次为‘正负正’”，那么可观察第二条标准：从图上看在 负半 轴中，函数增长的速度越来越快，则说明切线斜率随 的增大而增大，进而导函数在 负半轴 也单调递增，依次类推可得到正半轴的情况，D 选项依然符合特征 例 3：函数 的部分图象为（ ） 思路： ，可得 在 单调递增，在 单调递减，且可估计当 ， 即 ，所以 为函 x ( )y f x ( )y f x ( )y f x x y O 图 1 x y O A x y O B x y O C y O D x  f x  ,0  'f x x x x   2 1xf x e x       ' 2 2 2 2x xf x e x e x x x e     f x    , 2 , 0,    2,0 x   2 2 0x x xx e e    1f x   1y   - 7 - 数 的渐近线，当 由此可判断出图像 正确 答案：A 小炼有话说：（1）本题考查的是通过分析函数性质作图，单调性是非常重要的一个要素，通 过单调性也可排除其他三个选项 （2）关于渐近线的判断：对于 ， 可这样理解， 时， 均趋向正无穷，但 的速度更快，进而伴随着 ， 将远远大于 ，进而比值趋于 0，当 ,增长速度的排名为：直线（一次函数）<二次函数<指数函数 例 4：函数 的图像可能是（ ) 思 路：观 察 解 析 式 可 判 断 出 为 奇 函 数 ，排 除 A,C. 当 时 ， ,故选择 B 答案：B 小炼有话说： 有两点可以优先观察：一个是奇偶性，则图像具有对称性，只 需考虑正半轴的情况即可；二是含有绝对值，可利用 的符号去掉绝对值，进而得到正半轴的 解析式。 例 5（2015 浙江文）：函数 的图像可能为（ ）  f x ,x y     A x   2 2 0x x xx e e  x   2, xx e xe x   xe 2x x     ln | | | | x xf x x A B DC y O x11 y O x11 y O x11 y O x11   lnx xf x x 0x    0 lnf x x    ln | | | | x xf x x x    1 cos , 0f x x x x xx           - 8 - 思路：观察 4 个选项的图像，其中 A，B 图像关于 轴对称，C,D 图像关于原点中心对称。所 以先判断函数奇偶性，可判断出 所以 为奇函数，排除 A，B，再观察 C,D 的区别之一就是 的符号，经过计算可得 ，所以排除 C 答案：D 例 6：已知 为 的导函数，则 的图像是( ) 思路： ， ，可判断 为奇 函数，图像关于原点中心对称，排除 。因为 ，排 除 。故 正确。 答案：A 小炼有话说： 可优先判断出奇偶性，进而排除一些选项，对于 选项 而言，其不同之处有两点，一点是从 处开始的 符号，解析的思路也源于此，但需 要代入特殊角进行判断，A 选项的图中发现在 轴正半轴中靠近 轴的函数值小于零，从而选 择最接近 0 的特殊角 ，除此之外， 图像的不同之处还在于从 开始时 的单 调性，所以也可对 求导， ，则 时， ，即 应先减再增。所以排除 C 例 7：下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是 (　　 ) y      1 1cos cosf x x x x x f xx x                     f x  f    1 1cos 0f                21 sin ,4 2f x x x       f x  f x  f x   2 21 1sin cos4 2 4f x x x x x          1' sin2f x x x   'f x ,B D ' 1 1sin 1 06 2 6 6 2 6f                   C A  ' 1 sin2f x x x  ,A C 0x   'f x x y 6  ,A C 0x   'f x  'f x  '' 1 cos2f x x  0, 3x      '' 0f x   'f x - 9 - A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 思路：如图所示：在图①、②在每个区间上函数的单调性与对应的导数的符号是正确的，即 单调增区间导数大于零，单调减区间上导数小于零；在③中显示在区间 上导函数的值为 负值，而该区间上的函数图象显示不单调，二者不一致，所以③不正确；在④图象显示在区 间 上导函数的值总为正数，而相应区间上的函数图象却显示为减函数，二者相矛盾，所 以不正确.故选 B. 答案：B 小炼有话说：要注意导函数图像与原函数图像的联系：导函数的符号与原函数的单调性相对 应，导函数的增减与原函数的凹凸性相对应。 例 8：已知 上可导函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为 ( ) A. B. C. D.  0,b  ,a b R  f x    2 '2 3 0x x f x      , 2 1,      , 2 1,2        , 1 1,0 2,          , 1 1,1 3,     - 10 - 思路：由图像可得： 时， ， 时， ，所以 所解不等式为： 或 ，可得： 答案：D 例 9：函数 的大致图象如图所示,则 等于(　 　) A. B. C. D. 思路：由图像可得： 为 的极值点， 为函数的零点 ,即 是方程 的两个根， , , 由 答案：C 小炼有话说：在观察一个函数图像时，有几个地方值得关注： 极值点——单调区间的分界点，导函数的零点； 零点——函数符号的分界点； 单调性——决定导函数的符号。 例 10：（2015 安徽）函数 的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 思路：观察函数图像突出的特点便可确定 的符号：    , 1 , 1,x      ' 0f x   1,1x    ' 0f x    2 ' 2 3 0 0 x x f x        2 ' 2 3 0 0 x x f x           , 1 1,1 3,       3 2f x x bx cx d    2 2 1 2x x 8 9 10 9 16 9 4 5 1 2,x x  f x 1, 0, 2x x x     ' 23 2f x x bx c   1 2,x x 23 2 0x bx c   1 2 2 ,3 bx x    1 2 3 cx x    2 22 2 1 2 1 2 1 2 4 22 9 3 b cx x x x x x             1 0 1 0 1 2 0 8 4 2 0 2 0 00 0 f b c d b f b c d c d df                               2 22 2 1 2 1 2 1 2 4 2 162 9 3 9 b cx x x x x x           2 ax bf x x c   0, 0, 0a b c   0, 0, 0a b c   0, 0, 0a b c   0, 0, 0a b c   , ,a b c - 11 - 特点 1：渐近线在 正半轴，从解析式可知 的竖直渐近线为 即 ，所以 特点 2： 时， 仍大于 0，通过解析式可得 的符号由 决定，所以从 “ 时， 仍大于 0”中可推断出 特点 3：图像与 轴交点纵坐标为正， ，所以 综上所述，选项 答案：C x  f x 0x c  x c  0 0c c    x    f x  f x ax b x    f x 0a  y   20 0bf c  0b  0, 0, 0a b c  