上海市高桥中学2020届高三上学期开学考试考数学试题

上海市高桥中学2020届高三上学期开学考试考数学试题

‎ 高桥中学高三开学考数学试卷 ‎2019.09‎ 一. 填空题 ‎1.满足Ü的集合共有 个.‎ ‎【答案】31‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据真子集的定义可知，M至少含有3个元素，根据子集的定义知M最多含有七个元素，令 N⊆{3，4，5，6，7}且N，则M={1，2}N，而N的个数为，从而求得M的个数.‎ ‎【详解】∵{1，2}ÜM⊆{1，2，3，4，5，6}，  ∴M中至少含有3个元素且必有1，2，‎ 而M为集合{1，2，3，4，5，6，7}子集，故最多七个元素，‎ 令 N⊆{3，4，5，6，7}且N，则M={1，2}N，‎ 而N的个数为，所以集合共有31个.‎ 故答案为：31.‎ ‎【点睛】本题是一道基础题，主要考查子集和真子集的定义，这也是解题的关键.‎ ‎2.不等式解集为，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在本题中首先移项，然后通分化成整式不等式进行求解，然后利用一元二次不等式的解集形式求出a即可.‎ ‎【详解】由得，，即，‎ 变形得，，且，‎ 所以，‎ 因为解集为，‎ 所以，且，解得，‎ 故本题答案为.‎ ‎【点睛】本题考查分式不等式的解法，在本题中首先移项，然后通分化成整式不等式进行求解，注意分母不为0，以及一元二次不等式的解集形式，属基础题.‎ ‎3.函数是定义在上的奇函数，当，，则函数解析式 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件和奇函数的性质，易求出函数的解析式，最后表示成分段函数即可.‎ ‎【详解】是定义在R上的奇函数，， 当时，， 则， 当时，， .‎ 所以本题答案为.‎ ‎【点睛】本题考查知识点是函数奇偶性的性质，要求学生会根据函数奇偶性的性质，结合已知条件求出函数的解析式，注意解析式是否是分段函数，属基础题.‎ ‎4.设、为正数，若，则的最小值是 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 整体代入可得，由基本不等式可得结果.‎ ‎【详解】，且， ， 当且仅当即且时取等号. 故答案为4.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，整体代入是解决问题的关键，属基础题.‎ ‎5.已知函数值域是，则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，由已知条件可知可取到上的所有值，当时满足题意，当时需满足，解不等式得或，所以实数的取值范围是 考点：函数性质 ‎6.二次函数满足，且有两个实根、，等于 .‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3-x)，得到二次函数的对称轴为x=3，则两个实数根的和为2x，从而求得结果.‎ ‎【详解】∵二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3-x)，‎ ‎∴二次函数y=f(x)的对称轴为x=3，‎ ‎∴二次函数f(x)与x轴的两个交点关于x=3对称，即两个交点的中点为3.‎ 根据中点坐标公式得到f(x)=0的两个实数根之和为.‎ 故本题答案为6.‎ ‎【点睛】本题是一道有关二次函数对称性质的题目，根据得到函数的对称轴是解题的关键，属基础题.‎ ‎7.若为定义在上的函数，则“存在，使得”是“函数为非奇非偶函数”的 条件.‎ ‎【答案】充要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知为定义在D上的函数，由题意看命题“存在，使得”与命题“函数为非奇非偶函数”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断.‎ ‎【详解】若为定义在D上的函数， 又存在，使得， ， 函数为非奇非偶函数；‎ 若函数为非奇非偶函数，‎ 必存在，使得，‎ 否则，根据逆否命题的等价性可知是奇函数或偶函数；‎ ‎“存在，使得”是“函数为非奇非偶函数”的充要条件. 故答案为充要条件.‎ ‎【点睛】此题主要考查函数的奇偶性及必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题.‎ ‎8.已知全集，集合，，则中所有元素的和是 .‎ ‎【答案】2006或2007或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先化简集合，然后分：①A中有两个相等的实数根，②，③A中有两个不相等的实数根，三种情况进行讨论即可求得结果.‎ ‎【详解】由题意可知， （1）若A中有两个相等的实数根，则，此时，所有元素之和为2007； （2）若，则，由韦达定理可知，所有元素之和为-2； （3）若A中有两个不相等的实数根，且，则由韦达定理可知，所有元素之和为2008+(-2)=2006. 故答案为:2006或2007或-2.‎ ‎【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活运用.‎ ‎9.已知定义在上的函数的图像关于点对称，且满足，又 ‎，，则 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由函数满足，又，，可以分析得，从而求出和.又函数的图象关于点对称，又可推出，综合考虑几个周期关系条件即可得到的值.‎ ‎【详解】因为函数满足，则， 又，，则，. 又函数的图象关于点对称， 则，‎ 所以. 又，，又. 所以. 故本题答案为1.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的周期性问题，其中应用到函数关于点对称的性质，对于函数周期性这个考点考查的时候一般结合函数奇偶性，对称性问题综合考虑，技巧性较强，属中档题.‎ ‎10.函数，（）的值域中恰有10个不同整数，的值为 .‎ ‎【答案】或4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的对称轴，，可讨论对称轴和区间的关系：分，，和三种情况，在每种情况里，根据二次函数的单调性或取得顶点情况及端点值求出的值域，而根据值域中恰有10个不同整数，可以得到对应的等差数列的项数为10，然后求出n即可.‎ ‎【详解】的对称轴为，则有 ‎①，即时，在上单调递减， 的值域为， 数列，，，共10项， ，解得； ②，即时，‎ 由n是整数，，即， ， 显然不满足在值域中有10个不同整数，即这种情况不存在； ③时，在上单调递增， 的值域为， 等差数列，，，共10项， ，， 综上得或4. 故答案为：-6或4.‎ ‎【点睛】考查函数值域的概念，二次函数的对称轴，以及根据二次函数的单调性及取得顶点情况和比较端点值的方法求二次函数的值域，结合了等差数列的通项公式的应用，属难题.‎ ‎11.设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】当时，代入题中不等式显然不成立 当时，令， ，都过定点 考查函数，令，则 与轴的交点为 时，均有 也过点 解得或（舍去），‎ 故 ‎12.设单调函数的定义域为，值域为，如果单调函数使得函数的值域也是，则称函数是函数的一个“保值域函数”．已知定义域为的函数，函数与互为反函数，且是的一个“保值域函数”，是的一个“保值域函数”，则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反函数性质以及“保值域函数”定义可得的值域等于的定义域，再根据对应区间单调性分类讨论值域取法，最后根据对应关系确定a,b，解得结果.‎ ‎【详解】根据“保值域函数”的定义可知；如果函数是函数的一个“保值域函数”，那么的值域就等于的定义域．所以， 的值域等于的定义域； 的值域等于的定义域．因为函数与互为反函数，所以的定义域等于的值域．因此的值域等于的定义域．函数，‎ 所以在是单调递减，在是单调递增．（1）当时， ，消元得到，解得，舍去；（2）当时， ，整理可得，解得，故 ‎【点睛】本题属于定义题，有点难．需要在审题过程中把题干上给的定义读懂，理解透彻，灵活运用，对学生能力要求高．本题需要注意两点：（1）复合函数中内涵数的值域等于外函数的定义域，所以能够得出的值域就等于的定义域；（2）互为反函数的两个函数，一个函数定义域等域另一个的值域，这个性质是解本题的关键．本题易错的是遗忘了定义中对函数单调的要求．‎ 二. 选择题 ‎13.“”是“”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】由得，则{1}， 故“”是“”的充分不必要条件， 所以A选项是正确的.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查利用集合法进行判断，可熟记“谁小谁充分，谁大谁必要”口诀，属基础题.‎ ‎14.已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】由题为上的减函数，则，‎ 解得或.‎ 故选C.‎ 本题主要考查函数单调性.‎ ‎15.已知定义域为R的函数f(x)在上为减函数，且函数y=f(x+8)为偶函数,则（ ）‎ A. f(6)>f(7) B. f(6)>f(9) C. f(7)>f(9) D. f(7)>f(10)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由函数图象平移规则可知，‎ 函数由向右平移8个单位所得，‎ 所以函数关于对称，‎ 因为在区间上递减，在上递增，‎ 所以，‎ ‎，‎ 故选D.‎ 本题主要考查函数的奇偶性.‎ ‎16.定义域和值域均为（常数）的函数和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题：‎ ‎（1）方程有且仅有三个解；‎ ‎（2）方程有且仅有三个解；‎ ‎（3）方程有且仅有九个解；‎ ‎（4）方程有且仅有一个解；‎ 那么，其中正确命题的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，依次判断：‎ ‎（1）由于，可得方程有且仅有三个解； （2）由于，可得方程最多三个解； （3）方程的解最多有九个解； （4）由于，可得方程有且仅有一个解.‎ 最后可求得结果.‎ ‎【详解】（1）方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解；g（x）有三个不同值，由于y＝g（x）是减函数，所以有三个解，正确；‎ ‎（2）方程g[f（x）]＝0有且仅有三个解；从图中可知，f（x）∈（0，a）可能有1，2，3个解，不正确；‎ ‎（3）方程f[f（x）]＝0有且仅有九个解；类似（2）不正确；‎ ‎（4）方程g[g（x）]＝0有且仅有一个解．结合图象，y＝g（x）是减函数，故正确．‎ 故答案为：①④．‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的图象及其性质、复合函数的图象与性质、方程的解与函数的零点之间的关系，考查了推理能力，考查了数形结合的思想方法，属于中档题.‎ 三. 解答题 ‎17.已知集合，集合，集合.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，试确定实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简集合A，B，然后求B的补集，再求与A的交集即可；（2）求出A与B的交集，讨论a的符号，再根据包含关系得到关于a的不等式组，求解即可.‎ ‎【详解】（1）依题意得：或，‎ 所以；‎ ‎（2）由题意知a0，，‎ ‎①若，则，由得，解得，‎ ‎②若，则，由得，解得，‎ 综上，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，集合的包含关系判断及应用，交集及其运算，补集及其运算，属中档题.‎ ‎18.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图）．‎ ‎（1）若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数的解析式；‎ ‎（2）要使公园所占面积最小，则休闲区的长和宽该如何设计？‎ ‎【答案】（1）；（2）长100米、宽为40米.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)设休闲区宽为a米，则长为ax米，‎ 由a2x＝4000，得a＝.‎ 则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160‎ ‎＝4000＋(8x＋20)·＋160‎ ‎＝80(2＋)＋4160(x>1)．‎ ‎(2)80(2＋)＋4160≥80×2＋4160＝1600＋4160＝5760.‎ 当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.‎ 所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）判断的奇偶性；‎ ‎ （2）若在是增函数，求实数的范围.‎ ‎【答案】（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 对任意，，为偶函数．‎ 当时，，‎ 取，得，‎ ‎，函数既不是奇函数，也不是偶函数．‎ ‎（2）设，‎ ‎，‎ 要使函数在上为增函数，必须恒成立．‎ ‎，即恒成立．‎ 又，．的取值范围是．‎ ‎20.已知定义在区间上两个函数和，，，.‎ ‎（1）求函数的最大值；‎ ‎（2）若在区间单调，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，若对于任意，总存在，使恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据二次函数的图象和性质，先将函数f(x)的解析式进行配方，然后讨论对称轴与区间[1，2]的位置关系，可求出函数y= f(x)的最大值m(a)；（2）对函数求导，分在区间单调递增或单调递减两种情况进行讨论，转化成或恒成立问题求解即可；（3）根据题意求出g(x)的最大值，然后使，注意对a进行分类讨论，然后建立关系式，分别解之即可求出a的范围．‎ ‎【详解】（1），‎ 则当时，，‎ 当时，，‎ 所以；‎ ‎（2），依题意，‎ ‎①在上恒成立，即在上恒成立，则；‎ ‎②在上恒成立，即在上恒成立，则.‎ 综上，实数的取值范围为或.‎ ‎（3）依题意可得，，当时，由（2）知在上单调递减，则，由（1）得：‎ ‎①当时，，解得，所以；‎ ‎②当时，，解得，所以.‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】本题主要考查含参数的二次函数在闭区间上的最值问题，利用导数研究函数的单调性以及任意性和存在性问题转化为最值的方法，考查学生分类讨论思想和转化思想的应用，综合性较强，属中档题.‎ ‎21.如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对于定义域内任意，都有成立，则称此函数具有“性质”.‎ ‎（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值的集合，若不具有“性质”，请说明理由；‎ ‎（2）已知函数具有“性质”，且当时，，求函数在区间上的值域；‎ ‎（3）已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数的图像与直线有2017个公共点，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2），函数值域为；，函数的值域为；，函数的值域为；‎ ‎，函数的值域为；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可知，由待定系数法可求得； ‎ ‎（2）由新定义可推出为偶函数，从而求出在上的解析式，讨论m与的关系判断的单调性得出的最值；  （3）根据新定义可知为周期为2的偶函数，作出的函数图象，根据函数图象得出p的值.‎ ‎【详解】（1）假设具有“性质”，则恒成立， ‎ 等式两边平方整理得，，因为等式恒成立，‎ 所以，解得，‎ 则所有的值的集合为；‎ ‎（2）因为函数具有“性质”，‎ 所以恒成立，是偶函数.     设，则，.   ①当时，函数在上递增，值域为.   ②当时，函数在上递减，在上递增，  ，，值域为.      ③当时，，，值域为. ④时，函数在上递减，值域为.    （3）既具有“性质”，即，函数为偶函数，  又既具有“性质”，即，  函数 是以2为周期的函数.     作出函数的图象如图所示：   由图象可知，当时，函数与直线交于点，即有无数个交点，不合题意.    当时，在区间上，函数有1008个周期，要使函数的图象与直线有2017个交点，  则直线与函数y=g(x)的图像在每个周期内都应有2个交点，且第2017个交点恰好为，所以， 同理，当时，， 综上，.‎ ‎【点睛】本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题与最值求解的相互转化，综合考查分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎