高考数学总复习第九章解析几何课时规范练50抛物线理新人教A版

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课时规范练 50 抛物线 一、基础巩固组 1.(2017 广西桂林一模)若抛物线 y2=2px(p>0)上的点 A(x0, )到其焦点的距离是点 A 到 y 轴距离的 3 倍,则 p 等于( ) A. B.1 C. D.2 2.O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 x 的焦点,P 为抛物线 C 上一点,若|PF|=4 ,则△POF 的面积为 ( ) A.2 B.2 C.2 D.4 3.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3,则|AB|等于 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 4.(2017 山西运城模拟)已知抛物线 x2=ay 与直线 y=2x-2 相交于 M,N 两点,若 MN 中点的横坐标为 3, 则此抛物线方程为( ) A.x2= y B.x2=6y C.x2=-3y D.x2=3y 5.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,若|AB|=6,则线段 AB 的中 点 M 的横坐标为( ) A.2 B.4 C.5 D.6 6.(2017 黑龙江大庆二模,理 11)已知抛物线 y2=4x,过焦点 F 作直线与抛物线交于点 A,B(点 A 在 x 轴下方),点 A1 与点 A 关于 x 轴对称,若直线 AB 斜率为 1,则直线 A1B 的斜率为( ) A. B. C. D. 7.如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A,B,交其准线 l 于点 C,若|BC|=2|BF|, 且|AF|=3,则此抛物线的方程为 ( ) A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2= x 〚导学号 21500763〛 8.已知抛物线 y2=4x,过焦点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 y 轴的垂线,垂足分别 为 C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 . 9.已知点 F 为抛物线 y2=12x 的焦点,过点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限内的交点为 A,过 A 作 AH 垂直抛物线的准线于 H,若直线 l 的倾斜角α∈ ,则△AFH 面积的最小值为 . 10.(2017 全国Ⅱ,理 16)已知 F 是抛物线 C:y2=8x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N, 若 M 为 FN 的中点,则|FN|= . 〚导学号 21500764〛 二、综合提升组 11.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和 的最小值是( ) A. B.2 C. D.3 12. (2017 河北衡水中学三调,理 11)如图,已知抛物线的方程为 x2=2py(p>0),过点 A(0,-1)作直线与抛 物线相交于 P,Q 两点,点 B 的坐标为(0,1),连接 BP,BQ,设 QB,BP 与 x 轴分别相交于 M,N 两点.如果 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为-3,则∠MBN 的大小等于( ) A. B. C. D. 13.(2017 北京顺义二模,理 13)已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线为 l,若 l 与圆 x2+y2+6x+5=0 的交点 为 A,B,且|AB|=2 ,则 p 的值为 . 14. (2017 石家庄二中模拟,理 20)已知点 F(1,0),动点 M,N 分别在 x 轴,y 轴上运动,MN ⊥NF,Q 为平面上 一点, =0,过点 Q 作 QP 平行于 x 轴交 MN 的延长线于点 P. (1)求点 P 的轨迹曲线 E 的方程; (2)过点 Q 作 x 轴的垂线 l,平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分别交曲线 E 于 A,B 两点(直线 AB 不过点 F),交 l 于 C,D 两点.若线段 AB 中点的轨迹方程为 y2=2x-4,求△CDF 与△ABF 的面积之比. 〚导学号 21500765〛 三、创新应用组 15.(2017 山东菏泽一模)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,以抛物线 C 上的点 M(x0,2 为圆心的圆与 y 轴相切,与线段 MF 相交于点 A,且被直线 x= 截得的弦长为 |MA|, 若 =2,则|AF|= . 课时规范练 50 抛物线 1.D 由题意,3x0=x0+ ,∴x0= , =2. ∵p>0,∴p=2,故选 D. 2 .C 利用|PF|=xP+ =4 ,可得 xP=3 ∴yP=±2 S△POF= |OF|·|yP|=2 故选 C. 3.D 由题设知线段 AB 的中点到准线的距离为 4. 设 A,B 两点到准线的距离分别为 d1,d2. 由抛物线的定义知 |AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8. 4.D 设点 M(x1,y1),N(x2,y2). 由 消去 y, 得 x2-2ax+2a=0, 所以 =3,即 a=3, 因此所求的抛物线方程是 x2=3y. 5.A ∵抛物线 y2=4x,∴p=2.设 A,B 两点的横坐标分别为 x1,x2,利用抛物线定义,AB 中点横坐标为 x0= (x1+x2)= (|AB|-p)=2,故选 A. 6.C 抛物线 y2=4x 上的焦点 F(1,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2),A1(x1,-y1), 则可设直线 AB 的方程为 y=x-1,联立方程 可得 x2-6x+1=0, 则有 x1+x2=6,x1x2=1, 直线 A1B 的斜率 k= , 所以直线 A1B 的斜率为 ,故选 C. 7.C 如图,分别过点 A,B 作 AA1⊥l 于点 A1,BB1⊥l 于点 B1, 由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|. ∵|BC|=2|BF|, ∴|BC|=2|BB1|. ∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°. 连接 A1F,则△AA1F为等边三角形,过点 F 作 FF1⊥AA1 于点 F1,则 F1 为 AA1 的中点,设 l 交 x 轴于 点 K, 则|KF|=|A1F1|= |AA1|= |AF|,即 p= , 故抛物线方程为 y2=3x. 8.2 由题意知 F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB| 取得最小值. 依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4 时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为 2. 9.36 设点 A 的坐标为(x,y)(y>0),直线 l 的倾斜角 ,则 x≥9. 故△AFH 的面积 S= (x+3)y. 令 t=S2= (x+3)2×12x=3x(x+3)2. 则 t'=3(x+3)2+6x(x+3)=3(x+3)(3x+3)>0,函数 t 单调递增. 故当 x=9 时,S 最小,此时 =3×9×122,即 Smin=36 10.6 设 N(0,a),由题意可知 F(2,0). 又 M 为 FN 的中点, 则 M 因为点 M 在抛物线 C 上, 所以 =8,即 a2=32, 即 a=±4 所以 N(0,±4 ). 所以|FN| = =6. 11.B 由题可知 l2:x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线,设抛物线的焦点为 F(1,0),则动点 P 到 l2 的距离等 于|PF|,则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值,即焦点 F 到直线 l1:4x-3y+6=0 的距离, 所以最小值是 =2. 12.D 设直线 PQ 的方程为 y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 得 x2-2pkx+2p=0, 则 x1+x2=2pk,x1x2=2p, kBP= ,kBQ= , kBP+kBQ= = = = =0, 即 kBP+kBQ=0, ① 又 kBP·kBQ=-3, ② 联立①②解得 kBP= ,kBQ= - , 所以∠BNM= ,∠BMN= , 故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN= ,故选 D. 13.4 或 8 抛物线 y2=2px 的焦点 F ,准线 x=- ,准线与 x 轴相交于点 H.圆 x2+y2+6x+5=0 的标准 方程为(x+3)2+y2=4,则圆心 E(-3,0),半径为 2,假设抛物线的准线在圆心的右侧, 由|AB|=2 ,则 A ,则|AH|= ,|AE|=2, ∴|EH|=1,则|EH|+ =|OE|, 即 1+ =3,则 p=4. 设抛物线的准线在圆心的左侧,由|AB|=2 ,则 A , 则|AH|= ,|AE|=2, 则|OE|+|EH|= , 即 3+1= ,则 p=8, ∴p 的值为 4 或 8. 14.解 (1)设 P(x,y),由 N 为 Q,F 的中点可得 N为 P,M 的中点,则 M,N 分别为 M(- x,0),N , 由 =0 可得点 P 的轨迹方程为 y2=4x. (2)设直线 AB 与 x 轴的交点为 G(a,0), 设 A ,B , A,B 中点为 M(x,y), 当 AB 与 x 轴不垂直时, 由 kAB=kMG 得 , 而 =y,则 , 即 y2=2(x-a),即 a=2. 当 AB 与 x 轴垂直时,A,B 中点 M 与 G(a,0)重合,此时 a=2. 由 N 为 Q,F 的中点,可知过点 Q 作 x 轴的垂线 l 即为抛物线 y2=4x 的准线, S△CDF= |y1-y2|·2,S△ABF= |y1-y2|·|a-1|= |y1-y2|·1, ∴△CDF 与△ABF 的面积之比为 2. 15.1 由抛物线的定义得|MF|=x0+ ∵圆与 y 轴相切,∴|MA|=x0. ∵圆被直线 x= 截得的弦长为 |MA|,圆心到直线 x= 的距离为 |MA|, ∴|MA|=2 , ∴2 =x0,解得 x0=p. ∴M(p,2 ),∴2p2=8,∴p=2. =2,∴|AF|= |MA|= p=1,∴|AF|=1.