益阳市中考数学试题及答案word含解析

益阳市中考数学试题及答案word含解析

2015 年湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．（5 分）（2015•益阳）下列实数中，是无理数的为（　　） 　A ． B． C．0 D ． ﹣3 考点：无理数． 分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有 理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数 是无理数．由此即可判定选择项． 解答：解：A、是无理数，选项正确； B、是分数，是有理数，选项错误； C、是整数，是有理数，选项错误； D、是整数，是有理数，选项错误． 故选 A． 点评：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π 等；开方开 不尽的数；以及像 0.1010010001…，等有这样规律的数． 　 2．（5 分）（2015•益阳）下列运算正确的是（　　） 　A ． x2•x3=x6 B．（x3）2=x5 C．（xy2）3=x3y6 D ． x6÷x3=x2 考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 分析：根据同底数幂的乘法，可判断 A；根据幂的乘方，可判断 B；根据积的乘方，可判断 C；根据同底数幂的除法，可判断 D． 解答：解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 A 错误； B、幂的乘方底数不变指数相乘，故 B 错误； C、积的乘方等于乘方的积，故 C 正确； D、通敌数幂的除法底数不变指数相减，故 D 错误； 故选：C． 点评：本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 　 3．（5 分）（2015•益阳）某小组 5 名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳 动时间”的这组数据，以下说法正确的是（　　） 劳动时间（小时） 3 3.5 4 4.5 人 数 1 1 2 1 　A ． 中位数是 4，平均数是 3.75 B．众数是 4，平均数是 3.75 　C．中位数是 4，平均数是 3.8 D 众数是 2，平均数是 3.8 ． 考点：中位数；加权平均数；众数． 分析：根据众数和中位数的概念求解． 解答：解：这组数据中 4 出现的次数最多，众数为 4， ∵共有 5 个人， ∴第 3 个人的劳动时间为中位数， 故中位数为：4， 平均数为： =3.8． 故选 C． 点评：本题考查了中位数、平均数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概 念． 　 4．（5 分）（2015•益阳）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　） 　A ． 三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D ． 长方体 考点：由三视图判断几何体． 分析：根据三视图的知识，正视图为两个矩形，侧视图为一个矩形，俯视图为一个三角形， 故这个几何体为直三棱柱． 解答：解：根据图中三视图的形状，符合条件的只有直三棱柱，因此这个几何体的名称是直 三棱柱． 故选：B． 点评：本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认 识． 　 5．（5 分）（2015•益阳）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，以下说法错 误的是（　　） 　A ． ∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D ． OA=AD 考点：矩形的性质． 分析：矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结 论． 解答：解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA= AC，OB= BD， ∴OA=OB， ∴A、B、C 正确，D 错误， 故选：D． 点评：本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键． 　 6．（5 分）（2015•益阳）下列等式成立的是（　　） 　A ． + = B． = 　C． = D ． =﹣ 考点：分式的混合运算． 专题：计算题． 分析：原式各项计算得到结果，即可做出判断． 解答：解：A、原式= ，错误； B、原式不能约分，错误； C、原式= = ，正确； D、原式= =﹣ ，错误， 故选 C 点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 7．（5 分）（2015•益阳）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售 额从 20 万元增加到 80 万元．设这两年的销售额的年平均增长率为 x，根据题意可列方程为 （　　） 　A ． 20（1+2x）=80 B．2×20（1+x）=80 C．20（1+x2）=80 D ． 20（1+x）2=80 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 专题：增长率问题． 分析：根据第一年的销售额×（1+平均年增长率）2=第三年的销售额，列出方程即可． 解答：解：设增长率为 x，根据题意得 20（1+x）2=80， 故选 D． 点评：本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为 a，变化 后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1±x）2=b．（当增 长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）． 　 8．（5 分）（2015•益阳）若抛物线 y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则 m 的取值 范围为（　　） 　A ． m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D ． ﹣1＜m＜0 考点：二次函数的性质． 分析：利用 y=ax2+bx+c 的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶 点的横坐标和纵坐标都大于 0 列出不等式组． 解答：解：由 y=（x﹣m）2+（m+1）=x2﹣2mx+（m2+m+1）， 根据题意， ， 解不等式（1），得 m＞0， 解不等式（2），得 m＞﹣1； 所以不等式组的解集为 m＞0． 故选 B． 点评：本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难 度较大． 　 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上） 9．（5 分）（2015•益阳）计算： =　4　． 考点：二次根式的乘除法． 专题：计算题． 分析：原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可． 解答：解：原式= = =4． 故答案为：4 点评：此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 10．（5 分）（2015•益阳）已知 y 是 x 的反比例函数，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小．请 写出一个满足以上条件的函数表达式　y= （x＞0），答案不唯一　． 考点：反比例函数的性质． 专题：开放型． 分析：反比例函数的图象在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大，则反比例函数 的反比例系数 k＜0；反之，只要 k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值 y 随自 变量 x 的增大而增大． 解答：解：只要使反比例系数大于 0 即可．如 y= （x＞0），答案不唯一． 故答案为：y= （x＞0），答案不唯一． 点评：本题主要考查了反比例函数 y= （k≠0）的性质： ①k＞0 时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内 y 随 x 的增大而减小； ②k＜0 时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内 y 随 x 的增大而增大． 　 11．（5 分）（2015•益阳）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的 概率为　 　． 考点：列表法与树状图法． 分析：列举出所有情况，看甲没排在中间的情况占所有情况的多少即为所求的概率． 解答：解：甲、乙、丙三个同学排成一排拍照有以下可能： 甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部 6 种情况， 有 4 种甲没在中间， 所以甲没排在中间的概率是 = ． 故答案为 ． 点评：本题考查用列举法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之 比． 　 12．（5 分）（2015•益阳）如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，⊙O 的半径为 1，则 的 长为　 　． 考点：弧长的计算；正多边形和圆． 分析：求出圆心角∠AOB 的度数，再利用弧长公式解答即可． 解答：解：∵ABCDEF 为正六边形， ∴∠AOB=360°× =60°， 的长为 = ． 故答案为： ． 点评：此题将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性 质． 　 13．（5 分）（2015•益阳）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成　1　的一组图案，第 1 个图案中有 6 根小棒，第 2 个图案中有 11 根小棒，…，则第 n 个图案中有　5n+1　根小 棒． 考点：规律型：图形的变化类． 分析：由图可知：第 1 个图案中有 5+1=6 根小棒，第 2 个图案中有 2×5+2﹣1=11 根小棒， 第 3 个图案中有 3×5+3﹣2=16 根小棒，…由此得出第 n 个图案中有 5n+n﹣（n﹣1） =5n+1 根小棒． 解答：解：∵第 1 个图案中有 5+1=6 根小棒， 第 2 个图案中有 2×5+2﹣1=11 根小棒， 第 3 个图案中有 3×5+3﹣2=16 根小棒， … ∴第 n 个图案中有 5n+n﹣（n﹣1）=5n+1 根小棒． 故答案为：5n+1． 点评：此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规 律解决问题． 　 三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 14．（8 分）（2015•益阳）化简：（x+1）2﹣x（x+1）． 考点：整式的混合运算． 分析：利用完全平方公式和整式的乘法计算，进一步合并得出答案即可． 解答：解：原式=x2+2x+1﹣x2﹣x =x+1． 点评：此题考查整式的混合运算，掌握计算方法与计算公式是解决问题的关键． 　 15．（8 分）（2015•益阳）如图，直线 AB∥CD，BC 平分∠ABD，∠1=65°，求∠2 的度数． 考点：平行线的性质． 分析：由平行线的性质得到∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，由 BC 平分∠ABD，得到 ∠ABD=2∠ABC=130°，于是得到结论． 解答：解：∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°， ∵BC 平分∠ABD， ∴∠ABD=2∠ABC=130°， ∴∠BDC=180°﹣∠ABD=50°， ∴∠2=∠BDC=50°． 点评：本题考查了平行线的性质和角平分线定义等知识点，解此题的关键是求出∠ABD 的度 数，题目较好，难度不大． 　 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 16．（10 分）（2015•益阳）如图，直线 l 上有一点 P1（2，1），将点 P1 先向右平移 1 个单位， 再向上平移 2 个单位得到像点 P2，点 P2 恰好在直线 l 上． （1）写出点 P2 的坐标； （2）求直线 l 所表示的一次函数的表达式； （3）若将点 P2 先向右平移 3 个单位，再向上平移 6 个单位得到像点 P3．请判断点 P3 是否 在直线 l 上，并说明理由． 考点：一次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解 析式． 分析：（1）根据“左加右减、上加下减”的规律来求点 P2 的坐标； （2）设直线 l 所表示的一次函数的表达式为 y=kx+b（k≠0），把点 P1（2，1），P2（3， 3）代入直线方程，利用方程组来求系数的值； （3）把点（6，9）代入（2）中的函数解析式进行验证即可． 解答：解：（1）P2（3，3）． （2）设直线 l 所表示的一次函数的表达式为 y=kx+b（k≠0）， ∵点 P1（2，1），P2（3，3）在直线 l 上， ∴ ， 解得 ． ∴直线 l 所表示的一次函数的表达式为 y=2x﹣3． （3）点 P3 在直线 l 上．由题意知点 P3 的坐标为（6，9）， ∵2×6﹣3=9， ∴点 P3 在直线 l 上． 点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及一次函 数图象的几何变换．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平 移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 　 17．（10 分）（2015•益阳）2014 年益阳市的地区生产总值（第一、二、三产业的增加值之和） 已进入千亿元俱乐部，如图表示 2014 年益阳市第一、二、三产业增加值的部分情况，请根 据图中提供的信息解答下列问题 （1）2014 年益阳市的地区生产总值为多少亿元？ （2）请将条形统计图中第二产业部分补充完整； （3）求扇形统计图中第二产业对应的扇形的圆心角度数． 考点：条形统计图；扇形统计图． 分析：（1）用第一产业增加值除以它所占的百分比，即可解答； （2）算出第二产业的增加值即可补全条形图； （3）算出第二产业的百分比再乘以 360°，即可解答． 解答：解：（1）2375÷19%=1250（亿元）； （2）第二产业的增加值为 1250﹣237.5﹣462.5=550（亿元），画图如下： （3）扇形统计图中第二产业部分的圆心角为 ． 点评：本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计 图中得到必要的信息是解决问题的关键． 　 18．（10 分）（2015•益阳）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠CAB=∠ACB， 过点 B 作 BE⊥AB 交 AC 于点 E． （1）求证：AC⊥BD； （2）若 AB=14，cos∠CAB= ，求线段 OE 的长． 考点：菱形的判定与性质；平行四边形的性质；解直角三角形． 分析：（1）根据∠CAB=∠ACB 利用等角对等边得到 AB=CB，从而判定平行四边形 ABCD 是菱形，根据菱形的对角线互相垂直即可证得结论； （2）分别在 Rt△AOB 中和在 Rt△ABE 中求得 AO 和 AE，从而利用 OE=AE﹣AO 求 解即可． 解答：解：（1）∵∠CAB=∠ACB， ∴AB=CB， ∴▱ABCD 是菱形． ∴AC⊥BD； （2）在 Rt△AOB 中，cos∠CAB= = ，AB=14， ∴AO=14× = ， 在 Rt△ABE 中，cos∠EAB= = ，AB=14， ∴AE= AB=16， ∴OE=AE﹣AO=16﹣ = ． 点评：本题考查了解直角三角形及菱形的判定与性质、平行四边变形的判定与性质的知识， 解题的关键是读懂题意，选择合适的边角关系，难度不大． 　 五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分） 19．（12 分）（2015•益阳）大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生 产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产 6 天后剩余原材料 36 吨， 当生产 10 天后剩余原材料 30 吨．若剩余原材料数量小于或等于 3 吨，则需补充原材料以保 证正常生产． （1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数； （2）若生产 16 天后，根据市场需求每天产量提高 20%，则最多再生产多少天后必须补充 原材料？ 考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用． 分析：（1）设初期购得原材料 a 吨，每天所耗费的原材料为 b 吨，根据“当生产 6 天后剩余 原材料 36 吨，当生产 10 天后剩余原材料 30 吨．”列出方程组解决问题； （2）最多再生产 x 天后必须补充原材料，根据若剩余原材料数量小于或等于 3 吨列 出不等式解决问题． 解答：解：（1）设初期购得原材料 a 吨，每天所耗费的原材料为 b 吨， 根据题意得： ． 解得 ． 答：初期购得原材料 45 吨，每天所耗费的原材料为 1.5 吨． （2）设再生产 x 天后必须补充原材料， 依题意得：45﹣16×15﹣15（1+20%）x≤3， 解得：x≥10． 答：最多再生产 10 天后必须补充原材料． 点评：此题考查一元一次不等式组的实际运用，二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含 的数量关系与不等关系是解决问题的关键． 　 20．（12 分）（2015•益阳）已知点 P 是线段 AB 上与点 A 不重合的一点，且 AP＜PB．AP 绕点 A 逆时针旋转角 α（0°＜α≤90°）得到 AP1，BP 绕点 B 顺时针也旋转角 α 得到 BP2，连 接 PP1、 PP2． （1）如图 1，当 α=90°时，求∠P1PP2 的度数； （2）如图 2，当点 P2 在 AP1 的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA； （3）如图 3，过 BP 的中点 E 作 l1⊥BP，过 BP2 的中点 F 作 l2⊥BP2，l1 与 l2 交于点 Q，连 接 PQ，求证：P1P⊥PQ． 考点：几何变换综合题． 分析：（1）利用旋转的性质以及等腰直角三角形得出∠APP1=∠BPP2=45°，进而得出答案； （2）根据题意得出△PAP1 和△PBP2 均为顶角为 α 的等腰三角形，进而得出 ∠P1PP2=∠PAP2=α，求出△P2P1P∽△P2PA； （3）首先连结 QB，得出 Rt△QBE≌Rt△QBF，利用∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB 求 出即可． 解答：（1）解：由旋转的性质得：AP=AP1，BP=BP2． ∵α=90°， ∴△PAP1 和△PBP2 均为等腰直角三角形， ∴∠APP1=∠BPP2=45°， ∴∠P1PP2=180°﹣∠APP1﹣∠BPP2=90°； （2）证明：由旋转的性质可知△PAP1 和△PBP2 均为顶角为 α 的等腰三角形， ∴∠APP1=∠BPP2=90°﹣ ， ∴∠P1PP2=180°﹣（∠APP1+∠BPP2）=180°﹣2（90° ）=α， 在△PP2P1 和△P2PA 中，∠P1PP2=∠PAP2=α， 又∵∠PP2P1=∠AP2P， ∴△P2P1P∽△P2PA． （3）证明：如图，连接 QB． ∵l1，l2 分别为 PB，P2B 的中垂线， ∴EB= BP，FB= BP2． 又 BP=BP2， ∴EB=FB． 在 Rt△QBE 和 Rt△QBF 中， ， ∴Rt△QBE≌Rt△QBF， ∴∠QBE=∠QBF= ∠PBP2= ， 由中垂线性质得：QP=QB， ∴∠QPB=∠QBE= ， 由（2）知∠APP1=90°﹣ ， ∴∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB=180°﹣（90°﹣ ） =90°， 即 P1P⊥PQ． 点评：此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定和全等三角形的判定与性质等 知识，得出 Rt△QBE≌Rt△QBF 是解题关键． 　 六、解答题（本题满分 15 分） 21．（15 分）（2015•益阳）已知抛物线 E1：y=x2 经过点 A（1，m），以原点为顶点的抛物线 E2 经过点 B（2，2），点 A、B 关于 y 轴的对称点分别为点 A′，B′． （1）求 m 的值及抛物线 E2 所表示的二次函数的表达式； （2）如图 1，在第一象限内，抛物线 E1 上是否存在点 Q，使得以点 Q、B、B′为顶点的三 角形为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，P 为第一象限内的抛物线 E1 上与点 A 不重合的一点，连接 OP 并延长与抛物 线 E2 相交于点 P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）直接将（2，2）代入函数解析式进而求出 a 的值； （2）由题意可得，在第一象限内，抛物线 E1 上存在点 Q，使得△QBB′为直角三角形， 由图象可知直角顶点只能为点 B 或点 Q，分别利用当点 B 为直角顶点时以及当点 Q 为直角顶点时求出 Q 点坐标即可； （3）首先设 P（c，c2）、P′（d， ），进而得出 c 与 d 的关系，再表示出△PAA′与 △P′BB′的面积进而得出答案． 解答：解：（1）∵抛物线 E1 经过点 A（1，m）， ∴m=12=1． ∵抛物线 E2 的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为 y=ax2（a≠0）， 又∵点 B（2，2）在抛物线 E2 上， ∴2=a×22， 解得：a= ， ∴抛物线 E2 所对应的二次函数表达式为 y= x2． （2）如图 1，假设在第一象限内，抛物线 E1 上存在点 Q，使得△QBB′为直角三角形， 由图象可知直角顶点只能为点 B 或点 Q． ①当点 B 为直角顶点时，过 B 作 QB⊥BB′交抛物线 E1 于 Q， 则点 Q 与 B 的横坐标相等且为 2，将 x=2 代入 y=x2 得 y=4， ∴点 Q 的坐标为（2，4）． ②当点 Q 为直角顶点时，则有 QB′2+QB2=B′B2，过点 Q 作 GQ⊥BB′于 G， 设点 Q 的坐标为（t，t2）（t＞0）， 则有（t+2）2+（t2﹣2）2+（2﹣t）2+（t2﹣2）2=4， 整理得：t4﹣3t2=0， ∵t＞0，∴t2﹣3=0，解得 t1= ，t2=﹣ （舍去）， ∴点 Q 的坐标为（ ，3）， 综合①②，存在符合条件的点 Q 坐标为（2，4）与（ ，3）； （3）如图 2，过点 P 作 PC⊥x 轴，垂足为点 C，PC 交直线 AA′于点 E， 过点 P′作 P′D⊥x 轴，垂足为点 D，P′D 交直线 BB′于点 F， 依题意可设 P（c，c2）、P′（d， ） （c＞0，c≠q）， ∵tan∠POC=tan∠P′OD， ∴ = ， ∴d=2c． ∵AA′=2，BB′=4， ∴ = = = = ． 点评：此题主要考查了二次函数综合以及直角三角形的性质和三角形面积求法，根据题意利 用分类讨论得出是解题关键．