上海市浦东新区建平中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

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www.ks5u.com 上海市建平中学2018_2019学年高一下期末数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、填空题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分.‎ ‎1.和的等差中项为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设和的等差中项为，利用等差中项公式可得出的值.‎ ‎【详解】设和的等差中项为，由等差中项公式可得，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等差中项的求解，解题时要充分利用等差中项公式来求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知，，若，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用共线向量等价条件列等式求出实数的值.‎ ‎【详解】，，且，，因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用共线向量来求参数，解题时要充分利用共线向量坐标表示列等式求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.设函数，则值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反正切函数的值域，结合条件得出的值.‎ ‎【详解】，且，因此，，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查反正切值的求解，解题时要结合反正切函数的值域以及特殊角的正切值来求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.已知数列为等比数列，，，则数列的公比为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为，由可求出的值.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，则，，因此，数列的公比为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列公比的计算，在等比数列的问题中，通常将数列中的项用首项和公比表示，建立方程组来求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎5.已知，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式将等式化简，可求出的值.‎ ‎【详解】由诱导公式可得，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，在利用诱导公式处理化简求值的问题时，要充分理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎6.已知无穷等比数列的首项为，公比为，则其各项的和为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据无穷等比数列求和公式求出等比数列的各项和.‎ ‎【详解】由题意可知，等比数列的各项和为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列各项和的求解，解题的关键就是利用无穷等比数列求和公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7.__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在分式的分子和分母上同时除以，然后利用极限的性质来进行计算.‎ ‎【详解】，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉一些常见的极限，并充分利用极限的性质来进行计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎8.已知，若方程的解集为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将利用辅助角公式化简，可得出的值.‎ ‎【详解】，‎ 其中，，因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用辅助角公式化简计算，化简时要熟悉辅助角变形的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎9.在锐角中，角、、所对的边为、、，若的面积为，且，，则的弧度为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形的面积公式求出的值，结合角为锐角，可得出角的弧度数.‎ ‎【详解】由三角形的面积公式可知，的面积为，‎ 得，为锐角，因此，的弧度数为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎10.数列满足，设为数列的前项和，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用裂项求和法将数列的通项化简，并求出，由此可得出的值.‎ ‎【详解】，.‎ ‎，‎ 因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查裂项法求和，要理解裂项求和法对数列通项结构的要求，并熟悉裂项法求和的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎11.设为数列的前项和，若，则数列的通项公式为__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令时，求出，再令时，求出的值，再检验的值是否符合，由此得出数列的通项公式.‎ ‎【详解】当时，，‎ 当时，，不合适上式，‎ 当时，，不合适上式，‎ 因此，，.‎ 故答案为：,.‎ ‎【点睛】本题考查利用前项和求数列的通项，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12.已知等比数列、、、满足，，，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列、、、的公比为，由和计算出的取值范围，再由可得出的取值范围.‎ ‎【详解】设等比数列、、、的公比为，‎ ‎，，，所以，，，.‎ 所以，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式及其性质，解题的关键就是利用已知条件求出公比的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、选择题（每题3分，满分36分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知基本单位向量，，则的值为（）‎ A. 1 B. 5 C. 7 D. 25‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出向量的坐标，再利用向量的求模公式计算出的值.‎ ‎【详解】由题意可得，因此，，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查向量模的计算，解题的关键就是求出向量的坐标，并利用坐标求出向量的模，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎14.在学习等差数列时，我们由，，，，得到等差数列的通项公式是，象这样由特殊到一般的推理方法叫做（）‎ A. 不完全归纳法 B. 数学归纳法 C. 综合法 D. 分析法 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题干中的推理由特殊到一般的推理属于归纳推理，但又不是数学归纳法，从而可得出结果.‎ ‎【详解】本题由前三项的规律猜想出一般项的特点属于归纳法，但本题并不是数学归纳法，因此，本题中的推理方法是不完全归纳法，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查归纳法的特点，判断时要区别数学归纳法与不完全归纳法，考查对概念的理解，属于基础题.‎ ‎15.设为数列的前项和，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，由求出值，再令时，由得出 ‎，两式相减可推出数列是等比数列，求出该数列的公比，再利用等比数列求和公式可求出的值.‎ ‎【详解】当时，，得；‎ 当时，由得出，两式相减得，可得.‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用前项和求数列通项，同时也考查了等比数列求和，在递推公式中涉及与时，可利用公式求解出，也可以转化为来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎16.小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有、、三个木桩，木桩上套有编号分别为、、、、、、的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到木桩上，则所需的最少次数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设桩上有个圆环，将个圆环从木桩全部套到木桩上，需要最少的次数为，根据题意求出数列的递推公式，利用递推公式求出数列的通项公式，从而得出的值，可得出结果.‎ ‎【详解】假设桩上有个圆环，将个圆环从木桩全部套到木桩上，需要最少的次数为，可这样操作，先将个圆环从木桩全部套到木桩上，至少需要的次数为，然后将最大的圆环从木桩套在木桩上，需要次，在将木桩上个圆环从木桩套到木桩上，至少需要的次数为，所以，，易知.‎ 设，得，对比得，‎ ‎，且，‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，‎ ‎，因此，，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查数列递推公式的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，解题的关键就是利用题意得出数列的递推公式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知点是重心，.‎ ‎（1）用和表示；‎ ‎（2）用和表示.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设的中点为，可得出，利用重心性质得出 ‎，由此可得出关于、的表达式；‎ ‎（2）由，得出，再由，可得出关于、的表达式.‎ ‎【详解】（1）设的中点为，则，，‎ 为的重心，因此，；‎ ‎（2），，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查利基底表示向量，应充分利用平面几何中一些性质，将问题中所涉及的向量利用基底表示，并结合平面向量的线性运算法则进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎18.已知函数，.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）求函数的最小值和取得最小值时的取值.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角公式将函数的解析式化简得，再利用周期公式可得出函数的最小正周期；‎ ‎（2）由可得出函数的最小值和对应的的值.‎ ‎【详解】（1），‎ 因此，函数的最小正周期为；‎ ‎（2）由（1）知，当，即当时，‎ 函数取到最小值.‎ ‎【点睛】本题考查利用二倍角公式化简，同时也考查了正弦型函数的周期和最值的求解，考查学生的化简运算能力，属于基础题.‎ ‎19.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量已知，.‎ ‎（1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；‎ ‎（2）霍尔顿发现麦田生长于土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在和中分别对使用余弦定理，可推出与的关系，即可得出是一个定值；‎ ‎（2）求出表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出的最大值.‎ ‎【详解】（1）在中，由余弦定理得，‎ 在中，由余弦定理得，，‎ 则，；‎ ‎（2），，‎ 则，‎ 由（1）知：，代入上式得：‎ ‎，‎ 配方得：，‎ 当时，取到最大值.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形面积的求法以及二次函数最值的求解，解题的关键就是利用题中结论将问题转化为二次函数来求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎20.已知.‎ ‎（1）求的坐标；‎ ‎（2）设，求数列的通项公式；‎ ‎（3）设，，其中为常数，，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；‎ ‎（3）当时，；‎ 当或时，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用题中定义结合平面向量加法的坐标运算可得出结果；‎ ‎（2）利用等差数列的求和公式和平面向量加法的坐标运算可得出数列的通项公式；‎ ‎（3）先计算出的表达式，然后分、、三种情况计算出的值.‎ ‎【详解】（1）由题意得；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎①当时，；‎ ‎②当时，；‎ ‎③当时，.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查等差数列求和以及数列极限的运算，计算时要充分利用数列极限的运算法则进行求解，综合性较强，属于中等题.‎ ‎21.无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项、、、中等于的项的个数.‎ ‎（1）若，求和的值；‎ ‎（2）已知命题 存在正整数，使得，判断命题的真假并说明理由；‎ ‎（3）若对任意正整数，都有恒成立，求的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）真命题，证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意直接写出、、的值，可得出结果；‎ ‎（2）分和两种情况讨论，找出使得等式成立的正整数，可得知命题为真命题；‎ ‎（3）先证明出“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件，由此可得出，然后利用定义得出，由此可得出的值.‎ ‎【详解】（1）根据题意知，对任意正整数，为前项、、、中等于的项的个数，‎ 因此，，，；‎ ‎（2）真命题，证明如下：‎ ‎①当时，则，，，此时，当时，；‎ ‎②当时，设，则，，，‎ 此时，当时，.‎ 综上所述，命题为真命题；‎ ‎（3）先证明：“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件.‎ 假设存在，使得“存在，当时，恒有成立”.‎ 则数列的前项为，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 后面的项顺次为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故对任意的，‎ ‎，‎ 对任意的，取，其中表示不超过的最大整数，则，‎ 令，则，此时，‎ 有，这与矛盾，‎ 故若存在，当时，恒有成立，必有；从而得证.‎ 另外：当时，数列为，‎ 故，则.‎ ‎【点睛】本题考查数列知识的应用，涉及到命题真假的判断，同时也考查了数列新定义问题，解题时要充分从题中数列的定义出发，充分利用分类讨论思想，综合性强，属于难题.‎ ‎ ‎