人教版8年级上册数学全册课时十字相乘法分解因式导学案

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人教版8年级上册数学全册课时十字相乘法分解因式导学案

1 十字相乘法进行因式分解 【学习目标】 (1)理解二次三项式的意义; (2)理解十字相乘法的根据; (3)能用十字相乘法分解二次三项式; (4)重点是掌握十字相乘法,难点是首项系数不为 1 的二次三项式的十字相乘法. 学习重点:理解十字相乘法的根据。 学习难点:能用十字相乘法分解二次三项式。 学习过程: 1.二次三项式 多项式 cbxax 2 ,称为字母 x 的二次三项式,其中 2ax 称为二次项,bx 为一次项,c 为常数项.例 如, 322  xx 和 652  xx 都是关于 x 的二次三项式. 在多项式 22 86 yxyx  中,如果把 y 看作常数,就是关于 x 的二次三项式;如果把 x 看作常数, 就是关于 y 的二次三项式. 在多项式 372 22  abba 中,把 ab 看作一个整体,即 3)(7)(2 2  abab ,就是关于 ab 的二次 三项式.同样,多项式 12)(7)( 2  yxyx ,把 x+y 看作一个整体,就是关于 x+y 的二次三项式. 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法. 2.十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用(ax+b)(cx+d)竖式乘法法则.它的一般规律是: (1)对于二次项系数为 1 的二次三项式 qpxx 2 ,如果能把常数项 q 分解成两个因数 a,b 的积, 并且 a+b 为一次项系数 p,那么它就可以运用公式 ))(()(2 bxaxabxbax  分解因式.这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项”.公式中的 x 可以表示单项式,也可以表 示多项式,当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同; 2 当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符 号相同. (2)对于二次项系数不是 1 的二次三项式 cbxax 2 (a,b,c 都是整数且 a≠0)来说,如果存在四 个整数 2121 ,,, ccaa ,使 aaa  21 , ccc  21 ,且 bcaca  1221 , 那么 cbxax 2 ))(()( 2211211221 2 21 cxacxaccxcacaxaa  它的特征是“拆两头,凑 中间”,这里要确定四个常数,分析和尝试都要比首项系数是 1 的情况复杂,因此,一般要借助“画十 字交叉线”的办法来确定.学习时要注意符号的规律.为了减少尝试次数,使符号问题简单化,当二 次项系数为负数时,先提出负号,使二次项系数为正数,然后再看常数项;常数项为正数时,应分解 为两同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同;常数项为负数时,应将它分解为两异号因数, 使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.用十字相乘法分解因式,还要注 意避免以下两种错误出现:一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数;二是由 十字相乘写出的因式漏写字母.如: )45)(2(865 22  xxyxyx 3.因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤:先考虑能否提公因式,再考虑能否运用公式或十字相乘法,最后考 虑分组分解法.对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上步骤可用口诀概 括如下:“首先提取公因式,然后考虑用公式、十字相乘试一试,分组分解要合适,四种方法反复试, 结果应是乘积式”. 【典型例题】 例 1 把下列各式分解因式: (1) 1522  xx ;( 2) 22 65 yxyx  . 例 2 把下列各式分解因式: (1) 352 2  xx ;( 2) 383 2  xx . 例 3 把下列各式分解因式: (1) 910 24  xx ; 3 (2) )(2)(5)(7 23 yxyxyx  ; (3) 120)8(22)8( 222  aaaa . 例 4 分解因式: 90)242)(32( 22  xxxx . 例 5 分解因式 653856 234  xxxx . 例 6 分解因式 6552 22  yxyxyx . . 例 7 分解因式:ca(c-a)+bc(b-c)+ab(a-b). 例 8 已知 126 24  xxx 有一个因式是 42  axx ,求 a 值和这个多项式的其他因式. 例 9 分解因式: 222 10235 yabyba  .
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