2018-2019学年安徽省宣城市高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省宣城市高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省宣城市高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设，，则　　‎ A． B．， C． D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用一元二次不等式的解法以及对数函数的单调性，求出集合，，然后进行交集的运算即可。‎ ‎【详解】‎ ‎，；‎ ‎，故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域及单调性，以及交集的运算．‎ ‎2．设为虚数单位，复数满足，则　　‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可。‎ ‎【详解】‎ 由，得，‎ ‎，故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算。‎ ‎3．设等差数列的前项和为．若，，则　　‎ A．9 B．8 C．7 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用等差数列的通项公式及前项和公式，求得 和的值，即可求出．‎ ‎【详解】‎ 由，，‎ ‎，‎ 解得，，则，故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的通项公式及前项和公式的应用。‎ ‎4．已知变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为　　‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 作出可行域如图，‎ 联立，解得，‎ 化目标函数为，‎ 由图可知，当直线过时，有最大值为9，故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单的线性规划问题的解法。‎ ‎5．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得平移后的解析式，再令2xkπ，求得结论．‎ ‎【详解】‎ 将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为 y＝sin（2x），‎ 令2xkπ，求得x，k∈Z，故函数的对称中心为（，0），k∈Z，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．‎ ‎6．斐波那契螺旋线，也称“黄金蜾旋线”，是根据斐波那契数列（1，1，2，3，5，8…）画出来的螺旋曲线，由中世纪意大利数学家列奥纳多•斐波那契最先提出．如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据几何概型的概率公式，分别求出阴影部分面积和矩形ABCD的面积，即可求得。‎ ‎【详解】‎ 由已知可得：矩形的面积为，‎ 又阴影部分的面积为，‎ 即点取自阴影部分的概率为，故选。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查面积型的几何概型的概率求法。‎ ‎7．设，，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】依换底公式可得，从而得出，而根据对数函数的单调性即可得出，从而得出，，的大小关系．‎ ‎【详解】‎ 由于，；‎ ‎，又，．故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小以及换底公式的应用。‎ ‎8．给出下列命题：‎ ‎①过圆心和圆上的两点有且只有一个平面 ‎②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 ‎③若直线上有无数个点不在平面内，则 ‎④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 ‎⑤垂直于同一个平面的两条直线平行 其中正确的命题的个数是　　‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】依照立体几何相关知识，逐个判断各命题的真假。‎ ‎【详解】‎ 在①中，当圆心和圆上两点共线时，过圆心和圆上的两点有无数个平面，故①错误；‎ 在②中，若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线平行或异面，都没有公共点，故②正确；‎ 在③中，若直线上有无数个点不在平面内，则与相交或平行，故③错误；‎ 在④中，如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或在这个平面内，故④错误；‎ 在⑤中，由线面垂直的性质定理得垂直于同一个平面的两条直线平行，故⑤正确．‎ 故选．‎ ‎9．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（　　）‎ A．华为的全年销量最大 B．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量 C．华为销量最大的是第四季度 D．三星销量最小的是第四季度 ‎【答案】A ‎【解析】根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项，，都错误．‎ ‎【详解】‎ 根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大；‎ 每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；，，都错误，故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对销量百分比堆积图的理解。‎ ‎10．函数的大致图象为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】判断函数的奇偶性和对称性，利用的符号进行排除即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 函数是奇函数，图象关于原点对称，排除 ‎，排除，故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.‎ ‎11．已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，焦距为，C的一条渐近线被以F为圆心，OF为半径的圆F所截得的弦长为2，则C的方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据点到直线的距离公式，可求出点F到渐近线的距离刚好为，由圆的知识列出方程，通过焦距为，求出，即可得到双曲线方程．‎ ‎【详解】‎ 为坐标原点，双曲线的右焦点为，焦距为，可得，‎ 的一条渐近线被以为圆心，为半径的圆所截得的弦长为2，因为点F到渐近线的距离刚好为，所以可得即有，则，‎ 所以双曲线方程为：．故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，意在考查学生的数学运算能力．‎ ‎12．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则 的取值范围是（ ）‎ A．（0，+∞） B．（0，1） C．（－∞，0） D．（0，）‎ ‎【答案】D ‎【解析】由方程的解与函数图象的交点关系得：方程有五个不同的实数根等价于的图象与的图象有5个交点，作图可知，只需与曲线在第一象限有两个交点即可。利用导数求过某点的切线方程得：过原点的直线与相切的直线方程为，即所求的取值范围为，得解．‎ ‎【详解】‎ 设，则的图象与的图象关于原点对称，‎ 方程有五个不同的实数根等价于函数的图象与的图象有5个交点，由图可知，只需与曲线在第一象限有两个交点即可，‎ 设过原点的直线与切于点，，由，‎ 则过原点的直线与相切，，‎ 又此直线过点，所以，‎ 所以，即（e），‎ 即过原点的直线与相切的直线方程为，‎ 即所求的取值范围为，故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了方程的解与函数图象的交点个数问题的关系应用及利用导数求切线方程。‎ 二、填空题 ‎13．已知平面向量，满足｜｜＝2，｜｜＝3，－＝（，），则｜+｜＝　　　.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得：，可得．再利用数量积运算性质即可得出．‎ ‎【详解】‎ 由已知得：，‎ ‎．．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的模的公式应用，意在考查学生的数学运算能力。‎ ‎14．执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为　　　.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由程序框图知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，‎ 模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 模拟执行如图所示的程序框图如下，‎ 判断，第1次执行循环体后，，，；‎ 判断，第2次执行循环体后，，，；‎ 判断，第3次执行循环体后，，，；‎ 判断，退出循环，输出的值为4．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对含有循环结构的程序框图的理解，模拟程序运算可以较好地帮助理解程序的算法功能。‎ ‎15．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，过作，垂足为，的中点为，若，则__‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】由题意画出图形，利用几何知识得到直线的斜率，进一步求得直线的方程，与抛物线方程联立，由弦长公式即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意画出图形如图，‎ ‎，为的中点，且，‎ ‎，则直线的倾斜角为，斜率为．‎ 由抛物线，得，则直线的方程为．‎ 联立，得．‎ 则，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线位置关系的应用，以及弦长的求法。‎ ‎16．在三棱锥中，，，，记三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则__‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意画出图形，取中点，连接，，可得平面，求其面积，得到三棱锥的体积为，取中点，连接，则为三棱锥的外接球的半径，求出三棱锥的外接球的体积为，作比得答案．‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ 取中点，连接，，则，，‎ 且，．‎ 在中，由，，，‎ 得，．‎ 则．‎ ‎，即；‎ 取中点，连接，则为三棱锥的外接球的半径，‎ ‎．‎ 三棱锥的外接球的体积为．‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查多面体及其外接球的体积的求法，意在考查学生的直观想象和数学运算能力。‎ 三、解答题 ‎17．设数列的前项和为．已知，．‎ ‎（1）若，证明：数列是等差数列；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）由题意可得，再由等差数列的定义即可得证；‎ ‎（2）求得，即，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简可得所求和．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以可化为 ‎，‎ 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列。‎ ‎（2）由（1），知，所以，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的定义、通项公式、等差（等比）数列的前项和公式，以及数列的分组求和法的应用。‎ ‎18．在中，角，，所对的边分别为，，，已知．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1），根据余弦定理可得，，的关系式，再利用余项定理求出，从而得到的值；‎ ‎（2）根据第一问结论，用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式求出面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在中，由已知及余弦定理得，‎ 整理得所以 因为，所以.‎ ‎（注：也可以用正弦定理）‎ ‎（2）在中，由余弦定理得，因为 所以，解得，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了（正）余弦定理的应用和三角形的面积公式，意在考查学生的计算能力和转化思想。‎ ‎19．如图，矩形中，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）由，即可得面，即可证明平面平面；‎ ‎（2）过作，垂直为，以为原点，建立空间直角坐标系（如图）．‎ 求得平面的法向量为．则，即可求出与平面所成角的正弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在中，，又，，平面 则平面，从而，又，，‎ 则平面又平面，从而平面平面.‎ ‎（2）过作，垂足为，由（1）知平面.‎ 以为原点，为轴正方向如图建立空间直角坐标系.‎ 不妨设，则，.‎ 则，设为平面的一个法向量，‎ 则，令，则，‎ 设，则 故与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面垂直，面面垂直判定定理的应用，以及利用向量法求直线与平面所成角的大小，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力。‎ ‎20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为4，且过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于、两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在直线满足题设条件,详见解析 ‎【解析】（1）由已知列出关于，，的方程组，解得，，，写出结果即可；‎ ‎（2）由已知可得，，．所以，因为，所以可设直线的方程为，代入椭圆方程整理，得．设，，，，由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式，再由垂心的性质列出方程求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知可得，‎ 解得，，，所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）由已知可得，，∴.∵，‎ ‎∴可设直线的方程为，代入椭圆方程整理，‎ 得.设，‎ 则，∵.‎ 即 ‎∵‎ 即，∵‎ ‎∴或.‎ 由，得 又时，直线过点，不合要求，∴，‎ 故存在直线满足题设条件.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系应用，以及垂心的定义应用。意在考查学生的数学运算能力。‎ ‎21．设函数，曲线在点，（1））处的切线与轴垂直．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若存在，使得，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）求得的导数，利用导数的几何意义可得切线的斜率，解方程可得；‎ ‎（2）依据的导数，讨论的范围，结合单调性可得最小值，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），由题设知，解得.‎ ‎（2）解：的定义域为，由（1）知，，‎ ‎（i）若，则 故当，使得的充要条件为，‎ 即，解得 ‎（ii）若，则，‎ 故当时，；当时，；‎ 所以在单调递减，在单调递增，‎ 所以，存在，使得的充要条件为 ‎，所以不合题意 ‎（iii）若，则时，在上单调递减，但是 ‎，∴‎ 综上所述，的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的运用：利用导数的几何意义求切线的斜率，研究单调性和极值，意在考查学生分类讨论思想、方程思想的运用能力以及数学运算能力。‎ ‎22．某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办随机统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可认为该贫困地区农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得.利用该正态分布，求：‎ ‎（i）在2018年脱贫攻坚工作中，该地区约有的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？‎ ‎（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数约为多少？‎ 参考数据：.若，则；；.‎ ‎【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）（i）;（ii）978.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用公式求解 ‎（Ⅱ）（i）由正态分布的性质得出，从而得出最低年收入；‎ ‎（ii）根据题意恰好有个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是， 根据的范围得出与的关系，从而得出结果。‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ） （千元），‎ ‎（Ⅱ）由题意，‎ ‎（i）因为，‎ 所以时满足题意，‎ 即最低年收入大约为千元；‎ ‎（ii）由 得，每个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为，‎ 记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为，‎ 则， ‎ 于是恰好有个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是， ‎ 从而由 所以当时，‎ 当时，‎ 由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数大约为978.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查概率与统计的相关知识，解题的关键是对平均值公式、正态曲线图象的特征、独立重复试验特征等要正确的记忆与理解。‎