2019-2020学年山东省临沂市蒙阴县实验中学高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省临沂市蒙阴县实验中学高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2019-2020 学年山东省临沂市蒙阴县实验中学高二上学期期 末考试数学试题 一、单选题 1．设 ，则下列各不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用作差法比较 即可. 【详解】 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 . 故选： . 【点睛】 本题考查作差法比较式子的大小，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题. 2．已知向量 ， .若向量 与向量 平行，则实数 的值是（ ） A．6 B．-6 C．4 D．-4 【答案】D 【解析】求出向量 的坐标，利用向量共线定理即可得出． 【详解】 解： ， 又因为向量 与向量 平行 所以存在实数 ，使得 0a b< < 2 2a ab b< < 2 2a ab b> > 2 2a b ab< < 2 2a b ab> > 2 2, ,a ab b 2 ( ) 0a ab a a b− = − > 2a ab> 2 ( ) 0= − >− b a bab b 2ab b> 2 2a ab b> > B ( )0,1,1a = ( )1, 2,1b = − a b+  ( ),2,c m n= n a b+  ( )0,1,1a =  ( )1, 2,1b = − ( )1, 1,2a b∴ + = −  a b+  ( ),2,c m n= λ ( )a b cλ + =   解得 故选： 【点睛】 本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．已知椭圆 ： ，若长轴长为 6，且两焦点恰好将长轴三等分， 则此椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 椭圆长轴为 ，焦点恰好三等分长轴，所以 椭圆方程为 ，故选 B. 4．已知等比数列 为单调递增数列，设其前 项和为 ，若 ， ，则 的值为（ ） A．16 B．32 C．8 D． 【答案】A 【解析】利用等比数列的通项公式、前 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此 能求出 ． 【详解】 解： 等比数列 为单调递增数列， 设其前 项和为 ， ， ， ， 解得 ， ， ． 2 2 m n λ λ λ = ∴ = −  = 2 2 4 m n λ = − ∴ = −  = − D C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 136 32 x y+ = 2 2 19 8 x y+ = 2 2 19 5 x y+ = 2 2 116 12 x y+ =  6 2 6, 3,a a= = 2 26 6, 1, 1 8,c c b a∴ = = = − = ∴ 2 2 19 8 x y+ = { }na n nS 2 2a = 3 7S = 5a 1 4 n 5a  { }na n nS 2 2a = 3 7S = ∴ 2 1 3 1 3 2 (1 ) 71 a a q a qS q = =  − = = − 1 1a = 2q = 4 4 5 1 1 2 16a a q∴ = = × = 故选： ． 【点睛】 本题考查数列的第 5 项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算 能力，属于基础题． 5．下列不等式或 命题一定成立的是（ ） ① ； ② ； ③ ； ④ 最小值为 2. A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【解析】根据基本不等式的性质一一验证. 【详解】 解：① ，由基本不等式可得 当且仅当 时取等号，故正确； ② 可以取负值，故 不成立，故错误； ③由基本不等式可得 当且仅当 时取等号，故正确； ④当 时 故错误. 故选： 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 6．已知关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值 范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得出关于 的不等式 的解集为 ，由此得 A ( )2 1lg lg 04x x x + ≥ >   ( )1sin 2 ,ksinx x kx π+ ≥ ≠ ∈Ζ ( )2 1 2x x x+ ≥ ∈ R ( )2 2 3 2 xy x Rx += ∈+ 0x > 2 1 124 2x x x+ ≥ ⋅ ⋅ = ( )2 1lg lg 04x x x ∴ + ≥ >   1 2x = sin x ( )1sin 2 ,ksinx x kx π+ ≥ ≠ ∈Ζ 2 1 2 1 2x x x+ ≥ ⋅ ⋅ = 1x = 0x = 2 2 0 3 3 20 2 2y += = <+ C x ( ) ( )2 24 2 1 0a x a x− + − − ≥ a 62, 5  −   62, 5  −   6 ,25  −   ( ] [ ),2 2,−∞ +∞ x ( ) ( )2 24 2 1 0a x a x− + − − < R 出 或 ，在 成立时求出实数 的值代入不等式进行验证， 由此解不等式可得出实数 的取值范围. 【详解】 由题意知，关于 的不等式 的解集为 . （1）当 ，即 ． 当 时，不等式 化为 ，合乎题意； 当 时，不等式 化为 ，即 ，其解 集不为 ，不合乎题意； （2）当 ，即 时． 关于 的不等式 的解集为 . ，解得 ． 综上可得，实数 的取值范围是 ．故选：C． 【点睛】 本题考查二次不等式在 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和 判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题. 7．设 为数列 的前 项和，满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据 可求数列 的通项公式，利用等比数列的 前 项和求 . 【详解】 解： 当 时， ，解得 ， 当 时， ， ， 2 4 0a − = 2 4 0 0 a − < ∆ < 2 4 0a − = a a x ( ) ( )2 24 2 1 0a x a x− + − − < R 2 4 0a − = 2a = ± 2a = ( ) ( )2 24 2 1 0a x a x− + − − < 1 0− < 2a = − ( ) ( )2 24 2 1 0a x a x− + − − < 4 1 0x− − < 1 4x > − R 2 4 0a − ≠ 2a ≠ ±  x ( ) ( )2 24 2 1 0a x a x− + − − < R 2 4 0 0 a − <∴∆ < 26 5 a− < < a 6 ,25  −   R nS { }na n 2 3n nS a= − 6S = 192 96 93 189 1 1 1 2n n n S na S S n− ==  − ≥ { }na n 6S 2 3n nS a= − 1n = 1 12 3S a= − 1 3a = 1n ≥ 1 12 3n nS a− −= − ( )1 12 3 2 3n n n nS S a a− −∴ − = − − − 故 是以 ， 的等比数列， 故选： 【点睛】 本题考查利用 求 ，以及等比数列的前 项和，属于基础题. 8．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，离心率为 ，若椭圆 上存在点 ，使得 ，则该离心率 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 结合椭圆离心率的定义可得 ，可求 得 ，而 ，从而可求得离心率 的取值范围． 【详解】 解：依题意，得 ， ，又 ， ，不等号两端同除以 得， ， ，解得 ， 又 ， ． 12 2n n na a a −∴ = − 12n na a −∴ = 1 2n n a a − ∴ = { }na 1 3a = 2q = 13 2n na −∴ = ⋅ ( )6 6 3 1 2 1891 2S − ∴ = =− D nS na n ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 1F 2F e P 1 2 PF ePF = e )2 1,1 − 2 ,12      (0, 2 1−  20, 2       1 2 PF ePF = 1 2 1 2 2 2 21 1PF PF PF a ePF PF PF ++ = = = + 2 2 1 aPF e = + 2a c PF a c− +  e 1 2 1 2 2 2 21 1PF PF PF a ePF PF PF ++ = = = + 2 2 1 aPF e ∴ = + 2a c PF a c− +  2 1 aa c a ce ∴ − ++  a 21 11e ee − ++  ∴ 21 2 1 2 e e  − +   2 1e − 0 1e< < ∴ 2 1 1e− < 即 故选： 【点睛】 本题考查椭圆的离心率及椭圆的简单几何性质，求得 ，利用 解决问题是关键，也是难点，属于中档题． 9．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日 脚痛减一半，如此六日过其关。”则下列说法错误的是（ ） A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路 程多六里. C．此人第三天走的路程占全程的 D．此人后三天共走了 42 里路 【答案】C 【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以 为公比的等比数列，由 S6=378 求得 首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答 案． 二、多选题 10．给出下面四个推断，其中正确的为（ ）. A．若 ，则 ； B．若 则 ； C．若 ， ，则 ； D．若 ， ，则 . 【答案】AD 【解析】由均值不等式满足的条件为“一正、二定、三相等”，可得选项 A,D 正确，选项 B，C 错误. 【详解】 解：对于选项 A，因为 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，即选项 A 正确； 对于选项 B，当 时， ， 显然不 )2 1,1e ∈ − A 2 2 1 aPF e = + 2a c PF a c− +  1 8 1 2 , (0, )a b∈ +∞ 2b a a b +  , (0, )x y∈ +∞ lg lg 2 lg lgx y x y+ ⋅ a∈R 0a ≠ 4 4aa +  ,x y∈R 0xy < 2x y y x + ≤ − , (0, )a b∈ +∞ 2 2b a b a a b a b + × = b a a b = a b= , (0,1)x y ∈ lg ,lg ( ,0)x y ∈ −∞ lg lg 2 lg lgx y x y+ ⋅ 成立，即选项 B 错误； 对于选项 C，当 时， 显然不成立，即选项 C 错误； 对于选项 D， ，则 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，即选项 D 正确， 即四个推段中正确的为 AD， 故答案为：AD. 【点睛】 本题考查了均值不等式，重点考查了“一正、二定、三相等”，属基础题. 11．若数列 满足：对任意正整数 ， 为递减数列，则称数列 为“差 递减数列”.给出下列数列 ，其中是“差递减数列”的有（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】分别求出四个选项中数列 对应的 ，再进行判断. 【详解】 对 ，若 ，则 ，所以 不为递减数列，故 错误； 对 ，若 ，则 ，所以 为递增数列， 故 错误； 对 ，若 ，则 ，所以 为递减 数列，故 正确； 对 ，若 ，则 ，由函数 在 递减，所以数 为递减数列，故 正确. 故选： . 【点睛】 0a < 4 4aa +  0xy < 0, 0y x x y − > − > [( ) ( )] 2 ( ) ( ) 2x y x y x y y x y x y x + = − − + − ≤ − − × − = − ( ) ( )x y y x − = − x y= − { }na n { }1n na a+ − { }na { }( )* na n N∈ 3na n= 2 1na n= + na n= ln 1n na n = + { }( )* na n N∈ { }1n na a+ − A 3na n= 1 3( 1) 3 3n na a n n+ − = + − = { }1n na a+ − A B 2 1na n= + 2 2 1 ( 1) 2 1n na a n n n+ − = + − = + { }1n na a+ − B C na n= 1 11 1n na a n n n n+ − = + − = + + { }1n na a+ − C D ln 1n na n = + 1 2 1 1 1 1ln ln ln ln(1 )2 1 2 2n n n n n na a n n n n n n+ + + +− = − = ⋅ = ++ + + + 2 1ln(1 )2y x x = + + (0, )+∞ { }1n na a+ − D CD 本题考查数列新定义、数列单调性及递推关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想， 考查逻辑推理能力和运算求解能力. 12．若将正方形 沿对角线 折成直二面角，则下列结论中正确的是（ ） A．异面直线 与 所成的角为 B． C． 是等边三角形 D．二面角 的平面角正切值是 【答案】ABCD 【解析】作出正方形 翻折后的立体几图形，再对选项进行逐个分析. 【详解】 如图所示，设正方形的边长为 2， 对 ，设三角形 运动到 ，连接 交 于 ，连 ，因为 ，所以 为正三角形，所以 异面直线 与 所成的 角为 ，故 正确； 对 ，因为 ，所以 平面 ， 平 面 ，所以 ，故 正确； 对 ，由 选项的证明，同理可得 ，所以可推理得 是等边 三角形，故 正确； 对 ，取 的中点 ，连接 ， ， ， 为 的中点， ， 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， ， ， 平面 ， 平面 ， ，所以 为二面角 的平面角， 所以 ，故 正确； 故选： . ABCD BD AB CD 60° AC BD⊥ ACD∆ A BC D− − 2 ABCD A A 'A AC BD O 'AA 2 ' 2' 2AA AO AO= + = 'AA B∆ AB CD 60° A B , ,BD AO BD CO AO BO O⊥ ⊥ ∩ = BD ⊥ AOC AC ⊂ AOC AC BD⊥ B C A 2AC AD CD= = = ACD∆ C D BC M AM OM AB AD= O BD AO BD∴ ⊥  ABD ⊥ BCD ABD ∩ BCD BD= AO ⊂ ABD AO∴ ⊥ BCD BC ⊂ BCD AO BC∴ ⊥ OM BC⊥ AO OM O= BC∴ ⊥ AOM AM ⊂ AOM AM BC∴ ⊥ AMO∠ A BC D− − 2tan 21 AOAMO OM ∠ = = = D ABCD 【点睛】 本题考查空间中图形的翻折问题、线面、面面位置关系、异面直线所成角、二面角等知 识，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意翻折前后的 不变量. 三、填空题 13．命题 “ ，都有 ”的否定：______. 【答案】 ，使得 【解析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论． 【详解】 解：命题是全称命题，则命题的否定是： ，有 ； 故答案为： ，有 【点睛】 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 14．不等式 的解集是______． 【答案】 【解析】将分式不等式转化为整式不等式，解得. 【详解】 解： :p 0x∀ > 2 0x x− ≥ 0x∃ > 2 0x x− < 0x∃ > 2 0x x− < 0x∃ > 2 0x x− < 1 3x x − > 1 ,02  −   1 3x x − > 1 3 0x x −∴ − > 1 2 0x x − −∴ > 故不等式的解集为： 故答案为： 【点睛】 本题考查分式不等式的解法，属于基础题. 15．已知双曲线 的离心率为 2，焦点与椭圆 的焦点相同，那么 双曲线的渐近线方程为 【答案】 【解析】试题分析：因为双曲线 的离心率为 2，所以 1+ =4， =3， 又双曲线焦点与椭圆 的焦点相同，即焦点在 x 轴上，故双曲线的 渐近线方程为 。 【考点】本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程及几何性质。 点评：基础题，圆锥曲线中 A,b,c,e 的关系要熟悉，并做到灵活运用。 16．已知 ， 那么 的最小值为______. 【答案】10 【解析】先根据条件消掉 ，即将 代入原式得 ，再裂项并用贴“1”法， 最后运用基本不等式求其最小值． 【详解】 解：因为 ，所以， ， 因此， ( )1 2 0x x∴ − − > ( )2 1 0x x∴ + < 1 02 x∴− < < 1 ,02  −   1 ,02  −   2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 125 9 x y+ = 3y x= ± 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 b a 2 2 b a 3b a = ± 2 2 125 9 x y+ = 3y x= ± 1 2ab = ( ), 0,1a b∈ 1 2 1 1a b +− − b 1 2b a = 1 4 1 2 1 a a a +− − 1 2ab = 1 2b a = 1 2 1 2 11 1 1 1 2 a b a a + = +− − − − ， 当且仅当： ，即 时，取“ ”， 即 的最小值为： ， 故答案为： ． 【点睛】 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，涉及消元，裂项，凑配，贴 1 等恒 等变形，以及取等条件的确定，属于难题． 四、解答题 17．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) ；(2) 【解析】试题分析： （1）根据等差数列基本量的运算求得 ，故可得通项公式．（2）根据数列 通项公式的特点利用裂项相消法求和． 试题解析： （1）设等差数列 的公差为 ， 由题意得 ， 解得 1 4 1 2(2 1) 2 1 2 1 1 2 1 a a a a a a − += + = +− − − − 1 2 12 2( ) 21 2 1 2 1 2 2 1 a a a a = + + = + +− − − − 1 12( )[(2 1) (2 2 )] 22 1 2 2 a aa a = + − + − +− − 2 2 2 12[1 1 ] 22 1 2 2 a a a a − −= + + + +− − 2 2 2 12(2 2 ) 2 102 1 2 2 a a a a − −+ ⋅ + =− − 2 2 2 1 2 1 2 2 a a a a − −=− − 3 4a = = 1 2 1 1a b +− − 10 10 { }na n nS 2 5 25a a+ = 5 55S = { }na 1 3 1n na b n = − { }nb n nT 3 2na n= + .2(3 2)n nT n = + 1 5 3a d= =， { }nb { }na d 2 5 1 5 3 1 2 5 25 5 5 10 55 a a a d S a a d + = + =  = = + = 1 5, 3, a d =  = ( )5 3 1 3 2.na n n∴ = + − = + （2）由（1）得 18．设集合 ， ，若“ ”是“ ”的充分 不必要条件，试求满足条件的实数 组成的集合. 【答案】 【解析】解一元二次方程化简集合 ，再由  求得答案. 【详解】 ∵ ， 由于“ ”是“ ”的充分不必要条件.∴  . 当 时，得 ； 当 时，由题意得 或 . 当 时，得 ；当 时，得 . 综上所述，实数 组成的集合是 . 【点睛】 本题考查充分条件与必要条件、一元二次方程和一次方程的求解，考查函数与方程思想、 分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意讨论的完整性. 19．已知 ，函数 ． （1）若 对 (0，2)恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）当 a＝1 时，解不等式 ． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）分离参数 a，构造函数利用均值不等式求最值即可； （2）分类讨论去绝对值，最后取并集即可． ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 .3 1 3 1 3 2 3 3 1 3 2n n b a n n n n n  = = = − − − + − +  1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 2 5 5 8 3 1 3 2n nT b b b n n  = + + = − + − + + − − +   ( ) 1 1 1 .3 2 3 2 2 3 2 n n n  = − = + +  { }2| 3 2 0A x x x= − + = { }| 1B x ax= = x B∈ x A∈ a 10,1, 2     A B A { } { }2| 3 2 0 1,2A x x x= − + = = x B∈ x A∈ B A B = ∅ 0a = B ≠ ∅ { }1B = { }2B = { }1B = 1a = { }2B = 1 2a = a 10,1, 2     a R∈ 1( )f x a x = − ( ) 2f x x≤ x∈ ( ) 2f x x≥ 2 2a ≤ 1( , ]2 −∞ − 【详解】 （1）∵f（x）≤2x 对 x∈（0，2）恒成立， ∴a≤ +2x 对 x∈（0，2）恒成立， ∵ +2x≥2 ，当且仅当 =2x，即 x= 时等号成立， ∴a （2）当 a=1 时，f（x）=1﹣ ，∵f（x）≥2x，∴1﹣ ≥2x， ①若 x＞0，则 1﹣ ≥2x 可化为：2x2﹣x+1≤0，所以 x∈∅； ②若 x＜0，则 1﹣ ≥2x 可化为：2x2﹣x﹣1≥0，解得：x≥1 或 x≤﹣ ，∵x＜0，∴x≤﹣ ， 由①②可得 1﹣ ≥2x 的解集为：（﹣∞，﹣ ] 【点睛】 本题考查了不等式恒成立及分类讨论思想，属中档题． 20．在平面直角坐标系 中，曲线 上的动点 到点 的距离 减去 到直线 的距离等于 1. (1)求曲线 的方程； (2)若直线 与曲线 交于 ， 两点，求证：直线 与直线 的倾斜 角互补. 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】（1）利用抛物线定义“到定点距离等 2 于到定直线距离的点的轨迹”求动点 的 轨迹； （2）设 直线与抛物线方程联立化为 ， ．由于 ，利用根与系数的关系与斜率计算公式可得：直线 与直线 的斜率之和 0，即可证明 【详解】 1 x 1 x 2 1 x 2 2 2 2≤ 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 1 2 1 x 1 2 xoy C ( )( ), 0M x y x > ( )2,0F M 1x = − C ( )2y k x= + C A B FA FB 2 8y x= P ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 2 2(4 8) 4 0k x k x k+ − + = ( 0)k ≠ > 0∆ FA FB （1）曲线 上的动点 到点 的距离减去 到直线 的距 离等于 1， 所以动点 到直线 的距离与它到点 的距离相等， 故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线 ； （2）证明：设 .联立，得 ，（ ） ∴ ， , ，∴直线线 与直线 的斜率之和： 因为 ∴直线 与直线 的斜率之和为 ， ∴直线 与直线 的倾斜角互补. 【点睛】 本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21．在长方体 中， ， ， 为 中点． （ ）证明： ． （ ）求 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（ ）证明见解析；（ ） ． 【解析】试题分析： 根据已知中长方体 中， C ( )( ), 0M x y x > ( )2,0F M 1x = − M 2x = − ( )2,0F 2 8y x= ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( )2 2 2 24 8 4 0k x k x k+ − + = 0k ≠ > 0∆ 2 1 2 2 8 4kx x k −+ = 1 2 4x x = FA FB ( ) ( )1 21 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 k x k xy y x x x x + ++ = +− − − − ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 k x x k x x k x x x x x x + − + − + −= =− − − − 1 2 4x x = FA FB 0 FA FB 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB BC= = 1 2AA = E 1BB 1 1AC D E⊥ 2 DE 1AD E 1 2 2 3 ( )1 1 1 1 1ABCD A B C D− 是侧棱 的中点，结合长方体的几何特征，我们可得 ,结合线面垂直的判定定理即可得到 平面 ,即可得 出结论。 建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求 与平面 所成角的正弦值。 解析： 证明：连接 是长方体， 平面 又 平面 ， 在长方形 中， ， 又 平面 而 平面 , 如图建立空间直角坐标系 , 则 , 设平面 的法向量为 ,则 令 则 所以 与平面 所成角的正弦值为 11, 2,AB BC AA E= = = 1BB 1 ,D D AC BD AC⊥ ⊥ AC ⊥ 1 1BB D D ( )2 1AD E DE 1AD E ( )1 BD 1 1 1 1ABCD A B C D− 1D D∴ ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD 1D D AC∴ ⊥ ABCD AB BC= BD AC∴ ⊥ 1 ,BD D D D AC∩ = ∴ ⊥ 1 1BB D D 1D E ⊂ 1 1BB D D 1AC D E∴ ⊥ ( )2 D xyz− ( ) ( ) ( ) ( )11,0,0 , 0,0,2 , 1,1,1 , 1,1,0A D E B ( ) ( ) ( ) 1 0,1,1 , 1,0,2 , 1,1,1 AE AD DE → → − → = 1AD E ( ), , n x y z→ = 2 0 0 x z y z − + =  + = 1,z = ( )2 11 n → = −， ， 2 1 1 2, 33 6n DE cos − +∴ → → = = ⋅ DE 1AD E 2 3 22．已知椭圆 ： ( )，F 为左焦点，A 为上顶点， 为右顶 点，若 ，抛物线 的顶点在坐标原点，焦点为 F． （1）求 的标准方程； （2）是否存在过 F 点的直线，与 和 交点分别是 P，Q 和 M，N，使得 ？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2） 或 【解析】分析：（1）由题设有 ，再根据 可得 的值，从而得到 椭圆的标准方程. （2）因为 ，故 ，设直线方程为 ，分别联 立直线与椭圆、直线与抛物线的方程，消去 后利用韦达定理用 表示 ，解出 后即得直线方程. 详解：（1）依题意可知 ，即 ， 由右顶点为 得 ，解得 ，所以 的标准方程为 . （2）依题意可知 的方程为 ，假设存在符合题意的直线， 设直线方程为 ， ， 联立方程组 ，得 ， 由韦达定理得 ，则 ， 联立方程组 ，得 ，由韦达定理得 ，所以 ， 若 ，则 ，即 ，解得 1C 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > (2,0)B 7 2AF AB=  2C 1C 1C 2C 1 2OPQ OMNS S=   2 2 14 3 x y+ = 6 1 03x y+ + = 6 1 03x y− + = 2a = 7 2AF AB=  b 1 2OPQ OMNS S∆ ∆= 1 2PQ MN= 1x ky= − x k ,PQ MN k 7 2AF AB=  2 27 2a a b= + ( )2,0B 2a = 2 3b = 1C 2 2 14 3 x y+ = 2C 2 4y x= 1x ky= − ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , ,P x y Q x y M x y N x y 2 2 1 3 4 12 x ky x y = −  + = ( )2 23 4 6 9 0k y ky+ − − = 1 2 1 22 2 6 9,3 4 3 4 ky y y yk k −+ = =+ + 2 1 2 2 12 4 3 4 ky y k +− = + 2 1 4 x ky y x = −  = − 2 4 4 0y ky+ − = 3 4 3 44 , 4y y k y y+ = − = − 2 3 4 4 1y y k− = + 1 2OPQ OMNS S∆ ∆= 1 2 3 4 1 2y y y y− = − 2 2 2 12 4 2 13 4 k kk + = ++ ， 所以存在符合题意的直线方程为 或 . 点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面 积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程 的解或函数的值域等问题. 6 3k = ± 6 1 03x y+ + = 6 1 03x y− + =