数学文卷·2018届山东省淄博市部分学校高三12月摸底考试（2017

数学文卷·2018届山东省淄博市部分学校高三12月摸底考试（2017

山东省淄博市部分学校2018届高三12月摸底考试 数学（文）试题 本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。共6页，满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 ‎2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。‎ ‎4. 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷（60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 设集合，，则 ‎ A. [-4, -3) B. [-9, -3) C. [-4, -3)∪[1, 9] D. [-9, -3)∪[l, 4] ‎ ‎2. 若复数z满足，则z=‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 下列说法错误的是 A. 命题“”的否定是“”‎ B. 在△ABC中，“sinA＞cosB”是“△ABC为锐角三角形”的充要条件 C. 命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”‎ D. 若pq为假命题，则p，q均为假命题 ‎4. 已知，则的取值范围是 A. (0, 1] B. [2, +∞) C. (0, 4] D. [4, +∞)‎ ‎5. 已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可 能为 ‎ ‎ ‎ A B C D ‎6. 执行右面的程序框图，则输出的结果是 A. -1 B. C. 2 D. 1‎ ‎7. 已知向量，则向量在向量上的投影是 A. 2 B. 1 C. -1 D. -2‎ ‎8. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数 的最小值是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎9. 已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎10. 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，‎ ‎，则按照以上规律，若具有 ‎“穿墙术”，则n=‎ A. 35 B. 48 C. 63 D. 80‎ ‎11. 已知等差数列的前n项和为，且，‎ ‎，则下列结论正确的是 A. B. C. D. ‎ ‎12. 函数和在上都是增函数，且. 若对任意k＞M，存在，使得成立，则称是在上的“D函数”. 已知，下列四个函数：①；②；③；④. 其中是在上的“D函数”的有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 将某班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本，则样本中还有一名学生的编号是 . ‎ ‎14. 在区间内随机取一个数x，则事件“”发生的概率 是 . ‎ ‎15. 设数列满足，且，则数列的前 n项和 . ‎ ‎16. 已知定义在R上的函数满足条件：‎ ‎①对任意x∈R，有；‎ ‎②对任意不同的，都有；‎ ‎③函数的图像关于y轴对称. ‎ 若，则a，b，c的大小关系为 . ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sinA，sinB，sinC成等差数列. ‎ ‎(Ⅰ)若a=2c，求cosA的值；‎ ‎(Ⅱ)设A=90°，且c=2，求△ABC的面积. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 设数列的前n项和为 ，满足，数列满足. ‎ ‎(Ⅰ)求数列，的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设，数列的前n项和为；，证明：.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 今有一组数据如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ m ‎75‎ ‎68‎ 由最小二乘法求得点的回归直线方程是，其中. ‎ ‎(Ⅰ)求m的值，并求回归直线方程；‎ ‎(Ⅱ)设，我们称为点的残差，记为. ‎ 从所给的点中任取两个，求其中有且只有一个点的残差绝对值不大于1的概率. ‎ 参考公式: . ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 设函数是定义域为R的奇函数，. ‎ ‎(Ⅰ)若，求m的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若在上的最小值为-2，求m的值. ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎2017年“双11”前夕，某市场机构随机对中国公民进行问卷调查，用于调研“双11”民众购物意愿和购物预计支出状况. 分类统计后，从有购物意愿的人中随机抽取100人作为样本，将他（她）们按照购物预计支出（单位：千元）分成8组:‎ ‎[0, 2)，[2, 4)，[4, 6)，…，[14, 16]，并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中，样本中购物预计支出不低于1万元的人数为a. ‎ ‎(Ⅰ) (i)求a的值，并估算这100人购物预计支出的平均值；‎ ‎(ii)以样本估计总体，在有购物意愿的人群中，若至少有65%的人购物预计支出不低于x千元，求x的最大值.‎ ‎(Ⅱ) 如果参与本次问卷调查的总人数为t，问卷调查得到下列信息：‎ ‎①参与问卷调查的男女人数之比为2:3；‎ ‎②男士无购物意愿和有购物意愿的人数之比是1:3，女士无购物意愿和有购物意愿的人数之比为1:4；‎ ‎③能以90%的把握认为“双11购物意愿与性别有关”，但不能以95%的把握认为“双11购物意愿与性别有关”.‎ 根据以上数据信息，求t所有可能取值组成的集合M. ‎ 附： ，其中. ‎ 独立检验临界值表：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数. ‎ ‎(Ⅰ)判断函数在区间上的单调性；‎ ‎(Ⅱ)若函数在区间上满足恒成立，求实数a的最小值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 部分学校高三摸底考试 数学试题参考答案及评分说明 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ CABDD BDACC AB 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 13； 14. 15.（文科）；（理科）2016； 16. ‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）由题设，知sinA+sinC=2sinB，由正弦定理，得a+c=2b …………1分 又a=2c，可得， …………3分 所以. …………5分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，a+c=2b，又A=90°，由勾股定理得. …………6分 解方程组，得， …………8分 所以. ……………………分 ‎18.（文科 本小题满分12分）‎ 解：(Ⅰ)在中，当n=l 时，，得 ………………1 分 由，得 作差，得，即 ……………………4 分 所以数列是首项，公比为3的等比数列，所以. 5分 ‎. ……………………6分 ‎(Ⅱ) ………………8分 所以 ‎ ……………………10分 由于，所以. ……………………12分 ‎19.（文科 本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ），……………………2分 由知，所以 解得m=80 ……………………4分 因回归直线经过样本中心，所以，‎ 所以回归直线方程是y= -4x+106. ……………………6分 ‎(Ⅱ)把点记为，由（Ⅰ）得到回归直线方程可知 ‎.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎90‎ ‎86‎ ‎82‎ ‎78‎ ‎74‎ ‎70‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ 残差的绝对值不大于1的点共有3个：A1(4, 90)，A3(6, 83)，A5(8, 75). ……8分 从6个点中任取两个的基本事件：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，‎ ‎{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6} 共15个 ……………………10分 两个点中有且只有一个点的残差绝对值不大于1的基本事件：‎ ‎{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A4}，{A3，A6}，{A4，A5}，‎ ‎{A5，A6} 共9个 ……………………11分 所以在任取的两个点中，有且只有一个点的残差绝对值不大于1的槪率是 ‎. ……………………12分 ‎20.（文科 本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题意，得，即k-1=0，解得k=1 ……………………1分 由，得，解得a=2， （舍去）……………………3 分 所以为奇函数且是R上的单调递增函数. ……………………4分 由，得 ……………………5 分 所以，解得或. ……………………6分 ‎(Ⅱ) ……7 分 令，由 所以 所以，对称轴t=m ……………………9分 ‎(1)时，，解得m=2 ……………………10 分 ‎(2)时， （舍去） …………………11分 所以m=2 …………………………………………12分 ‎21.（文科 本小题满分12分）‎ 解：(Ⅰ) (i)因为(0.02+0.04+0.09+0.10+0.14+b+0.03+0.02)×2=l，‎ 解得b=0.06，所以a=(b+0.03+0.02)×2×l00=22 …………………2 分 由频率分布直方图可知，购物预计支出平均值为：‎ ‎0.02×2×1+0.04×2×3+0.09×2×5+0.10×2×7‎ ‎+0.14×2×9+0.06×2×11+0.03×2×13+0.02×2×15=7.8 ‎ 所以这100人购物预计支出的平均值为7.8（千元）. …………………4分 ‎(ii)由频率分布直方图可知，‎ 前3个小矩形的面枳为：(0.02+0.04+0.09)×2=0.30，‎ 后4个小矩形的面积为：(0.14+0.06+0.03+0.02)×2=0.50，‎ 设x的最大值为y，所以y∈[6, 8)，所以0.3+(y-6)×0.10=l-0.65，‎ 所以y=6.5，所以x的最大值是6.5 …………………6分 ‎(Ⅱ)设无购物意愿的男士人数为m，无购物意愿的女士人数为n，‎ 由已知可以得到如下2×2列联表:‎ 男士 女士 总计 无购物意愿 m n m+n 有购物意愿 ‎3m ‎4n ‎3m+4n 总计 ‎4m ‎5n ‎4m+5n 其中，t=4m+5n=10m …………………8 分 公式，可得:‎ ‎ …………………10分 因为在犯错误槪率不超过0.10的前提下，可以认为“双11”购物意愿与性别有关，但却不能以95%的把握认为“双11购物意愿与性别有关”.‎ 所以，所以，‎ 因为，所以m=80，85,90，95，100，105，‎ 所以M={800，850，900，950，1000，1050} …………………12 分 ‎22.（文科 本小题满分12分） ‎ 解：（Ⅰ）当时， …………………1 分 令，，显然当时，‎ ‎，即函数在区间的单调递减，且，‎ 从而函数在区间上恒小于零 …………………3分 所以在区间上恒小于零，函数在区间上单调递减. ……4分 ‎（Ⅱ）由于，不等式恒成立，即恒成立 …………6分 ‎ 令，，且 …………………8 分 当时，在区间上，即函数单调递减， ‎ 所以，即恒成立 …………………9分 当时，在区间上存在唯一解， ‎ 当时，，故在区间上单调递增，且，‎ 从而在区间上大于零，这与恒成立相矛盾 ………………10分 当时，在区间上，即函数单调递增，且，‎ 得恒成立，这与恒成立相矛盾 …………………11分 故实数a的最小值为1. ……………………………………12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎