2018-2019学年山东省临沂市罗庄区高二上学期1月月考数学试题 Word版

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2018-2019 学年山东省临沂市罗庄区 高二上学期 1 月月考 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．下面四个条件中，使 a b 成立的充分而不必要的条件是（ ） .A 1a b  .B 1a b  .C 2 2a b .D 3 3a b 2．已知条件 : 1p x  ，条件 1: 1q x  ，则 p 是 q 成立的（ ） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 3．抛物线 2 8 1 xy  的准线方程( ) ． A． 32 1x B． 2y C． 4 1x D． 4y 4 .已知向量 (2,3)a  ， ( 1,2)b   ，若 4ma b 与 2a b 共线，则 m 的值为（ ） 1. 2A .2B 1. 2C  . 2D  5．在等差数列 na 中，已知 3 8 10a a  ，则 753 aa  = （ ） A．10 B．18 C．20 D．28 6 ．已知数列{an}的通项公式为 an＝(n＋2)(7 8)n，则当 an 取得最大值时，n 等于( ) A．5 B．6 C．5 或 6 D．7 7 ．若函数 2( ) 2 lnf x x x  在其定义域内的一个子区间 ( 1, 1)k k  内不是．．单调函数，则 实数 k 的取值范围是( )． A． 3(1, )2 B． 3[1, )2 C．[1, 2) D． 3[ , 2)2 8 ．已知 na 是等比数列， 2 2a  ， 5 1 4a  ，则 1 2 2 3 1n na a a a a a     （ ） A．16(1 4 )n B．16(1 2 )n C． 32 (1 4 )3 n D． 32 (1 2 )3 n 9．一动圆与圆 2 23 4x y   外切，同时与圆  2 23 100x y   内切，则动圆圆心的 轨迹为（ ） A、椭圆 B、双曲线的一支 C、抛物线 D、圆 10 ．过抛物线  2 4 0y ax a  的焦点 F 作斜率为 1 的直线 ,l l 与离心率为 e 的双曲线   2 2 2 2 1 0x y ba b    的两条渐近线的交点分别为 ,B C .若 , ,B C Fx x x 分别表示 , ,B C F 的横 坐标，且 2 F B Cx x x   ，则 e  （ ） A． 6 B． 6 C.3 D． 3 11．如图，平面 ABCD⊥平面 ABEF，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ABEF 是 矩形，且 AF＝1 2AD＝a，G 是 EF 的中点，则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值 为( ) A. 6 6 B. 3 3 C. 2 3 D. 6 3 12 ．定义在 R 上的奇函数  y f x 满足  3 0f  ，且当 0x  时，    'f x xf x  恒成 立，则函数     lg 1g x xf x x   的零点的个数为（ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，答案须填在题中横线上． 13．已知 2 3 2,( 0, 0)x yx y     ，则 xy 的最小值是___ ____． 14 ．已知等比数列{ }na 中 2 1a  ，则其前 3 项的和 3S 的取值范围是 ． 15．已知在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点 A1 到截 面 AB1D1 的距离是________． 16．右图是函数 ( )y f x 的导函数 ( )y f x 的图象，给出下列命题： ① 3 是函数 ( )y f x 的极值点； ② 1 是函数 ( )y f x 的极小值点； ③ ( )y f x 在 0x  处切线的斜率小于零； ④ ( )y f x 在区间 ( 2, 1)  上单调递增. 则正确命题的序号是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分 10 分）已知函数 3 2( ) 3f x x ax x   ． (Ⅰ)若 )(xf 在 [1, )x  上是增函数，求实数 a 的取值范围； (Ⅱ)若 3x  是 )(xf 的极值点，求 )(xf 在 [ ,1]x a 上的最小值和最大值． 18．（本小题满分 12 分）数列 na 的前 n项和 nS ， 1 1 2a  ，且 12 0 ( 2)n n na S S n    ． (1) 证明数列 1 nS       为等差数列； （2）数列 na 的通项公式； （3）若 2(1 ) ,( 2, *)n nb n a n n N    ，求证： 2 3 3 4 4 5 1 2 1... 2n nb b b b b b b b      ． 19.某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件．．，需另投入成本为 )(xC ，当年 产 量 不 足 80 千 件 时 ， xxxC 103 1)( 2  （ 万 元 ） . 当 年 产 量 不 小 于 80 千 件 时 ， 14501000051)(  xxxC （万元）.每件．．商品售价为 0.05 万元.通过市场分析，该厂生产 的商品能全部售完. （Ⅰ）写出年利润 )(xL （万元）关于年产量 x （千件．．）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件．．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 20 ．（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 A1B1C1－ABC 中， AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点 D 是 BC 的中点． (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值； (2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 夹角的正弦值． 21．（本小题满分 12 分） 设动点 M 的坐标为 ( , )x y （ x y Î R、 ），向量 a r ( 2, )x y= - ， b r ( + 2, )x y= ，且 +a b r r =8． （1）求动点 ( , )M x y 的轨迹C 的方程； （2）过点 (0,2)N 作直线l 与曲线C 交于 A 、 B 两点，若 +OP OA OB= uuur uur uuur （O 为坐标原 点），是否存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形，若存在，求出直线l 的方程，若不存在， 请说明理由． 22．（本题满分 12 分）已知函数 ( ) ln(2 )x mf x e x  ． （Ⅰ）设 1x  是函数 )(xf 的极值点，求 m 的值并讨论 )(xf 的单调性； （Ⅱ）当 2m 时，证明： )(xf ＞ ln 2 ． 高二数学试题参考答案 一、选择题： ABBDC CBCAD DC 二、填空题： ． ． ． 4 3 ．①④ 三、解答题： 17．【解析】(Ⅰ) ，要 在 [1，＋∞ 上是增函数，则有 在 [1，＋∞ 内恒成立，即 在 [1，＋∞ 内恒 成立， 又 （当且仅当 x=1 时，取等号），所以 ，故 ，即得 ． ……………………………………5 分 （Ⅱ）由题意知 的一个根为 ，可得 ， 所以 的根为 或 (舍去)， 当 的变化时， ， 的变化情况如下表： …………………………………… 7 分 0 极大值 ∴ ， ．………………………… 10 分 18．解：(1) 当 时 所以 方程两边同乘 得 ， 为等差数列，且公差为 2． （2）由(1)， ，故 ． ① 当 时， ； ② 当 时， ， 又当 时， 不符合上式， 所以 ． （3）由(2)， ．故 ， 所以 ． 19 解：（Ⅰ）因为每件．．商品售价为 0.05 万元，则 千件．．商品销售额为 0.05×1000 万元， 依题意得：当 时， .………………………………2 分 当 时， = .………………………………………………4 分 所以 …………6 分 （Ⅱ）当 时， 此时，当 时， 取得最大值 万元. ………………8 分 当 时， 此时，当 时，即 时 取得最大值 1000 万元.………………11 分 所以，当产量为 100 千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为 1000 万元.……… 12 分 20.解：(1)以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A－xyz，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)， ∴A1B → ＝(2,0，－4)，C1D → ＝(1，－1，－4)． ∵cos〈A1B → ，C1D → 〉＝C1D | ＝18 18＝10 10， ∴异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为10 10. (2)设平面 ADC1 的法向量为 n1＝(x，y，z)，∵AD →＝(1,1,0)，AC1 → ＝(0,2,4)，∴ n1· AD →＝0，n1· AC1 → ＝0，即 x＋y＝0 且 2y＋4z＝0，取 z＝1，得 x＝2，y＝－2，∴ n1＝(2，－2,1)是平面 ADC1 的一个法向量．取平面 AA1B 的一个法向量为 n2＝ (0,1,0)，设平面 ADC1 与平面 ABA1 夹角的大小为θ. 由 cosθ＝|n1·n2| |n1||n2|＝ 2 ×1＝2 3，得 sinθ＝5 3. 因此，平面 ADC1 与平面 ABA1 夹角的正弦值为5 3. 21．【解析】（1）因为 =8，所以 ．表示动点 到两个定点 ， 的距离之和等于 8，且 ． ……2 分 所以动点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长 的椭圆．……3 分 设椭圆方程为 ， 则 ， ， ，故 ． 则动点 的轨迹 的方程是 ． …………………5 分 （2）因为直线 过点 ， ① 若直线 的斜率不存在，则 的方程为 ，与椭圆的两个交点 、 为椭圆的顶 点．由 ，则 与 重合，与 为四边形矛盾．…………7 分 ② 若直线 的斜率存在，设方程为 ， ， . 由 得 . 恒成立． 由根与系数关系得： ， . …………8 分 因为 ， 所以四边形 为平行四边形． 若存在直线 使四边形 为矩形，则 ，即 ． 所以 ． 所以 ． 即 ． 化简得： ．与斜率存在矛盾． 故不存在直线 ，使得四边形 为矩形． …………………12 分 22．解证：（Ⅰ） ，由 是 的极值点得 ， 即 ，所以 ． ………………………………２分 于是 ， ， 由 知 在 上单调递增，且 ， 所以 是 的唯一零点． ……………………………４分 因此，当 时， ；当 时， ， 所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增．………………６分 （Ⅱ）解法一：当 ， 时， ， 故只需证明当 时， ＞ ． 当 时，函数 在 上单调递增， 又 ， 故 在 上有唯一实根 ，且 ．…………………9 分 当 时， ；当 时， ， 从而当 时， 取得最小值且 ． 由 得 , ．…………………………………11 分 故 = = ． 综上，当 时， ． …………………………12 分 解法二：当 ， 时， ，又 ,所以 ． ………………………………………８分 取函数 ， ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，得函数 在 时取唯一的 极小值即最小值为 ． ……10 分 所以 ，而上式三个不等号不能 同时成立， 故 ＞ ．…………………………………12 分