【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版2-3函数的单调性与最值学案
§2.3 函数的奇偶性与周期性
最新考纲
考情考向分析
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
奇函数
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数
关于坐标原点对称
偶函数
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数
关于y轴对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
概念方法微思考
1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？
提示 在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？
(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)．
(2)f(x＋a)＝(a≠0)．
(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．
提示 (1)T＝2|a| (2)T＝2|a| (3)T＝|a－b|
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( × )
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( √ )
题组二 教材改编
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.
答案 －2
解析 f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝______.
答案 1
解析 f＝f＝－4×2＋2＝1.
4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．
答案 (－2,0)∪(2,5]
解析 由图象可知，当0
0；当20.
综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
题组三 易错自纠
5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B. C. D．－
答案 B
解析 ∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.
又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝－x3，则f＝________.
答案
解析 由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f＝f＝－f＝3＝.
题型一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解 (1)由得x2＝36，解得x＝±6，
即函数f(x)的定义域为{－6,6}，关于原点对称，
∴f(x)＝＋＝0.
∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，
关于原点对称．
∴x－2<0，
∴|x－2|－2＝－x，
∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( )
A．f(x)＝x＋sin 2x B．f(x)＝x2－cos x
C．f(x)＝3x－ D．f(x)＝x2＋tan x
答案 D
解析 对于选项A，函数的定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin 2x为奇函数；对于选项B，函数的定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，所以f(x)＝x2－cos x为偶函数；对于选项C，函数的定义域为R，f(－x)＝3－x－＝－＝－f(x)，所以f(x)＝3x－为奇函数；只有f(x)＝x2＋tan x既不是奇函数也不是偶函数．故选D.
(2)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则下列结论正确的是( )
A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数
B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数
C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函数
D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函数
答案 A
解析 易知h(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为{x|x≠0}．
因为f(－x)＋g(－x)＝＋＝－－＝－＝＋＝f(x)＋g(x)，
所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．故选A.
题型二 函数的周期性及其应用
1．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________.
答案
解析 由于函数f(x)是周期为4的奇函数，
所以f＋f＝f＋f
＝f＋f＝－f－f
＝－＋sin ＝.
2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－，且对任意的x都有f(x＋2)＝，则f(2 020)＝________.
答案 －2－
解析 由f(x＋2)＝，得f(x＋4)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 020)＝f(4)．因为f(2＋2)＝，所以f(4)＝－＝－＝－2－.故f(2 020)＝－2－.
3．(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
答案 6
解析 ∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，
即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(x)是周期为6的周期函数，
∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
又f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.
4．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.
答案 －1
解析 依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，
则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.
∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f
＝f＋0＋f＋f(0)＋f
＝f－f＋f(0)＋f
＝f＋f(0)
＝－1＋20－1
＝－1.
思维升华 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
题型三 函数性质的综合应用
命题点1 求函数值或函数解析式
例2 (1)设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝
则f(2 021)＝________.
答案 －
解析 设00时，－x<0，
∴f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，
∴f(x)＝
命题点2 求参数问题
例3 (1)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝__________.
答案 1
解析 ∵f(－x)＝f(x)，
∴－xln(－x)＝xln(x＋)，
∴ln[()2－x2]＝0.
∴ln a＝0，∴a＝1.
(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f ＝
f，则a＋3b的值为________．
答案 －10
解析 因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，
所以f＝f且f(－1)＝f(1)，
故f＝f，
从而＝－a＋1，
即3a＋2b＝－2.①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，
即b＝－2a.②
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
(3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋ax－1－a，若函数f(x)为R上的减函数，则a的取值范围是____________．
答案 [－1,0]
解析 因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，若函数f(x)为R上的减函数，则满足当x>0时，函数为减函数，且－1－a≤0，此时
即即－1≤a≤0.
命题点3 利用函数的性质解不等式
例4 (1)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)f(2x－1)成立的x的取值范围为______________．
答案
解析 由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，
两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，
解得0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
答案 D
解析 当x∈时，由f(x)＝可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增且f(x)<0.故选D.
(2)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________.
答案 －
解析 由题意可知，f＝f＝－f＝－2××＝－.
(3)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(6－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．
答案 (－3,2)
解析 ∵g(x)是奇函数，
∴当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，
易知f(x)在R上是增函数，
由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，
即x2＋x－6<0，∴－30.给出下列命题：
①f(3)＝0；
②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；
④函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为________．
答案 ①②④
解析 ∵f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)．
又f(x)是R上的偶函数，所以f(3)＝0，故①正确；
由①知f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期为6.
又因为f(x)是R上的偶函数，
所以f(x＋6)＝f(－x)，
而f(x)的周期为6，所以f(x＋6)＝f(－6＋x)，
f(－x)＝f(－x－6)，
所以f(－6－x)＝f(－6＋x)，所以直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴．故②正确；
当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有>0，所以函数y＝f(x)在[0,3]上为增函数．因为f(x)是R上的偶函数，所以函数y＝f(x)在[－3,0]上为减函数，而f(x)的周期为6，所以函数y＝f(x)在[－9，－6]上为减函数．故③错误；
f(3)＝0，f(x)的周期为6，所以f(－9)＝f(－3)＝f(3)＝f(9)＝0，所以函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点．故④正确．
二、函数性质的综合应用
例2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
答案 C
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
故选C.
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)
f(－)，则a的取值范围是________．
答案
解析 ∵f(2|a－1|)>f(－)＝f()，
又由已知可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴2|a－1|<＝，∴|a－1|<，∴2的解集为( )
A．(2，＋∞) B.∪(2，＋∞)
C.∪(，＋∞) D．(，＋∞)
答案 B
解析 f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(log2x)>2＝f(1)⇔f(|log2x|)>f(1)⇔|log2x|>1⇔log2x>1或log2x<－1⇔x>2或00时，f(x)＝ln x，则f的值为________．
答案 －ln 2
解析 由已知可得f＝ln ＝－2，
所以f＝f(－2)．
又因为f(x)是奇函数，
所以f＝f(－2)＝－f(2)＝－ln 2.
9．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为________．
答案 9
解析 由于f(x)在[3,6]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，因为f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.
10．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t满足f(ln t)＋f≤2f(1)，那么t的取值范围是________．
答案
解析 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(ln t)＝f，
由f(ln t)＋f≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1)．
又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增的，
所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故≤t≤e.
11．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以10，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________.
答案 1
解析 因为f(x)>0，f(x＋2)＝，
所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]
＝＝＝f(x)，
即函数f(x)的周期是4，
所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)．
因为函数f(x)为偶函数，
所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1)．
当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝.
由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1.
14．已知函数f(x)＝x3＋2x，若f(1)＋>0(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是__________．
答案 (0,1)∪(3，＋∞)
解析 因为函数f(x)＝x3＋2x是奇函数，且在R上是增函数，f(1)＋>0，所以>－f(1)＝f(－1)，所以>－1，所以或
所以a∈(0,1)∪(3，＋∞)．
15．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2,4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝________.
答案 0
解析 因为f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋
f(4)＝0.
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝0.
16．已知函数f(x)＝sin x＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，求x的取值范围．
解 易知f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)<0等价于f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，则mx－2<－x，即mx＋x－2<0对所有m∈[－2,2]恒成立，令h(m)＝mx＋x－2，m∈[－2,2]，此时，只需即可，解得－2
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