数学文卷·2018届宁夏大学附属中学高三上学期第二次月考（2017

数学文卷·2018届宁夏大学附属中学高三上学期第二次月考（2017

宁大附中2016-2017学年第一学期第二次月考 高三数学（文）试卷 命题人：张会军 一、单选题（共12题；共60分）‎ ‎1、已知命题，；命题若，则，下列命题为真命题的是 A． B． C． D．‎ ‎2、设集合，，，则 A． B． C． D．‎ ‎3、设，则“”是“”的 ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4、函数的最小正周期为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5、若，且，则下列不等式成立的是 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6、函数的单调递增区间是 ‎ A．（） B．（） C．（） D．（）‎ ‎7、函数在区间（0，1）内的零点个数是 ‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎8、设函数，则 A．2 B． C．5 D．‎ ‎9、已知，，，则 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10、函数的图象大致为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11、已知是定义在上的偶函数，且在区间（）上单调递增，若实数满足，则的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12、已知函数与（）的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ‎ A． B． C． D．二、填空题（共4题；共20分）‎ ‎13、已知是定义在上的偶函数，且．若当时，， 则________． ‎ ‎14、已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ‎________． ‎ ‎15、在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为________ ‎ ‎16、在平面直角坐标系中，若直线,(为参数）过椭圆（为参数）的右顶点，则常数的值为________． ‎ 三、计算题（共1题；共10分）‎ ‎17、计算：‎ ‎（Ⅰ） （Ⅱ）． ‎ 四、解答题（共5题；共60分）（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）‎ ‎18、已知函数，，且函数在和处都取得极值． ‎ ‎（I）求实数与的值；‎ ‎（II）对任意，方程存在三个实数根，求实数的取值范围． ‎ ‎19、已知函数． ‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点（0，5）处的切线方程； （Ⅱ）求函数的极值． ‎ ‎20、已知命题，且，命题，且 ‎ ‎（Ⅰ）若，，求实数的值； （Ⅱ）若是的充分条件，求实数的取值范围． ‎ ‎21、已知函数（其中，为常量，且，）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． ‎ ‎22、已知定义域为的函数是奇函数 （1）求值；‎ ‎（2）判断该函数在定义域上的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（4）设关于的函数有零点，求实数的取值范围． ‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎1、【答案】B 【考点】复合命题的真假，对数函数的单调性与特殊点，不等式比较大小 【解析】【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题； 取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2 ， 则命题q是假命题，则￢q是真命题． ∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题． 故选B． 【分析】由对数函数的性质可知命题p为真命题，则￢p为假命题，由不等式的性质可知，命题q是假命题，则￢q是真命题．因此p∧￢q为真命题． ‎ ‎2、【答案】B 【考点】并集及其运算，交集及其运算 【解析】【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}， ∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}． 故选：B． 【分析】由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C． ‎ ‎3、【答案】B 【解析】【解答】 ，则 ， ，则 ， 据此可知：“ ”是“ ”的必要二不充分条件. 本题选择B选项. ‎ ‎4、【答案】B 【考点】二倍角的正弦，三角函数的周期性及其求法 【解析】【解答】解：由题意得，f（x）=sinxcosx= ×2sinxcosx= sin2x， 所以函数的最小正周期为 =π， 故选：B． 【分析】根据二倍角的正弦公式化简函数解析式，再由周期公式求出函数的周期即可． ‎ ‎5、【答案】B 【考点】不等式比较大小 【解析】【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1， ∴可取a=2，b= ． 则 = ， = = ，log2（a+b）= = ∈（1，2）， ∴ ＜log2（a+b）＜a+ ． 故选：B． 【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b= ．代入计算即可得出大小关系． ‎ ‎6、【答案】D 【考点】复合函数的单调性，一元二次不等式的解法 【解析】【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）， 令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt， ∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t=x2﹣2x﹣8为减函数； x∈（4，+∞）时，t=x2﹣2x﹣8为增函数； y=lnt为增函数， 故函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞）， 故选：D． 【分析】由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案． ‎ ‎7、【答案】A 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，根的存在性及根的个数判断 【解析】【解答】解：若函数f（x）=x2+2x﹣a与g（x）=2x+2lnx（ ≤x≤e）的图象有两个不同的交点， 则x2﹣2lnx=a（ ≤x≤e）有两个根， 令g（x）=x2﹣2lnx， 则g′（x）=2x﹣ ， 当 ≤x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）=x2﹣2lnx为减函数， 当1＜x≤e时，g′（x）＞0，函数g（x）=x2‎ ‎﹣2lnx为增函数， 故当x=1时，g（x）=x2﹣2lnx取最小值1， 又由g（ ）= +2，g（e）=e2﹣2， +2＜e2﹣2， 故a∈（1， +2]， 故选：A． 【分析】若函数f（x）=x2+2x﹣a与g（x）=2x+2lnx（ ≤x≤e）的图象有两个不同的交点，x2﹣2lnx=a（ ≤x≤e）有两个根，令g（x）=x2﹣2lnx，利用导数法分析函数的单调性和最值，可得答案． ‎ ‎8、【答案】D 【考点】函数解析式的求解及常用方法，导数的运算 【解析】【解答】解：根据题意，函数 ， 则f（x）= ﹣2x+ln =x﹣2﹣2x﹣lnx， 其导数f′（x）=（﹣2）×x﹣3﹣2﹣ ， 则f'（1）=（﹣2）﹣2﹣1=﹣5； 故选：D． 【分析】根据题意，由函数 分析可得f（x）的解析式，对其求导可得f′（x），进而将x=1代入计算可得答案． ‎ ‎ 9、【答案】C 【考点】对数的运算性质 【解析】【解答】解：∵0＜a= ＜20=1， b=log2 ＜log21=0， c=log =log23＞log22=1， ∴c＞a＞b． 故选：C． 【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求． ‎ ‎ 10、【答案】D 【考点】函数的图象 【解析】【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B， 由当x= 时， ， 当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0． 由此可排除选项A和选项C． 故正确的选项为D． 故选D． 【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求． ‎ ‎11、【答案】B 【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】【解答】解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0， 所以f（0）f（1）＜0， 故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点， 故选B． 【分析】根据函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点 ‎ ‎12、【答案】C 【考点】函数单调性的性质 【解析】【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递减． ∵2|a﹣1|＞0，f（﹣ ）=f（ ），∴2|a﹣1|＜ =2 ．∴|a﹣1| ，解得 ． 故选：C． 【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令2|a﹣1|＜ 即可．；本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题． ‎ 二、填空题 ‎13、【答案】6 【考点】函数奇偶性的性质，函数的周期性 【解析】【解答】解：由f（x+4）=f（x﹣2）．则f（x+6）=f（x）， ∴f（x）为周期为6的周期函数， f（919）=f（153×6+1）=f（1）， 由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（1）=f（﹣1）， 当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6﹣x ， f（﹣1）=6﹣（﹣1）=6， ∴f（919）=6， 故答案为：6． 【分析】由题意可知：（x+6）=f（x），函数的周期性可知：f（x）周期为6，则f（919）=f（153×6+1）=f（1），由f（x）为偶函数，则f（1）=f（﹣1），即可求得答案． ‎ ‎14、【答案】12 【考点】函数奇偶性的性质，抽象函数及其应用，函数的值 【解析】【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2 ， ∴f（﹣2）=﹣12， 又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（2）=12， 故答案为：12 【分析】由已知中当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2 ， 先求出f（﹣2），进而根据奇函数的性质，可得答案． ‎ ‎15、【答案】2 【解析】【解答】直线为  ，圆为  ，因为  ，所以有两个交点 ‎ ‎16、【答案】3 【考点】直线与圆锥曲线的关系，参数方程化成普通方程 【解析】【解答】解：由直线l： ，得y=x﹣a， ‎ ‎ 再由椭圆C： ，得 ， ①2+②2得， ． 所以椭圆C： 的右顶点为（3，0）． 因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3． 故答案为3． 【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值． ‎ 三、计算题 ‎17、【答案】解：（Ⅰ）原式=2+(-2)+，       （Ⅱ）原式=． 【考点】有理数指数幂的化简求值，对数的运算性质 【解析】【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则计算即可． ‎ 四、解答题 ‎18、【答案】解：（I）f'（x）=3x2+2ax+b 由题意可知 ， 解得 经检验，适合条件，所以 （II）原题等价于函数与y=f（x）与函数y=2c两个图象存在三个交点， 由（1）知f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1）， 令（3x+2）（x﹣1）=0，可得x=﹣ ，x=1； x∈[﹣1，2]，当x∈（﹣1，﹣ ‎ ‎），x∈（1，2）时，f'（x）＞0，函数是增函数， x∈（﹣ ，1）时，函数是减函数， 函数的极大值为：f（﹣ ）=c+ ，f（2）=2+c＞c+ 极小值为：f（1）=﹣ +c，f（﹣1）= ＞ ∴x∈[﹣1，2]时， 可得 ，∴ 【考点】利用导数研究函数的极值，根的存在性及根的个数判断 【解析】【分析】（I）求出f'（x），由题意函数f（x）在x=1和x=﹣ 处都取得极值．列出方程求解即可．（II）原题等价于函数与y=f（x）与函数y=2c两个图象存在三个交点，求出f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），求出极值，列出不等式求解即可． ‎ ‎19、【答案】解：f'（x）=x2﹣x﹣2 （Ⅰ）依题意可知：切线斜率k=f'（0）=﹣2 ∴切线方程为：y﹣5=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣5=0 （Ⅱ）令f'（x）=0，得：x1=﹣1，x2=2 当x变化时，f'（x），f（x）变化如下表 x ‎（﹣∞，﹣1）‎ ‎﹣1‎ ‎（﹣1，2）‎ ‎2‎ ‎（2，+∞）‎ f'（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 增函数 极大值 ‎ 减函数 极小值 ‎ 增函数 ‎∴f（x）的极大值为 ，极小值为 【考点】利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出切线斜率k=f'（0），即可求解切线方程．（Ⅱ）令f'（x）=0，得：x1=﹣1，x2=2，通过列表，判断导函数的符号，得到函数的单调性，然后求解函数的极值． ‎ ‎ 20、【答案】解：（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}， 由A∩B=∅，A∪B=R，得 ，得a ‎=2， 所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2； （Ⅱ）因p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知， a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4， 所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞） 【考点】集合关系中的参数取值问题，充分条件 【解析】【分析】（Ⅰ）把集合B化简后，由A∩B=∅，A∪B=R，借助于数轴列方程组可解a的值；（Ⅱ）把p是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围． ‎ ‎21、【答案】解：（1）把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•ax ， 得 结合a＞0且a≠1，解得： ∴f（x）=3•2x ． （2）要使（）x+（）x≥m在（﹣∞，1]上恒成立， 只需保证函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上的最小值不小于m即可． ∵函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上为减函数， ∴当x=1时，y=（）x+（）x有最小值． ∴只需m≤即可． 【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域，指数函数单调性的应用 【解析】【分析】（1）根据函数f（x）=b•ax（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24），把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•ax ， 解此方程组即可求得a，b，的值，从而求得f（x）；（2）要使（）x+（）x≥m在（﹣∞，1]上恒成立，只需保证函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上的最小值不小于m即可，利用函数的单调性求函数的最小值，即可求得实数m的取值范围． ‎ ‎22、【答案】解：（1）由题设，需f(0)==0，∴a=1， ∴f(x)=， 经验证，f（x） 为奇函数，∴a=1． （2）减函数 证明：任取x1 ， x2∈R，x1＜x2 ， △x=x2﹣x1＞0， f（x2）﹣f（x1）=﹣=‎ ‎， ∵x1＜x2 ∴0＜＜； ∴﹣＜0，（1+）（1+）＞0 ∴f（x2）﹣f（x1）＜0 ∴该函数在定义域R 上是减函数． （3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）， ∵f（x） 是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）， 由（2）知，f（x） 是减函数 ∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2 ， 即3t2﹣2t﹣k＞0 对任意t∈R 恒成立， ∴△=4+12k＜0，得k<即为所求． （4）原函数零点的问题等价于方程f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0 由（3）知，4x﹣b=2x+1 ， 即方程b=4x﹣2x+1 有解 ∴4x﹣2x+1=（2x）2﹣2×2x=（2x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴当b∈[﹣1，+∞） 时函数存在零点． 【考点】奇偶性与单调性的综合，指数函数的单调性与特殊点 【解析】【分析】（1）根据奇函数当x=0时的函数值为0，列出方程求出a的值； （2）先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明，即取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论； （3）利用函数的奇偶性将不等式转化为函数值比较大小，再由函数的单调性比较自变量的大小，列出不等式由二次函数恒成立进行求解； （4）根据函数解析式和函数零点的定义列出方程，再利用整体思想求出b的范围． ‎