吉林省长春市实验中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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www.ks5u.com 长春市实验中学2019-2020学年上学期期中考试 高一数学试卷 第Ⅰ卷(60分)‎ 一.选择题(共12小题，每小题5分，计60分)‎ ‎1.将弧度化成角度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用弧度化角度公式可得出结果.‎ ‎【详解】由题意可得，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查弧度化角度，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数和指数函数的单调性求出集合、，然后利用交集的定义求出集合.‎ ‎【详解】由于函数增函数，当时，则，.‎ 函数为减函数，当时，则，.‎ 因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查集合交集的运算，同时也考查了指数函数和对数函数的值域，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.设函数 ，若，则的取值范围是（ ）‎ A. （，1） B. （，）‎ C. （，）（0，） D. （，）（1，）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 当时，，则，‎ 当时， ，则 ，‎ 综上：或.选D.‎ ‎【点睛】有关分段函数问题是函数部分的一个重要考点，经常考查分段函数求值、定义域、值域、奇偶性、单调性、解方程、解不等式、函数图像等，是高考的热点之一.‎ ‎4.函数的值域是　　‎ A. ， B. C. ， D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知函数解析式变形，由可得的范围，进一步求得函数值域．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，，‎ 则，‎ ‎．‎ 即函数的值域是，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查函数的值域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎5.已知幂函数的图象过点，则此幂函数（ ）‎ A. 过点 B. 是奇函数 C. 过点 D. 在上单调递增 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设幂函数，将点代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式，然后根据该函数的解析式对各选项的正误进行判断.‎ ‎【详解】设，由题意可得，，，‎ 所以，函数的图象不过点.‎ ‎，该函数的定义域为，不关于原点对称，不是奇函数.‎ ‎，该函数的图象过点，且在上单调递减.‎ 因此，C选项正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的基本性质，求出幂函数的解析式是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎6.设，，，则此三个数大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 比较、、三个数与和的大小关系，可得出三个数的大小关系.‎ ‎【详解】函数在上为增函数，则；‎ 函数在上为增函数，则；‎ 函数在上为增函数，则，又，即.‎ 因此，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，通常利用基本初等函数的单调性并结合中间值法来得出各数的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎7.函数（ ）‎ A. 是偶函数但不是奇函数 B. 是奇函数但不是偶函数 C. 既是偶函数又是奇函数 D. 既不是偶函数也不是奇函数 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数的解析式变形为，然后利用定义验证函数的奇偶性.‎ ‎【详解】，定义域为，关于原点对称.‎ ‎，‎ 因此，函数是偶函数但不是奇函数.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用定义判断函数的奇偶性，同时也考查了指数运算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎8.函数的零点所在的大致区间是 A B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据零点存在性定理逐一判断选项即可.‎ ‎【详解】因为， 而，所以必在内有一零点，所以选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的零点的存在性定理，属于中档题.‎ ‎9.设，，则下列命题是真命题的个数是（ ）‎ ‎①；②；③.‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数的运算对①②③中的等式逐一进行验证，可得出正确选项.‎ ‎【详解】，①中的等式成立；‎ ‎，②中的等式成立；‎ ‎，③中的等式成立.‎ 因此，真命题的个数为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查指数运算律的应用，解题的关键就是利用指数的运算律对各等式逐一验证，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎10.函数与函数的图象关于（ ）‎ A. 直线对称 B. 点对称 C. 原点对称 D. 轴对称 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，可得出，从而可得出两个函数图象之间的对称性.‎ ‎【详解】构造函数，则.‎ 由于函数与函数的图象关于轴对称，因此，函数与函数的图象关于轴对称.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查两个函数图象之间的对称性，解题时要熟悉两个函数关于轴、轴以及原点对称时函数解析式之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎11.若函数在上是增函数,函数是偶函数,则,,的大小顺序是(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数在上单调递增,且函数是偶函数,可得函数在上单调递减,且在上函数满足,由此要比较 ‎,,的大小,可以比较,,‎ ‎【详解】解：因为函数在上单调递增,且函数是偶函数,所以函数在上单调递减,且在上函数满足,即,‎ 因为,所以．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,属于基础题.‎ ‎12.设函数集合则使得成立的实数对有（ ）‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数多个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到函数为上为奇函数,在上为递减函数,再根据定义域和值域都是,列方程组无解可得.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ 是上的奇函数.‎ 当时,是单调递减函数,‎ 所以是上的单调递减函数,‎ ‎ , 值域是,‎ 即 ‎ ‎ , ,‎ 整理得：.‎ 当时，得 ,这与已知 相矛盾；‎ 当时，即时，，解得 即使得成立的实数对只有一个.‎ 故选.‎ ‎【点睛】解题关键利用奇偶性,单调性求函数值域,再与已知值域相等,从而可列方程组来解.‎ 第Ⅱ卷 二.填空题（共4小题，每小题5分，计20分）‎ ‎13.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数的定义可求出的值.‎ ‎【详解】由三角函数的定义可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的定义求值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.函数（且）的图象过定点_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令真数为，求出的值，再代入函数解析式，即可得出函数 的图象所过定点的坐标.‎ ‎【详解】令，得，且.‎ 因此，函数的图象过定点.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查对数型函数图象过定点问题，一般利用真数为求出自变量的值，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时.‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ 由题意得：，所以时，.‎ 考点：函数及其应用.‎ ‎16.设函数，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数的运算律计算出的值，由此可计算出所求代数式的值.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查指数幂的化简计算，解题的关键在于观察代数式结构并计算出为定值，考查计算能力，属于中等题.‎ 三.解答题（解答应有必要的文字说明和解题步骤，共计70分）‎ ‎17.（1）求值；‎ ‎（2）已知，，试用、表示.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用指数的运算律、对数的运算律、换底公式以及对数恒等式可得出结果；‎ ‎（2）由换底公式可得出，然后利用换底公式可得出，并利用对数和表示分子和分母，代入化简计算即可.‎ ‎【详解】（1）原式；‎ ‎（2）由换底公式得，又，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查指数、对数的运算，以及利用换底公式化简计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18.若角，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得知，将等式两边平方，可求出的值，并可得出，可推出，并将代数式平方，可求出的值；‎ ‎（2）根据题中条件和（1）的结果建立方程组求出和的值，再利用同角三角函数的商数关系可求出的值.‎ ‎【详解】（1）将平方得，‎ ‎.‎ ‎，，，.‎ 而，因此，；‎ ‎（2）由（1）得，解得，因此，.‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系和商数关系求值，在处理有关的值，一般利用平方关系，即，同时不要忽略对角的取值范围的判断，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19.对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点，已知函数。‎ ‎（Ⅰ）当时，求的不动点；‎ ‎（Ⅱ）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围。‎ ‎【答案】（Ⅰ）-1，3；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）解方程解得不动点；（Ⅱ）恒有两个相异实根，即判别式恒大于零，再根据二次函数图像知判别式小于零，解得的取值范围 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）当时，，由题意可知，得，‎ ‎ 故当时，的不动点为-1，3.‎ ‎（Ⅱ）因为恒有两个不动点，‎ ‎ 所以，即恒有两个相异实根，‎ ‎ 所以恒成立，于是设，所以恒成立，‎ ‎ 所以，解得，故当。‎ ‎ 恒有两个相异的不动点时，的取值范围是。‎ ‎20.设函数．‎ ‎(1)当时，解不等式：；‎ ‎(2)当时，存在最小值，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，可得出所求不等式为，换元 ‎，可得出所求不等式为，求出的范围，可得出的范围；‎ ‎（2）换元，由，可得出，设，分析二次函数图象的对称轴与区间的位置关系，求出函数的最小值，结合题中条件，求出的值.‎ ‎【详解】设，则.‎ ‎（1）当时，，由，得，‎ 则有，解得（舍去）或.‎ ‎，解得，因此，不等式的解集为；‎ ‎（2）当时，，设.‎ ‎①若，即当时，函数在上单调递增，‎ 则函数的最小值为，化简得.‎ 当时，函数单调递增，则，方程无解；‎ ‎②若，即当时，函数在上单调递减，‎ 则函数的最小值为，化简得.‎ 当时，函数单调递增，则，方程无解；‎ ‎③若，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，则函数的最小值为，‎ 化简得，由于关于的函数单调递增，故方程最多有一个实根，又，.‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】本题考查指数不等式的求解，同时也考查了指数型函数的最值问题，将问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键，同时要对二次函数的对称轴与定义域的位置关系进行分类讨论，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎21.设，奇函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若对任意恒有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由求出实数的值，求出函数的解析式，然后利用奇偶性的定义验证函数为奇函数；‎ ‎（2）分析出函数为增函数，结合奇函数的性质，由得出，由单调性得出对任意的恒成立，构造函数，对该二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，得出最小值，然后解不等式可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为函数为奇函数，且定义域为，故，所以.‎ 故，所以，此时，，定义域为，关于原点对称.‎ ‎，则函数为奇函数；‎ ‎（2）由（1）得，‎ 则函数在上为减函数，由于函数为奇函数，‎ 由，可得，则有.‎ ‎，则该不等式对任意的恒成立，‎ 构造函数，其中，则.‎ 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，下面分三种情况讨论：‎ ‎①当时，即时，函数在上单调递增，‎ 则函数的最小值为恒成立，，此时；‎ ‎②当时，即时，函数在上单调递减，‎ 则函数的最小值为，解得，此时；‎ ‎③当时，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，则函数的最小值为，整理得，‎ 解得，此时.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，同时也考查了利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，也考查了二次不等式在区间上恒成立问题的求解，一般要对二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，求出函数的最值，解出与最值相关的不等式即可，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎22.已知函数（且）.‎ ‎（1）判断的奇偶性并证明；‎ ‎（2）若，是否存在，使在的值域为 ‎？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）奇函数；证明见解析；（2）存在，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的定义域，然后利用奇偶性的定义验证函数的奇偶性；‎ ‎（2）由，可得出，利用复合函数可分析出函数在区间上为减函数，由题意得，于是得出关于的方程在区间上有两解，即关于的方程在上有两个不等的实根，然后结合二次函数的图象列出关于的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】（1）函数是奇函数；证明如下：‎ 由解得或，所以，函数的定义域为，关于原点对称．‎ ‎，‎ 因此，函数为奇函数；‎ ‎（2）由题意知，，且，.‎ 令在上为增函数，‎ 而函数为减函数，所以，函数在上为减函数，‎ 假设存在，使得题意成立，则函数在上为减函数，‎ 则有，即，．‎ 所以、是方程的两正根，‎ 整理得在有个不等根和，由韦达定理得，则.‎ 令，则函数在有个零点，‎ 则，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查对数型函数的奇偶性，同时也考查了利用函数的值域求参数，解题的关键就是利用函数的单调性将问题转化为二次函数的零点个数问题，一般求解时分析二次函数的图象的开口方向、对称轴、判别式以及端点（与零点比较大小的数）的函数值符号，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ ‎ ‎