数学理卷·2018届福建省永安一中、德化一中、漳平一中高三上学期第二次联考(2017

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数学理卷·2018届福建省永安一中、德化一中、漳平一中高三上学期第二次联考(2017

‎“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考 ‎2017—2018学年第一学期第二次月考 高三数学(理科)试题 ‎(考试时间:120分钟 总分:150分)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 第Ⅰ卷(选择题,共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)‎ ‎1.已知复数(为虚数单位),则复数的虚部为( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知命题;命题在中,若,则.则下列命题为真命题的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.某几何体的三视图如右图所示,则它的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.若等差数列的前项和为,则,类似地正项等比数列的前项积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.设等差数列满足,公差,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知平面α⊥平面β,直线m,n均不在平面α、β内,且m//n,则( )‎ A. 若m⊥β,则n//α B. 若n//β,则m⊥α C. 若m//β,则n//α D. 若n⊥β,则m⊥α ‎8.把函数图象向左平移个单位得到函数的图象,则( )‎ A. 的图象的一条对称轴是,一个对称中心是 B. 的图象的一条对称轴是,一个对称中心是 C. 的图象的一条对称轴是,一个对称中心是 ‎ D.的图象的一条对称轴是,一个对称中心是 ‎ ‎9.已知,且,若恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知圆:,四边形为圆的内接正方形,、分别为边、的中点,当正方形绕圆心转动时,的取值范围是( )‎ A. B.    C. D. ‎ ‎11.已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上,,点在线段上,且 ,过作球的截面,则所得截面圆面积最小值为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数,若对任意的在区间总存在唯一的零点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)‎ 二、填空题(每小题5分,本题共20分)‎ ‎13.__________.‎ ‎14.已知为坐标原点,点的坐标为,点的坐标满足, 的最小值为__________.‎ ‎15.已知分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则函数在点处的切线方程是__________.‎ ‎16.已知数列满足,其中,若对恒成立,则实数的取值范围为__________.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题12分)如图,在△ABC中,AB=2,,点D在线段BC上.‎ ‎(1)若∠ADC=,求AD的长;‎ ‎(2)若△ABC的面积为,且,求的值.‎ ‎18.(本小题12分)某电视台举行知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分.为了增加节目的趣味性,初赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有5次选题答题的机会,选手累计答对3题者比赛结束,直接进入决赛,否则要答完5道题.已知选手甲答题的正确率为.‎ ‎(1)求选手甲可进入决赛的概率;‎ ‎(2)设选手甲在初赛中答题的个数为,试写出的分布列,并求ξ的数学期望.‎ ‎19.(本小题12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,‎ 侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,E为PD中点,‎ AD=2.‎ ‎(1)求证:平面AEC⊥平面PCD;‎ ‎(2)若二面角A-PC-E的平面角大小θ满足,求四棱锥P-ABCD的体积. ‎ ‎20.(本小题12分)正项数列的前项和满足且.‎ ‎(1)求;(2)若,求证:数列的前项和.‎ ‎21.(本小题12分)已知函数在点处的切线为 ‎(1)求函数的单调递减区间;‎ ‎(2)若,且存在,使得成立,求的最小值.‎ 请考生从22、23两题任选1个小题作答,满分10分.如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.‎ ‎22.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线过点,倾斜角为.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程与直线l的参数方程;‎ ‎(2)若曲线经过变换后得到曲线,且直线l与曲线交于两点,求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)当时,求的最小值;‎ ‎(2)若时,对任意的恒成立,求的取值范围.‎ ‎2017—2018学年第一学期第二次月考 高三数学(理科)参考答案 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D C A B C A A C D B D 二、填空题(每小题5分,本题共20分)‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题12分)‎ 解:(1),………………2分 由正弦定理………………………………………………………………3分 即,…………………………………………5分 ‎(2),即,‎ ‎……………………………………………………………………………………7分 根据余弦定理 ‎,‎ ‎………………………………………………………………………………9分 ‎…………………………11分 又………………………………………………12分 ‎18.(本小题12分)‎ 解:(1)甲答3道题进入决赛的概率:…………………………………………1分 甲答4道题进入决赛的概率:…………………………………3分 甲答5道题进入决赛的概率:……………………………5分 甲进入决赛的概率:……………………………………6分 ‎(2)的可能值为3,4,5……………………………………………………………7分 P(=3)=…………………………………………………………………8分 P(=4)=……………………………………………………9分 P(=5)=1-P(=3)-P(=4)=……………………………………10分 ‎(或P(=5)=)‎ 的分布列:‎ 分 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎………………………11分 ‎ E=‎ ‎=………………………………………………………………………………12分 ‎19.(本小题12分)‎ 解:(1)取中点为,中点为,‎ 由侧面为正三角形,且平面⊥平面,知⊥平面,故⊥,‎ 又⊥,则⊥平面,所以⊥,‎ 又∥,则⊥,又是中点,则⊥,‎ 由线面垂直的判定定理知⊥平面,‎ 又⊂平面,故平面⊥平面.……………………………………………5分 ‎(2)如图所示,建立空间直角坐标系,‎ 令,则,.‎ 由(1)知=为平面PCE的法向量,……………6分 令为平面PAC的法向量,‎ 由于均与n垂直,‎ 故即解得 故,………………………………………………8分 由,解得.………………………………10分 故四棱锥P-ABCD的体积V=SABCD·PO=·2·3·=.…………………………12分 ‎20.(本小题12分)‎ 解:(1)由 ‎∴数列是以为首项,以1为公差的等差数列.…………………………………2分 ‎.‎ 又因为为正项数列,‎ ‎∴.……………………………………………………………………………………4分 ‎,‎ 又也符合上式,‎ ‎;………………………………………………………………6分 ‎(2)由(1)得.…………………………7分 ‎…………………………………………………………8分 ‎……………12分 ‎21.(本小题12分)‎ 解:(1)的定义域为,‎ ‎…………………………………………………………………………1分 ‎∴‎ ‎∴ ……………………………………………………………………………………3分 ‎ ‎∴.‎ 由得函数的单调递减区间为 (或也可以)…5分 ‎(2)可化为 令,使得,‎ 则.………………………………………………………………………………6分 ‎,‎ 令 则 ‎∴在上为增函数.………………………………………………………………7分 又 故存在唯一的使得……………………………………………………8分 即 当时,‎ ‎∴∴在上为减函数;………………………………………………9分 当时,‎ ‎∴∴在上为增函数.……………………………………………10分 ‎∴‎ ‎…………………………………………………………………………………………………11分∴‎ ‎∵‎ ‎∵∴的最小值为.………………………………………………………………12分 ‎22.(本题满分10分)‎ ‎ 解:(1)∵曲线C的极坐标方程为,‎ ‎∴,…………………………………………………………1分 ‎∴曲线C的直角坐标方程为,整理,得……3分 ‎∵直线l过点,倾斜角为, ∴直线l的参数方程为.…………………………………………5分 ‎(2)∵曲线C经过变换后得到曲线C′,‎ ‎∴曲线C′为:……………………………………………………………………6分 把直线l的参数方程,代入曲线C′:‎ 得:,…………………………………………7分 设A,B对应的参数分别为,则,………………………………8分 ‎∴……………………………………………………………9分 又直线l与曲线交于两点.‎ ‎…………………………………………………………………………10分 ‎23.(本题满分10分)‎ 解: (1)当时, .‎ 当时, ;‎ 当时,;‎ 当时,;‎ 即 又因为在上单调递减,‎ 在上单调递减,在上单调递增,如图所示.‎ 所以当时,有最小值3. …………………………………………………………5分 ‎(2)因为,所以,则 ‎,…………………………………………………7分 可得对任意恒成立,即,‎ 解得.‎ 故的取值范围为.…………………………………………………………………10分
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