2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）

2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）

‎2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣1，+∞） B．[﹣2，+∞） C．[﹣1，2] D．（﹣1，2]‎ ‎2．（5分）已知复数，则在复平面内所对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（　　）‎ A．f（x）=x2+|x|+1 B． C．f（x）=ln|x+1| D．f（x）=cosx ‎4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．﹣1或 ‎5．（5分）已知等比数列{an}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（　　）‎ A．12 B．10 C． D．‎ ‎6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.99，则输出的n=（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　）‎ A．4+2π B． C．4+π D．‎ ‎8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（　　）‎ A．49 B．91 C．98 D．182‎ ‎10．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（　　）‎ A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 ‎11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知函数，（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（　　）‎ A．8 B．6 C．4 D．3‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．（5分）展开式中的常数项为　 　．‎ ‎14．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为　 　．‎ ‎15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径，点P为直线y=x﹣1上任意一点，则|PA|2+|PB|2的最小值为　 　．‎ ‎16．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．‎ ‎（Ⅰ）求证：B=2A；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．‎ ‎18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100）内，且销售量x的分布频率．‎ ‎（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；‎ ‎（Ⅱ）若销售量大于等于70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．‎ ‎19．（12分）如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A，B，C分别在x轴，y轴，z轴上．‎ ‎（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；‎ ‎（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．‎ ‎20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．‎ ‎21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数a，b，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立？若存在，试求出a，b的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．‎ ‎（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．‎ ‎　‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．‎ ‎（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣1，+∞） B．[﹣2，+∞） C．[﹣1，2] D．（﹣1，2]‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2}，‎ B={y|y=3x﹣1，x∈R}={y|y＞﹣1}，‎ ‎∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1，2]．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知复数，则在复平面内所对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【解答】解：∵=，‎ ‎∴，‎ 则在复平面内所对应的点的坐标为（﹣，﹣），位于第三象限角．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（　　）‎ A．f（x）=x2+|x|+1 B． C．f（x）=ln|x+1| D．f（x）=cosx ‎【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数，在（0，+∞）递增，‎ 对于A，f（﹣x）=f（x），是偶函数，且x＞0时，f（x）=x2+x+1，f′（x）=2x+1＞0，‎ 故f（x）在（0，+∞）递增，符合题意；‎ 对于B，函数f（x）是奇函数，不合题意；‎ 对于C，由x+1=0，解得：x≠﹣1，定义域不关于原点对称，‎ 故函数f（x）不是偶函数，不合题意；‎ 对于D，函数f（x）在（0，+∞）无单调性，不合题意；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．﹣1或 ‎【解答】解：若，则1+cosα=3sinα，又sin2α+cos2α=1，‎ ‎∴sinα=，∴cosα=3sinα﹣1=，∴cosα﹣2sinα=﹣，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知等比数列{an}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（　　）‎ A．12 B．10 C． D．‎ ‎【解答】解：∵，a1=1，a3+a5=6，‎ ‎∴a3+a5=q2+q4=6，‎ 得q4+q2﹣6=0，‎ 即（q2﹣2）（q2+3）=0，‎ 则q2=2，‎ 则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12，‎ 故选：A ‎　‎ ‎6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.99，则输出的n=（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算S=+++…的值．‎ 由题意，S=+++…==1﹣≥0.99，可得：2k≥100，解得：k≥7，‎ 即当n=8时，S的值不满足条件，退出循环．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　）‎ A．4+2π B． C．4+π D．‎ ‎【解答】解：由几何体的三视图得：‎ 该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体，‎ 其中长方体的长为4，宽为1，高为1，‎ 半圆柱的底面半径为r=1，高为h=1，如图，‎ ‎∴该几何体的体积：‎ V=4×1×1+=4+．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：‎ 边长AB=a，‎ 其中正三角形ABC的面积S三角形=•a2•sin=a2；‎ 满足到正三角形ABC的顶点A、B、C 的距离至少有一个小于1的平面区域，‎ 如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为的半圆，‎ ‎∴S阴影=•π•=，‎ ‎∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：‎ P=1﹣=1﹣π．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（　　）‎ A．49 B．91 C．98 D．182‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3+7=2a5，‎ ‎∴a1+2d+7=2（a1+4d），化为：a1+6d=7=a7．‎ 则S13==13a7=13×7=91．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（　　）‎ A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 ‎【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位，‎ 可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：如图，取PF1的中点A，连接OA，‎ ‎∴2=+，=，‎ ‎∴+=，‎ ‎∵，‎ ‎∴•=0，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∵，‎ 不妨设|PF2|=m，则|PF1|=m，‎ ‎∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m，‎ ‎∴m=a=2（﹣1）a，‎ ‎∵|F1F2|=2c，‎ ‎∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2），‎ ‎∴=9﹣6=（﹣）2，‎ ‎∴e=﹣，‎ 故选：A ‎　‎ ‎12．（5分）已知函数，（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（　　）‎ A．8 B．6 C．4 D．3‎ ‎【解答】解：令f（x）=t可得f（t）=t+1．‎ 作出f（x）的函数图象如图所示：‎ 设直线y=kx+1与y=ex相切，切点为（x0，y0），则，‎ 解得x0=0，k=1．‎ 设直线y=kx+1与y=lnx相切，切点为（x1，y1），则，‎ 解得x1=e2，k=．‎ ‎∴直线y=t+1与f（t）的图象有4个交点，‎ 不妨设4个交点横坐标为t1，t2，t3，t4，且t1＜t2＜t3＜t4，‎ 由图象可知t1＜0，t2=0，0＜t3＜1，t4=e2．‎ 由f（x）的函数图象可知f（x）=t1无解，f（x）=t2有1解，f（x）=t3有3解，f（x）=t4有2解．‎ ‎∴F（x）有6个零点．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．（5分）展开式中的常数项为　　．‎ ‎【解答】解：二项式展开式的通项公式为 Tr+1=•x6﹣r•=••，‎ 令6﹣=0，解得r=4；‎ ‎∴展开式中的常数项为 ‎•=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为　　．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得A（），‎ ‎∵=（2，3），=（x，y），‎ ‎∴z=•=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，‎ 直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2‎ ‎﹣2y=0的直径，点P为直线y=x﹣1上任意一点，则|PA|2+|PB|2的最小值为　6　．‎ ‎【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0，‎ 转化为：x2+（y﹣1）2=1，‎ 则：圆心（0，1）到直线y=x﹣1的距离d=，‎ 由于AB为圆的直径，‎ 则：点A到直线的最小距离为：．‎ 点B到直线的距离为．‎ 则：|PA|2+|PB|2==6，‎ 故答案为：6‎ ‎　‎ ‎16．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积为　　．‎ ‎【解答】解：∵在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，‎ ‎∴小球可以经过的空间的体积：‎ V==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．‎ ‎（Ⅰ）求证：B=2A；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，在△ABC中，a+2acosB=c，‎ 由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，‎ 即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．‎ 因为A，B∈（0，π），‎ 所以B﹣A∈（﹣π，π），且A+（B﹣A）=B∈（0，π），所以A+（B﹣A）≠π，‎ 所以A=B﹣A，B=2A．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．‎ 由△ABC为锐角三角形得，‎ 得，则0＜cosB＜，‎ 由a+2acosB=2得，‎ 又由0＜cosB＜，‎ 则．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100）内，且销售量x的分布频率．‎ ‎（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；‎ ‎（Ⅱ）若销售量大于等于70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题知，解得5≤n≤9n，n可取5，6，7，8，9，‎ 代入中，‎ 得，a=0.15．‎ 销售量在[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）内的频率分别是0.1，0.1，0.2，0.3，0.3，‎ 销售量的平均数为55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81．‎ ‎（Ⅱ）销售量在[70，80），[80，90），[90，100）内的频率之比为2：3：3，‎ 所以各组抽取的天数分别为2，3，3．‎ X的所有可能值为1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ X的分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 数学期望．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A，B，C分别在x轴，y轴，z轴上．‎ ‎（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；‎ ‎（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：由AB=BC=CA，可得OA=OB=OC．‎ 设OA=a，则，A（a，0，0），B（0，a，0），C（0，0，a），‎ 设D点的坐标为（x，y，z），则由，‎ 可得（x﹣a）2+y2+z2=x2+（y﹣a）2+z2=x2+y2+（z﹣a）2=2a2，‎ 解得x=y=z=a，‎ ‎∴．‎ 又平面OAB的一个法向量为，‎ ‎∴，‎ ‎∴CD∥平面OAB；‎ ‎（Ⅱ）解：设F为AB的中点，连接CF，DF，‎ 则CF⊥AB，DF⊥AB，∠CFD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．‎ 由（Ⅰ）知，在△CFD中，，，‎ 则由余弦定理知，‎ 即二面角C﹣AB﹣D的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得，|（x+y）（x﹣y）|=2．‎ 因为点P在区域W内，所以x+y与x﹣y同号，得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2，‎ 即点P的轨迹C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D，当直线l的斜率不存在时，，，得．‎ 当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，显然k≠0，则，‎ 把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0，‎ 由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0，‎ 得m2=2（k2﹣1）＞0，得k＞1或k＜﹣1．‎ 设A（x1，y2），B（x2，y2），由得，同理，得．‎ 所以=．‎ 综上，△OAB的面积恒为定值2．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数a，b，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立？若存在，试求出a，b的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数，‎ ‎，‎ 令f'（x）=0得．‎ 当且x≠0时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．‎ 所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎（Ⅱ）根据题意，注意到f（e）=g（e）=3e，则ae+b=3e，b=3e﹣ae①．‎ 于是，ax+b≥g（x）即a（x﹣e）﹣3e（1﹣lnx）≥0，‎ 则记h（x）=a（x﹣e）+3e（1﹣lnx），，‎ 若a≤0，则h'（x）＜0，得h（x）在（0，+∞）上单调递减，则当x＞e时，有h（x）＜h（e）=0，不合题意；‎ 若a＞0，易知h（x）在上单调递减，在上单调递增，‎ 得h（x）在（0，+∞）上的最小值．‎ 记，则，得m（a）有最大值m（3）=0，即m（a）≤m（3）=0，‎ 又m（a）≥0，故a=3，代入①得b=0．‎ 当a=3，b=0时，f（x）≥ax+b即⇔2x3﹣3ex2+e3≥0．‎ 记φ（x）=2x3﹣3ex2+e3，则φ'（x）=6x（x﹣e），得φ（x）在（0，+∞）上有最小值φ（e）=0，即φ（x）≥0，符合题意．‎ 综上，存在a=3，b=0，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．‎ ‎　‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．‎ ‎（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ，‎ 所以ρ2sin2θ=4ρcosθ，即y2=4x，‎ 因此曲线C表示顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线．‎ ‎（Ⅱ），化为普通方程为y=2x﹣1，‎ 代入y2=4x，‎ 并整理得4x2﹣8x+1=0，‎ 所以，‎ ‎=，‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．‎ ‎（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当时，，‎ ‎∴，∴．∴，‎ ‎∴，当且仅当m=n时等号成立，‎ ‎∵m，n＞0，解得，当且仅当m=n时等号成立，‎ 故m+n的最小值为．‎ ‎（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，‎ 当x∈[﹣1，2]时，有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x，‎ ‎∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1，2]恒成立，‎ 当时，a（1﹣2x）≥1﹣2x，∴a≥1；‎ 当时，a（2x﹣1）≥1﹣2x，∴a≥﹣1．‎ 综上：a≥1．‎ 故实数a的取值范围是[1，+∞）．‎ ‎　‎