【数学】2019届一轮复习人教A版直线、圆、圆锥曲线学案
6.直线、圆、圆锥曲线
■要点重温…………………………………………………………………………·
1．直线的倾斜角与斜率
(1)倾斜角的范围为[0，π)．
(2)经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的倾斜角为α(α≠90°)，则斜率为k＝tan α＝(x1≠x2)；
(3)解决直线的倾斜角与斜率的问题，可借助k＝tan α的图象(如图22)．
图22
[应用1] 已知直线l过P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.
【导 号：07804189】
[答案] ∪[5，＋∞)
2．直线方程的几种形式：点斜式：y－y0＝k(x－x0)；斜截式：y＝kx＋b；两点式：＝；截距式：＋＝1(a≠0，b≠0)；一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．要注意由于“截距为零”或“斜率不存在”等特殊情况造成丢解．
[应用2] 若直线在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，且过点(1,2)，则此直线方程为________．
[答案] x＋2y－5＝0或y＝2x
3．两直线的平行与垂直
(1)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(2)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
特别提醒： ＝≠，≠，＝＝仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件．
[应用3] 设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；当m＝________时，l1⊥l2；当________时l1与l2相交；当m＝________时，l1与l2重合．
[答案] －1 m≠3且m≠－1 3
4．点到直线的距离及两平行直线间的距离
(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝；
(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.
[应用4] 两平行直线3x＋2y－5＝0与6x＋4y＋5＝0间的距离为________．
[答案]
5．圆的方程：
(1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)；
(3)以线段P1P2为直径的圆方程：(x－x1)(x－x2)＋ (y－y1)(y－y2)＝0.
(4)求圆的方程的方法：待定系数法，即根据题意列出关于a，b，r或D，E，F的方程组，求得a，b，r或D，E，F的对应值，代入圆的标准方程或一般方程便可．解题时注意圆的几何性质的应用．
[应用5] (1) 若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a＝________.
(2)求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程．
[答案] (1)－1
(2)x2＋y2－2x－6y＋1＝0或 x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0
6．直线与圆的位置关系
(1)若直线与圆相交，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则l＝2.
(2)圆O内过点A的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦．
(3)讨论直线与圆的位置关系时，一般不用Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系，即d
r，分别确定相交、相切、相离的位置关系．
[应用6] 过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
[解析] 点(3,1)与圆心(1,0)的连线的斜率为，所以直线AB的斜率为－2，显然(1,1)为其中一个切点，所以直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，化简得2x＋y－3＝0.故选A.
[答案] A
7．(1) 圆锥曲线的定义和性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a
(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a (2a<|F1F2|)
|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M
标准
方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
图形
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≥a
x≥0
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
(0,0)
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
关于x轴对称
焦点
(±c,0)
(，0)
轴
长轴长2a，短轴长2b
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝＝ (01)
e＝1
准线
x＝－
通径
|AB|＝
|AB|＝2p
渐近线
y＝±x
(2) 求圆锥曲线的标准方程时，一定要先定位，再定量．
[应用7] (1)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是( )
A. B．
C. D．
(2)若＋＝1表示椭圆，则m，n应满足的关系是________.
【导 号：07804190】
(3)已知椭圆的离心率为，且过点(2,3)，求椭圆的标准方程．
[解析] (1)由抛物线定义可得M点到准线的距离为5，∴p＝8，∴抛物线方程为y2＝16x，∴M(1,4)，点A(－，0)，由AM的斜率等于渐近线的斜率得＝，解得a＝，故选A.
[答案] (1)A (2)m＞0，n＞0，m≠n
(3)＋ ＝1和 ＋ ＝1
8．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．
(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长
|P1P2|＝或|P1P2|＝.
(3)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于C(x1，y1)，D(x2，y2)，则①焦半径|CF|＝x1＋；
②弦长|CD|＝x1＋x2＋p；③x1x2＝，y1y2＝－p2.
[应用8] 已知抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，过抛物线上一点M(p，p)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N，则|NF|∶|FM|等于( )
A．1∶ B．1∶
C．1∶2 D．1∶3
[解析] 由题意可知直线l的方程为y＝2，
联立方程得N，
所以|NF|＝＋＝p，|FM|＝p＋＝p，
所以|NF|∶|FM|＝1∶2.
[答案] C
[应用9] 已知双曲线x2－＝1，过点A(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解] 设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为y＝k(x－1)＋1.
代入双曲线方程x2－＝1，整理得，
(2－k2)x2＋2k(k－1)x－3＋2k－k2＝0，
由Δ＝4k2(k－1)2－4(2－k2)(2k－3－k2)>0，
解得k<.
设直线与双曲线交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，
点A(1,1)是弦中点，则＝1.
∴＝1，
解得k＝2>，
故不存在被点A(1,1)平分的弦．
■查缺补漏…………………………………………………………………………·
1．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，则该圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝
B．x2＋(y－1)2＝
C．(x－1)2＋y2＝1
D．x2＋(y－1)2＝1
C [因为抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，所以a＝1，b＝0，又直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，得r＝＝1，所以该圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.]
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的方程为( )
【导 号：07804191】
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
B [由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所求双曲线方程为－＝1.]
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2,1)，则直线l的斜率为( )
A． B．
C． D．1
C [由题意得＝，2ab＝12⇒a2＝12，b2＝3，利用点差法得直线l的斜率为－＝－＝，选C.]
4．若抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为( )
A． B．
C．1 D．2
D [设抛物线的焦点为F(0,1)，AB的中点为M，准线方程为y＝－1，则点M到准线的距离d＝(|AF|＋|BF|)≥|AB|＝3，即点M到准线的距离的最小值为dmin＝3，所以点M到x轴的最短距离d′min＝dmin－1＝2，选D.]
5．已知P为椭圆＋＝1上的点，点M为圆C1：(x＋3)2＋y2＝1上的动点，点N为圆C2：(x－3)2＋y2＝1上 的动点，则|PM|＋|PN|的最大值为( )
A．8 B．12
C．16 D． 20
B [由题可知，(|PM|＋|PN|)max＝|PC1|＋|PC2|＋2＝12，故选B.]
6．过曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1作曲线C2：x2＋y2＝a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2＝2px(p>0)于点N，其中C1、C3有一个共同的焦点，若|MF1|＝|MN|，则曲线C1的离心率为( )
A. B．－1
C.＋1 D．
D [如图所示，
OM⊥F1N，且M为线段F1N的中点，所以AN＝F2N＝2a，F2N⊥F1N，所以在Rt△F1F2N中，cos∠NF1F2＝＝，在Rt△F1AN中，cos∠F1NA＝＝，又因为∠NF1F2＝∠F1NA，所以＝，即c2－a2＝b2＝ac，解之得e＝，故选D.]
7．已知双曲线C1：－y2＝1，双曲线C2：－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是( )
A．32 B．16
C．8 D．4
B [因为双曲线C2：－＝1与双曲线C1：－y2＝1的离心率相同，所以e＝＝，解得＝，即双曲线C2的一条渐近线方程为y＝x，即x－2y＝0，又因为OM⊥MF2，△OMF2的面积为16，所以|OM|·|MF2|＝|MF2|2＝16，解得|MF2|＝4，即右焦点F2(c,0)到渐近线x－2y＝0的距离为4，所以＝4，解得c＝4，a＝＝8,2a＝16，即双曲线C2的实轴长为16.故选B.]
8．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝6x B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝x
B [依题意，设M(x，y)，|OF|＝，所以|MF|＝2p，x＋＝2p，x＝，y＝p，又△MFO的面积为4，所以××p＝4，p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x，选B.]
9．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝2x－4，圆C的半径为1，圆心在直线l上，若圆C上存在点M，且M在圆D：x2＋(y＋1)2＝4上，则圆心C的横坐标a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.∪
B [点M既在圆C上，又在圆D上，所以圆C和圆D有公共点，圆C 的圆心为(a,2a－4) ，半径为1，圆D的圆心为(0，－1) ，半径为2，则圆心距＝ ，满足 ，解得：0≤a≤ ，故选B.]
10．已知圆C：x2＋y2＝4，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB, A、B为切点，则直线AB经过定点
A. B．
C．(2,0) D．(9,0)
A [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0), 则PA：x1x＋y1y＝4；PB：x2x＋y2y
＝4; 即x1x0＋y1y0＝4；x2x0＋y2y0＝4；因此A、B在直线x0x＋y0y＝4上，直线AB方程为x0x＋y0y＝4，又x0＋2y0－9＝0，所以(9－2y0)x＋y0y＝4⇒y0(y－2x)＋9x－4＝0即y－2x＝0,9x－4＝0⇒y＝，x＝，直线AB经过定点，选A.]
11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，点C是B1F2的中点，若·＝2，且CF1⊥B1F2，则椭圆的方程为________．
＋＝1 [由题意可得F1(－c,0)，F2(c,0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，C，·＝(－c，－b)·(c，－b)＝－c2＋b2＝2①，⊥，可得·＝0，即有·(c，－b)＝－c2＋＝0②，解得c＝1，b＝，a＝＝2，可得椭圆的方程为＋＝1.]
12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
[圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即≤2.整理，得3k2－4k≤0，解得0≤k≤.故k的最大值是.]
13．已知双曲线C：－＝1(b>a>0)的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使·＝0，则双曲线离心率的取值范围是________.
【导 号：07804192】
[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋c(0≤m<)，联立双曲线方程，消去x，得(b2m2－a2)y2＋2b2mcy＋b4＝0，所以y1＋y2＝－①，y1y2＝②.因为·＝x1x2＋y1y2＝0，即m2y1y2＋mc(y1＋y2)＋c2＋y1y2＝0，代入①②整理，得b4m2－2b2m2c2＋c2b2m2－a2c2＋b4＝0,0≤m2＝<.由b4－a2b2≥0，得(c2－a2)2－a2c2≥0，即c4－3a2c2＋a4≥0，e4－3e2＋1≥0，解得e≥；由<，得b4－a4－a2c2<0，即(c2－a2)2－a4－a2c2<0，c4－3a2c2<0，所以<.综上所述，e∈.]
14．已知直线l：x＝my＋1过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F，抛物线x2＝4y的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l交y轴于点M，且＝λ1，＝λ2，当m变化时， λ1＋λ2的值是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明由．
[解] (1)易知椭圆右焦点F(1,0)，∴c＝1，抛物线x2＝4y的焦点坐标(0，)，∴b＝， ∴a2＝b2＋c2＝4.
∴椭圆C的方程为＋＝1 .
(2)易知m≠0，M，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 ⇒(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
∴Δ＝(6m)2＋36(3m2＋4)＝144(m2＋1)>0.
∴y1＋y2＝－，y1·y2＝－ .
又由＝λ1，＝λ2得：λ1＝－1－，
λ2＝－1－.
∴λ1＋λ2＝－2－·＝－ .
15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4y的焦点．
(1)若A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设点P(－4,0)，连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；
(2)设O为坐标原点，在(2)的条件下，过点M的直线交椭圆C于S，T两点，求·的取值范围．
[解] (1)证明：设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，抛物线x2＝4y的焦点为(0，)．由题意，可得∴
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
由题意可知直线PA存在斜率，设直线PA的方程为y＝k(x＋4)，代入椭圆方程可得(4k2＋3)x2＋32k2x＋64k2－12＝0.
由Δ＝322k4－4(4k2＋3)(64k2－12)>0，有－
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