2018届二轮复习等差数列及其前n项和课件（文）（江苏专用）

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§6.2 　等差数列及其前 n 项和 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 等差数列的定义 一般地，如果一个数列 ___________________________________________ ， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列 的 ， 通常用 字母 表示 . 2. 等差数列的通项公式 如果等差数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公差为 d ，那么它的通项公式 是 _________ . 3. 等差中项 由三个数 a ， A ， b 组成的等差数列可以看成最简单 的 等差数列 . 这时， A 叫做 a 与 b 的 . 知识梳理 从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差 都 等于同一个常数 公差 d a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d 等差中项 4. 等差数列的常用性质 (1) 通项公式的推广： a n ＝ a m ＋ ( n ， m ∈ N * ). (2) 若 { a n } 为等差数列，且 k ＋ l ＝ m ＋ n ( k ， l ， m ， n ∈ N * ) ， 则 . (3) 若 { a n } 是等差数列，公差为 d ，则 { a 2 n } 也是等差数列，公差 为 . (4) 若 { a n } ， { b n } 是等差数列，则 { pa n ＋ qb n } 也是等差数列 . (5) 若 { a n } 是等差数列，公差为 d ，则 a k ， a k ＋ m ， a k ＋ 2 m ， … ( k ， m ∈ N * ) 是公差 为 的 等差数列 . (6) 数列 S m ， S 2 m － S m ， S 3 m － S 2 m ， … 构成等差数列 . ( n － m ) d a k ＋ a l ＝ a m ＋ a n 2 d md 5. 等差数列的前 n 项和公式 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，其前 n 项和 S n ＝ 或 S n ＝ . 6. 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 数列 { a n } 是等差数列 ⇔ S n ＝ An 2 ＋ Bn ( A ， B 为常数 ). 7. 等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列 { a n } 中， a 1 >0 ， d <0 ，则 S n 存在 最 值 ；若 a 1 <0 ， d >0 ，则 S n 存在 最 值 . 大 小 知识 拓展 等差数列的四种判断方法 (1) 定义法： a n ＋ 1 － a n ＝ d ( d 是常数 ) ⇔ { a n } 是等差数列 . (2) 等差中项法： 2 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a n ＋ 2 ( n ∈ N * ) ⇔ { a n } 是等差数列 . (3) 通项公式： a n ＝ pn ＋ q ( p ， q 为常数 ) ⇔ { a n } 是等差数列 . (4) 前 n 项和公式： S n ＝ An 2 ＋ Bn ( A ， B 为常数 ) ⇔ { a n } 是等差数列 . 思考辨析 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 .( 　　 ) (2) 等差数列 { a n } 的单调性是由公差 d 决定的 .( 　　 ) (3) 等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数 .( 　　 ) (4) 已知等差数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ 3 － 2 n ，则它的公差为－ 2.( 　　 ) × √ × √ 考点自测 1.( 教材改编 ) 设 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和，若 a 3 ＝ 3 ， S 9 － S 6 ＝ 27 ， 则该 数列的首项 a 1 ＝ ___. 答案 解析 2.( 教材改编 ) 已知五个数成等差数列，它们的和为 5 ，平方和 为 ， 则 这五个数的积为 _____. 设第三个数为 a ，公差为 d ，则这五个数分别为 a － 2 d ， a － d ， a ， a ＋ d ， a ＋ 2 d ， 由已知条件 得 答案 解析 3.(2016· 全国乙卷 ) 已知等差数列 { a n } 前 9 项的和为 27 ， a 10 ＝ 8 ，则 a 100 ＝ _____. 得 a 5 ＝ 3 ，而 a 10 ＝ 8 ，因此公差 d ＝ ＝ 1 ， ∴ a 100 ＝ a 10 ＋ 90 d ＝ 98 . 答案 解析 98 4. 设数列 { a n } 是等差数列，若 a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ 12 ，则 a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 7 ＝ _____. ∵ a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ 3 a 4 ＝ 12 ， ∴ a 4 ＝ 4 ， ∴ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 7 ＝ 7 a 4 ＝ 28 . 答案 解析 28 5. 若等差数列 { a n } 满足 a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 >0 ， a 7 ＋ a 10 <0 ，则当 n ＝ _ _ _ 时， { a n } 的前 n 项和最大 . 因为数列 { a n } 是等差数列，且 a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 ＝ 3 a 8 ＞ 0 ，所以 a 8 ＞ 0 . 又 a 7 ＋ a 10 ＝ a 8 ＋ a 9 ＜ 0 ，所以 a 9 ＜ 0 . 故 当 n ＝ 8 时，其前 n 项和最大 . 答案 解析 8 题型分类　深度剖析 题型一　等差数列基本量的运算 例 1 　 ( 1)(2016· 北京 ) 已知 { a n } 为等差数列， S n 为其前 n 项和 . 若 a 1 ＝ 6 ， a 3 ＋ a 5 ＝ 0 ，则 S 6 ＝ ____. ∵ a 3 ＋ a 5 ＝ 2 a 4 ＝ 0 ， ∴ a 4 ＝ 0. 又 a 1 ＝ 6 ， ∴ a 4 ＝ a 1 ＋ 3 d ＝ 0 ， ∴ d ＝－ 2 . 答案 解析 6 (2)(2016· 徐州、宿迁模拟 ) 已知公差为 d 的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， 若 ＝ 3 ， 则 的 值为 ____. 答案 解析 等差数列运算问题的通性通法 (1) 等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a 1 和公差 d ，然后由通项公 式或前 n 项和公式转化为方程 ( 组 ) 求解 . (2) 等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a 1 ， a n ， d ， n ， S n ， 知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 (2016· 江苏 ) 已知 { a n } 是等差数列， S n 是其前 n 项和 . 若 a 1 ＋ ＝－ 3 ， S 5 ＝ 10 ，则 a 9 的值是 ______. 设等差数列 { a n } 的公差为 d ， 答案 解析 20 题型二　等差数列的判定与 证明 例 2 　 已知数列 { a n } 中， a 1 ＝ ， a n ＝ 2 － ( n ≥ 2 ， n ∈ N * ) ，数列 { b n } 满足 b n ＝ ( n ∈ N * ). (1) 求证：数列 { b n } 是等差数列 ； 因为 a n ＝ 2 － ( n ≥ 2 ， n ∈ N * ) ， b n ＝ ( n ∈ N * ) ， 证明 所以数列 { b n } 是以 － 为 首项， 1 为公差的等差数列 . (2) 求数列 { a n } 中的最大项和最小项，并说明理由 . 由 ( 1) 知 b n ＝ n － ， 所以当 n ＝ 3 时， a n 取得最小值－ 1 ，当 n ＝ 4 时， a n 取得最大值 3 . 解答 引申探究 例 2 中，若条件变为 a 1 ＝ ， na n ＋ 1 ＝ ( n ＋ 1) a n ＋ n ( n ＋ 1) ，试求数列 { a n } 的通项公式 . 解答 等差数列的四个判定方法 (1) 定义法：证明对任意正整数 n 都有 a n ＋ 1 － a n 等于同一个常数 . (2) 等差中项法：证明对任意正整数 n 都有 2 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a n ＋ 2 后，可递推得出 a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 1 － a n ＝ a n － a n － 1 ＝ a n － 1 － a n － 2 ＝ … ＝ a 2 － a 1 ，根据定义得出数列 { a n } 为等差数列 . (3) 通项公式法：得出 a n ＝ pn ＋ q 后，得 a n ＋ 1 － a n ＝ p 对任意正整数 n 恒成立，根据定义判定数列 { a n } 为等差数列 . (4) 前 n 项和公式法：得出 S n ＝ An 2 ＋ Bn 后，根据 S n ， a n 的关系，得出 a n ，再使用定义法证明数列 { a n } 为等差数列 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 (1) 在数列 { a n } 中，若 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ ( n ∈ N * ) ， 则 该数列的通项为 ______. 答案 解析 (2) 已知等差数列 { a n } 中， a 4 ＋ a 6 ＝ 10 ，若前 5 项的和 S 5 ＝ 5 ，则其公差 为 ___. 因为 a 4 ＋ a 6 ＝ 10 ，所以 2 a 5 ＝ 10 ， 则 a 5 ＝ 5 ，又 S 5 ＝ ＝ 5 a 3 ＝ 5 ， 故 a 3 ＝ 1 ，从而 2 d ＝ a 5 － a 3 ＝ 4 ，故 d ＝ 2 . 答案 解析 2 由 a n ＋ 2 ＝ 2 a n ＋ 1 － a n ＋ 2 ， 得 a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 1 － a n ＋ 2 ， 即 b n ＋ 1 ＝ b n ＋ 2. 又 b 1 ＝ a 2 － a 1 ＝ 1 ， 所以 { b n } 是首项为 1 ，公差为 2 的等差数列 . (3) 数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ， a n ＋ 2 ＝ 2 a n ＋ 1 － a n ＋ 2. ① 设 b n ＝ a n ＋ 1 － a n ，证明 { b n } 是等差数列； 证明 由 ① 得 b n ＝ 1 ＋ 2( n － 1) ＝ 2 n － 1 ， 即 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 n － 1. 于是 ＝ 1( a k ＋ 1 － a k ) ＝ ＝ 1(2 k － 1) ， 所以 a n ＋ 1 － a 1 ＝ n 2 ，即 a n ＋ 1 ＝ n 2 ＋ a 1 . 又 a 1 ＝ 1 ，所以 { a n } 的通项公式为 a n ＝ n 2 － 2 n ＋ 2. ② 求 { a n } 的通项公式 . 解 答 题型三　等差数列性质的应用 命题点 1 　等差数列项的性质 例 3 　 (1)(2015· 广东 ) 在等差数列 { a n } 中，若 a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＋ a 6 ＋ a 7 ＝ 25 ， 则 a 2 ＋ a 8 ＝ ____. 因为 { a n } 是等差数列，所以 a 3 ＋ a 7 ＝ a 4 ＋ a 6 ＝ a 2 ＋ a 8 ＝ 2 a 5 ， a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＋ a 6 ＋ a 7 ＝ 5 a 5 ＝ 25 ，所以 a 5 ＝ 5 ，故 a 2 ＋ a 8 ＝ 2 a 5 ＝ 10 . 答案 解析 10 (2) 已知 { a n } ， { b n } 都是等差数列，若 a 1 ＋ b 10 ＝ 9 ， a 3 ＋ b 8 ＝ 15 ，则 a 5 ＋ b 6 ＝ _____. 因为 { a n } ， { b n } 都是等差数列 ， 所以 2 a 3 ＝ a 1 ＋ a 5 ， 2 b 8 ＝ b 10 ＋ b 6 ， 所以 2( a 3 ＋ b 8 ) ＝ ( a 1 ＋ b 10 ) ＋ ( a 5 ＋ b 6 ) ， 即 2 × 15 ＝ 9 ＋ ( a 5 ＋ b 6 ) ， 解 得 a 5 ＋ b 6 ＝ 21 . 答案 解析 21 命题点 2 　等差数列前 n 项和的性质 例 4 　 (1) 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 3 ＝－ 12 ， S 9 ＝ 45 ， 则 S 12 ＝ _____. 因为 { a n } 是等差数列，所以 S 3 ， S 6 － S 3 ， S 9 － S 6 ， S 12 － S 9 成等差数列，所以 2( S 6 － S 3 ) ＝ S 3 ＋ ( S 9 － S 6 ) ， 即 2( S 6 ＋ 12) ＝－ 12 ＋ (45 － S 6 ) ，解得 S 6 ＝ 3. 又 2( S 9 － S 6 ) ＝ ( S 6 － S 3 ) ＋ ( S 12 － S 9 ) ， 即 2 × (45 － 3) ＝ (3 ＋ 12) ＋ ( S 12 － 45) ，解得 S 12 ＝ 114 . 答案 解析 114 (2) 在等差数列 { a n } 中， a 1 ＝－ 2 018 ，其前 n 项和为 S n ， 若 ＝ 2 ，则 S 2 018 的 值 为 _____ _ _. 由题意知，数列 { } 为等差数列，其公差为 1 ， ＝－ 2 018 ＋ 2 017 ＝－ 1. ∴ S 2 018 ＝－ 2 018 . 答案 解析 － 2 018 等差数列的性质 (1) 项的性质：在等差数列 { a n } 中， a m － a n ＝ ( m － n ) d ⇔ ＝ d ( m ≠ n ) ，其几何意义是点 ( n ， a n ) ， ( m ， a m ) 所在直线的斜率等于等差数列的公差 . (2) 和的性质：在等差数列 { a n } 中， S n 为其前 n 项和，则 ① S 2 n ＝ n ( a 1 ＋ a 2 n ) ＝ … ＝ n ( a n ＋ a n ＋ 1 ) ； ② S 2 n － 1 ＝ (2 n － 1) a n . 思维 升华 跟踪训练 3 　 (1) 在等差数列 { a n } 中，已知 a 4 ＋ a 8 ＝ 16 ，则该数列前 11 项和 S 11 ＝ ___. 答案 解析 88 (2) 等差数列 { a n } 与 { b n } 的前 n 项和分别为 S n 和 T n ， 若 ，则 ＝ ____. 答案 解析 考点分析 　公差不为 0 的等差数列，求其前 n 项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大 . 典例 1 　 (1) 在等差数列 { a n } 中， 2( a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ) ＋ 3( a 7 ＋ a 9 ) ＝ 54 ，则此数列前 10 项的和 S 10 ＝ ____ 。 答案 解析 等差数列 的前 n 项和及其最值 高频小考点 6 45 由 题意得 a 3 ＋ a 8 ＝ 9 ， ( 2) 在等差数列 { a n } 中， S 10 ＝ 100 ， S 100 ＝ 10 ，则 S 110 ＝ ______. 答案 解析 － 110 方法 一　设数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公差为 d ， 所以 a 11 ＋ a 100 ＝－ 2 ， 典例 2 　在等差数列 { a n } 中，已知 a 1 ＝ 20 ，前 n 项和为 S n ，且 S 10 ＝ S 15 ， 求当 n 取何值时， S n 取得最大值，并求出它的最大值 . 规范解答 解 　 ∵ a 1 ＝ 20 ， S 10 ＝ S 15 ， 即 当 n ≤ 12 时， a n ＞ 0 ，当 n ≥ 14 时， a n ＜ 0. ∴ 当 n ＝ 12 或 n ＝ 13 时， S n 取得最大值， 得 a 13 ＝ 0. ∵ n ∈ N * ， ∴ 当 n ＝ 12 或 n ＝ 13 时， S n 有最大值 ， 且 最大值为 S 12 ＝ S 13 ＝ 130. 方法三　由 S 10 ＝ S 15 ，得 a 11 ＋ a 12 ＋ a 13 ＋ a 14 ＋ a 15 ＝ 0. ∴ 5 a 13 ＝ 0 ，即 a 13 ＝ 0. ∴ 当 n ＝ 12 或 n ＝ 13 时， S n 有最大值 ， 且 最大值为 S 12 ＝ S 13 ＝ 130. 课时作业 1.( 教材改编 ) 在等差数列 { a n } 中， a 3 ＝ 7 ， a 5 ＝ a 2 ＋ 6 ，则 a 6 ＝ ____. ∵ { a n } 是等差数列，设公差为 d ， ∴ 3 d ＝ a 5 － a 2 ＝ 6 . 则 a 6 ＝ a 3 ＋ 3 d ＝ 7 ＋ 6 ＝ 13 . 答案 解析 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.( 教材改编 ) 设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和，已知 a 2 ＝ 3 ， a 6 ＝ 11 ，则 S 7 ＝ _____. 答案 解析 49 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 数列 { a n } 的首项为 3 ， { b n } 为等差数列，且 b n ＝ a n ＋ 1 － a n ( n ∈ N * ) ，若 b 3 ＝－ 2 ， b 10 ＝ 12 ，则 a 8 ＝ ____. 设 { b n } 的公差为 d ， ∵ b 10 － b 3 ＝ 7 d ＝ 12 － ( － 2) ＝ 14 ， ∴ d ＝ 2. ∵ b 3 ＝－ 2 ， ∴ b 1 ＝ b 3 － 2 d ＝－ 2 － 4 ＝－ 6. ∴ b 1 ＋ b 2 ＋ … ＋ b 7 ＝ 7 b 1 ＋ ＝ 7 × ( － 6) ＋ 21 × 2 ＝ 0. 又 b 1 ＋ b 2 ＋ … ＋ b 7 ＝ ( a 2 － a 1 ) ＋ ( a 3 － a 2 ) ＋ … ＋ ( a 8 － a 7 ) ＝ a 8 － a 1 ＝ a 8 － 3 ＝ 0 ， ∴ a 8 ＝ 3 . 答案 解析 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 在等差数列 { a n } 中， a 9 ＝ a 12 ＋ 6 ，则数列 { a n } 的前 11 项和 S 11 ＝ _____. 答案 解析 方法 一　由 a 1 ＋ 8 d ＝ ( a 1 ＋ 11 d ) ＋ 6 ， 得 a 1 ＋ 5 d ＝ 12 ， ∴ a 1 ＝ 12 － 5 d . 又 S 11 ＝ 11 a 1 ＋ ＝ 11 a 1 ＋ 55 d ＝ 11(12 － 5 d ) ＋ 55 d ＝ 132. 方法二　由 a 9 ＝ a 12 ＋ 6 ，得 2 a 9 － a 12 ＝ 12 . 由等差数列的性质得， a 6 ＋ a 12 － a 12 ＝ 12 ， a 6 ＝ 12 ， 132 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 已知数列 { a n } 满足 a n ＋ 1 ＝ a n － ， 且 a 1 ＝ 5 ，设 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则 使得 S n 取得最大值的序号 n 的值为 ______. 答案 解析 由 题意可知数列 { a n } 是首项为 5 ，公差为 － 的 等差数列 ， 该数列前 7 项是正数项，第 8 项是 0 ，从第 9 项开始是负数项 ， 所以 S n 取得最大值时， n ＝ 7 或 n ＝ 8 . 7 或 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(2016· 南通模拟 ) 已知等差数列 { a n } 满足 a 2 ＝ 3 ， S n － S n － 3 ＝ 51( n >3) ， S n ＝ 100 ，则 n 的值为 _____. 答案 解析 由 S n － S n － 3 ＝ 51 ，得 a n － 2 ＋ a n － 1 ＋ a n ＝ 51 ， 所以 a n － 1 ＝ 17 ，又 a 2 ＝ 3 ， 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(2015· 安徽 ) 已知数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， a n ＝ a n － 1 ＋ ( n ≥ 2) ，则数列 { a n } 的前 9 项和等于 ____. 答案 解析 由 题意知数列 { a n } 是以 1 为首项， 以 为 公差的等差数列 ， 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 设等差数列 { a n } ， { b n } 的前 n 项和分别为 S n ， T n ，若对任意自然数 n 都 有 的 值为 ____. 答案 解析 ∵ { a n } ， { b n } 为等差数列， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 1 ＝－ 3 ， a k ＋ 1 ＝ ， S k ＝－ 12 ，则正整数 k ＝ . 13 答案 解析 解得 k ＝ 13. 11.(2016· 苏州暑假测试 ) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ ， 且 a n ( a n － 1 ＋ a n ＋ 1 ) ＝ 2 a n ＋ 1 a n － 1 ( n ≥ 2) ，则 a 2 016 ＝ ______. 答案 解析 又 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ ， 所以数列 { } 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 已知等差数列 { a n } 前三项的和为－ 3 ，前三项的积为 8. (1) 求等差数列 { a n } 的通项公式； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 a 2 ＝ a 1 ＋ d ， a 3 ＝ a 1 ＋ 2 d . 所以由等差数列通项公式可得 a n ＝ 2 － 3( n － 1) ＝－ 3 n ＋ 5 或 a n ＝－ 4 ＋ 3( n － 1) ＝ 3 n － 7. 故 a n ＝－ 3 n ＋ 5 或 a n ＝ 3 n － 7 . (2) 若 a 2 ， a 3 ， a 1 成等比数列，求数列 {| a n |} 的前 n 项和 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当 a n ＝－ 3 n ＋ 5 时， a 2 ， a 3 ， a 1 分别为－ 1 ，－ 4,2 ，不成等比数列； 当 a n ＝ 3 n － 7 时， a 2 ， a 3 ， a 1 分别为－ 1,2 ，－ 4 ，成等比数列，满足条件 . 当 n ＝ 1 时， S 1 ＝ | a 1 | ＝ 4 ；当 n ＝ 2 时， S 2 ＝ | a 1 | ＋ | a 2 | ＝ 5 ； 当 n ≥ 3 时， S n ＝ S 2 ＋ | a 3 | ＋ | a 4 | ＋ … ＋ | a n | ＝ 5 ＋ (3 × 3 － 7) ＋ (3 × 4 － 7) ＋ … ＋ (3 n － 7) 记数列 {| a n |} 的前 n 项和为 S n . 当 n ＝ 2 时，满足此式，当 n ＝ 1 时，不满足此式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 *13. 已知数列 { a n } 的各项均为正数，前 n 项和为 S n ，且满足 2 S n ＝ a ＋ n － 4( n ∈ N * ). (1) 求证：数列 { a n } 为等差数列； 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当 n ＝ 1 时，有 2 a 1 ＝ ＋ 1 － 4 ， 即 － 2 a 1 － 3 ＝ 0 ， 当 n ≥ 2 时，有 2 S n － 1 ＝ ＋ n － 5 ， 又 2 S n ＝ ＋ n － 4 ， 因此 a n － 1 ＝ a n － 1 或 a n － 1 ＝－ a n － 1 . 若 a n － 1 ＝－ a n － 1 ，则 a n ＋ a n － 1 ＝ 1. 而 a 1 ＝ 3 ， 所以 a 2 ＝－ 2 ，这与数列 { a n } 的各项均为正数相矛盾， 所以 a n － 1 ＝ a n － 1 ，即 a n － a n － 1 ＝ 1 ， 因此数列 { a n } 是首项为 3 ，公差为 1 的等差数列 . 解得 a 1 ＝ 3( a 1 ＝－ 1 舍去 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 求数列 { a n } 的通项公式 . 解答 由 (1) 知 a 1 ＝ 3 ， d ＝ 1 ， 所以数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ 3 ＋ ( n － 1) × 1 ＝ n ＋ 2 ， 即 a n ＝ n ＋ 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(2016· 苏北四市摸底 ) 已知数列 { a n } 满足 2 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a n ＋ 2 ＋ k ( n ∈ N * ， k ∈ R ) ，且 a 1 ＝ 2 ， a 3 ＋ a 5 ＝－ 4. (1) 若 k ＝ 0 ，求数列 { a n } 的前 n 项和 S n ； 解 答 当 k ＝ 0 时， 2 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a n ＋ 2 ，即 a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 1 － a n ， 所以 数列 { a n } 是等差数列 . 设数列 { a n } 的公差为 d ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 若 a 4 ＝－ 1 ，求数列 { a n } 的通项公式 . 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意得 2 a 4 ＝ a 3 ＋ a 5 ＋ k ，即－ 2 ＝－ 4 ＋ k ，所以 k ＝ 2. 当 n ＝ 1 时， 2 a 2 ＝ a 1 ＋ a 3 ＋ 2 ， 当 n ＝ 2 时， 2 a 3 ＝ a 2 ＋ a 4 ＋ 2 ， 所以 a 4 ＝ 2 a 3 － a 2 － 2 ＝ 3 a 2 － 2 a 1 － 6 ＝－ 1 ，所以 a 2 ＝ 3, 由 2 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a n ＋ 2 ＋ 2 ，得 ( a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ) － ( a n ＋ 1 － a n ) ＝－ 2 ， 所以 数列 { a n ＋ 1 － a n } 是以 a 2 － a 1 ＝ 1 为首项，－ 2 为公差的等差数列 ， 所以 a n ＋ 1 － a n ＝－ 2 n ＋ 3 . 当 n ≥ 2 时，有 a n － a n － 1 ＝－ 2( n － 1) ＋ 3 ， 于是 a n － 1 － a n － 2 ＝－ 2( n － 2) ＋ 3 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 a n － 2 － a n － 3 ＝－ 2( n － 3) ＋ 3 ， … a 3 － a 2 ＝－ 2 × 2 ＋ 3 ， a 2 － a 1 ＝－ 2 × 1 ＋ 3 ， 叠加得， a n － a 1 ＝－ 2 [1 ＋ 2 ＋ … ＋ ( n － 1)] ＋ 3( n － 1)( n ≥ 2) ， 所以 a n ＝－ 2 × ＋ 3( n － 1) ＋ 2 ＝－ n 2 ＋ 4 n － 1( n ≥ 2). 又当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 2 也适合上式 . 所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝－ n 2 ＋ 4 n － 1 ， n ∈ N * . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14