广西钦州市2019-2020学年高一下学期期末考试教学质量监测数学试题 Word版含解析

广西钦州市2019-2020学年高一下学期期末考试教学质量监测数学试题 Word版含解析

‎2019-2020学年广西钦州市高一（下）期末数学试卷 一、选择题（共12小题）.‎ ‎1．（5分）直线y＝﹣x+1的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎2．（5分）已知一个三棱锥的直观图如图（粗线部分）所示，则该三棱锥的三视图是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ - 14 -‎ D．‎ ‎3．（5分）在等差数列{an}中，a1＝﹣8，a3＝0，则a6的值为（　　）‎ A．﹣12 B．﹣6 C．12 D．6‎ ‎4．（5分）点P（2，4）与点Q关于直线l：y＝﹣x+1对称，则点Q的坐标为（　　）‎ A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，﹣3） C．（2，0） D．（﹣3，﹣1）‎ ‎5．（5分）圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为（　　）‎ A．6π B．7π C．8π D．9π ‎6．（5分）等比数列{an}的各项均为正数，且a3a6＝e2，则lna1+lna2+……+lna8＝（　　）‎ A．8 B．10 C．12 D．14‎ ‎7．（5分）直线x+y﹣3＝0被圆x2+y2﹣2y＝3截得的弦MN的长为（　　）‎ A．2 B．3 C．2 D．2‎ ‎8．（5分）设m，n为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，下列结论正确的是（　　）‎ A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n ‎ C．若m⊥α，n⊂β，α⊥β，则m∥n D．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β ‎9．（5分）对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，若x满足不等式2x2﹣13x+15＜0，则[x]的取值范围是（　　）‎ A．（，5） B．{2，3，4，5} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5}‎ ‎10．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则角B的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）球O的截面把垂直于截面的直径分成1：3，若截面圆半径为，则球O的体积为（　　）‎ A．16π B． C． D．‎ - 14 -‎ ‎12．（5分）已知圆C：x2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣a，0），B（a，0）（a＞0），若圆C上存在点M，满足MA⊥MB，则a的取值范围是（　　）‎ A．（3，4） B．[3，4] C．[3，5] D．[4，5]‎ 二、填空题（共4小题）.‎ ‎13．（5分）若x＞0，则函数f（x）＝4x+的最小值是　 　．‎ ‎14．（5分）已知△ABC三个顶点的直角坐标为分别为A（0，2），B（4，0），C（﹣1，﹣1），则AB边上的中线CM所在的直线方程为　 　．‎ ‎15．（5分）已知等差数列{an}中，a1＝9，a6＝a2﹣8，则{an}的前n项和Sn的最大值为　 　．‎ ‎16．（5分）如图，某测绘员为了测量一座垂直于地面的建筑物AB的高度，设计测量方案为先在地面选定距离为180米的C，D两点，然后在C处测得∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，在D处测得∠BDC＝45°，则此建筑物AB的高度为　 　米．‎ 三、解答题（共6小题）.‎ ‎17．（10分）已知两直线l1：ax+3y+4＝0和l2：x+（a﹣2）y+a2﹣5＝0．‎ ‎（1）若l1⊥l2，求实数a的值；‎ ‎（2）若l1∥l2，求实数a的值．‎ ‎18．（12分）已知不等式x2﹣mx+4＜0的解集为{x|n＜x＜﹣1}，‎ ‎（1）求m，n的值；‎ ‎（2）求不等式≥0的解集．‎ ‎19．（12分）已知数列{an}中，前n项和Sn满足Sn＝n2+2n，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎20．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b＝2csinB．‎ - 14 -‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若c＝，且a+b＝3，求△ABC的面积．‎ ‎21．（12分）如图，已知圆柱内有一个三棱锥A﹣BCD，AD为圆柱的一条母线，DF为下底面圆O的直径，O1为圆柱上底面圆的圆心．‎ ‎（1）若点B为下底面圆弧上与D，F不重合的点，求证：BF⊥AB．‎ ‎（2）若BC也为下底面圆O的直径，且与DF不重合，求证：O1F∥面ABC．‎ ‎22．（12分）已知O为坐标原点，圆C的方程为：（x﹣1）2+y2＝1，直线l过点M（0，3）．‎ ‎（1）若直线l与圆C有且只有一个公共点，求直线l的方程；‎ ‎（2）若直线l与圆C交于不同的两点A，B，试问：直线OA与OB的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由．‎ - 14 -‎ 参考答案 一、选择题（共12小题）.‎ ‎1．（5分）直线y＝﹣x+1的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【分析】求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角即可．‎ 解：因为直线y＝﹣x+1的斜率为k＝﹣，‎ 所以直线的倾斜角为α，tanα＝﹣，所以α＝120°．‎ 故选：C．‎ ‎2．（5分）已知一个三棱锥的直观图如图（粗线部分）所示，则该三棱锥的三视图是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ - 14 -‎ C． ‎ D．‎ ‎【分析】根据三视图的特点：长对正，高平齐，宽相等进行分析，依此画出该几何体的三视图即可．‎ 解：根据三视图的画法，可得三视图如下，‎ 故选：B．‎ ‎3．（5分）在等差数列{an}中，a1＝﹣8，a3＝0，则a6的值为（　　）‎ A．﹣12 B．﹣6 C．12 D．6‎ ‎【分析】由已知列式求得等差数列的公差，再由通项公式求得a6的值．‎ 解：在等差数列{an}中，由a1＝﹣8，a7＝0，‎ 得d＝，‎ 故选：C．‎ ‎4．（5分）点P（2，4）与点Q关于直线l：y＝﹣x+1对称，则点Q的坐标为（　　）‎ - 14 -‎ A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，﹣3） C．（2，0） D．（﹣3，﹣1）‎ ‎【分析】设出Q点坐标，根据直线PQ与直线l互相垂直，以及线段PQ中点在直线l上，列出方程组，解出x，y即可．‎ 解：设Q（x，y），则直线PQ⊥l，且线段PQ的中点在l上，‎ 即﹣，解得，‎ 故选：D．‎ ‎5．（5分）圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为（　　）‎ A．6π B．7π C．8π D．9π ‎【分析】根据题意，可得h＝2r＝2，然后代入圆柱的表面积公式即可得答案．‎ 解：设圆柱的底面半径为r，高为h，‎ 由题可知，h＝2r＝2，‎ 故选：A．‎ ‎6．（5分）等比数列{an}的各项均为正数，且a3a6＝e2，则lna1+lna2+……+lna8＝（　　）‎ A．8 B．10 C．12 D．14‎ ‎【分析】由已知结合等比数列的性质可得a1a2…a8的值，再由对数的运算性质即可求得lna1+lna2+……+lna8的值．‎ 解：∵等比数列{an}的各项均为正数，且a3a6＝e2，‎ 由等比数列的性质可得：a6a8＝a2a7＝a4a5＝a3a6＝e2，‎ 故选：A．‎ ‎7．（5分）直线x+y﹣3＝0被圆x2+y2﹣2y＝3截得的弦MN的长为（　　）‎ A．2 B．3 C．2 D．2‎ ‎【分析】根据题意，由圆的方程分析圆心以及半径，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．‎ 解：根据题意，圆x2+y2﹣2y＝3，即x4+（y﹣1）2＝5，其圆心为（0，1），半径r＝2；‎ 圆心到直线x+y﹣3＝0的距离d＝＝，‎ 故MN＝2；‎ 故选：D．‎ ‎8．（5分）设m，n为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，下列结论正确的是（　　）‎ - 14 -‎ A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n ‎ C．若m⊥α，n⊂β，α⊥β，则m∥n D．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β ‎【分析】对于A，m与n平行或异面；对于B，由线面垂直、面面垂直的性质得m⊥n；对于C，m与n相交、平行或异面；对于D，α与β相交或平行．‎ 解：由m，n为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，知：‎ 对于A，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m与n平行或异面，故A错误；‎ 对于C，若m⊥α，n⊂β，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；‎ 故选：B．‎ ‎9．（5分）对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，若x满足不等式2x2﹣13x+15＜0，则[x]的取值范围是（　　）‎ A．（，5） B．{2，3，4，5} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5}‎ ‎【分析】求出不等式2x2﹣13x+15＜0的解集，再根据题意求出[x]的取值范围．‎ 解：不等式2x2﹣13x+15＜0可化为（x﹣5）（2x﹣3）＜0，‎ 解得＜x＜5；‎ 所以[x]的取值范围是{1，2，3，4}．‎ 故选：C．‎ ‎10．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则角B的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由已知结合余弦定理对已知进行化简，然后再结合余弦定理即可求解．‎ 解：∵＝2b×＝，‎ 整理可得，，‎ 因为B为三角形的内角，故B＝．‎ 故选：D．‎ ‎11．（5分）球O的截面把垂直于截面的直径分成1：3，若截面圆半径为，则球O的体积为（　　）‎ A．16π B． C． D．‎ - 14 -‎ ‎【分析】由题意可得球心到截面的距离，由勾股定理求出球的半径，进而求出体积．‎ 解：画出过球心的大圆，如图所示，则由题意可得O为球心，D为截面圆的圆心，且BD为截面圆的半径r＝，OB为球的半径R，由题意DC＝•2R＝，则OD＝，‎ 在△ODB中：R2＝（）2+（）2，解得R＝2，‎ 故选：D．‎ ‎12．（5分）已知圆C：x2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣a，0），B（a，0）（a＞0），若圆C上存在点M，满足MA⊥MB，则a的取值范围是（　　）‎ A．（3，4） B．[3，4] C．[3，5] D．[4，5]‎ ‎【分析】求出过两点A（﹣a，0）与B（a，0）（a＞0）的圆的方程，与已知圆C的方程联立，结合y的范围求解a的范围．‎ 解：由题意，过两点A（﹣a，0）与B（a，0）（a＞0）的圆的方程为x2+y2＝a2，‎ 与圆C：x2+（y﹣4）2＝1联立，可得a2＝8y﹣15，‎ ‎∴7≤a2≤25，又a＞0，‎ ‎∴a的取值范围是[3，5]．‎ 故选：C．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．（5分）若x＞0，则函数f（x）＝4x+的最小值是　16　．‎ ‎【分析】根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可．‎ 解：∵x＞0，‎ ‎∴f（x）＝4x+≥2＝2×8＝16，‎ 故答案为：16．‎ ‎14．（5分）已知△ABC三个顶点的直角坐标为分别为A（0，2），B（4，0），C（﹣1，﹣‎ - 14 -‎ ‎1），则AB边上的中线CM所在的直线方程为　2x﹣3y﹣1＝0　．‎ ‎【分析】由中点坐标公式求得AB的中点M的坐标，结合B的坐标写出AC边上的中线所在直线的两点式，化为一般式得答案．‎ 解：∵A（0，2），B（4，0），‎ ‎∴AB的中点M的坐标为（8，1），又C（﹣1，﹣1），‎ 整理为一般式为2x﹣3y﹣1＝4．‎ 故答案为：2x﹣3y﹣1＝0．‎ ‎15．（5分）已知等差数列{an}中，a1＝9，a6＝a2﹣8，则{an}的前n项和Sn的最大值为　25　．‎ ‎【分析】根据题意，等差数列{an}的公差，进而可得数列的通项公式，分析可得当1≤n≤5时，an＞0，当n≥6时，an＜0，据此可得当n＝5时，Sn取得最大值，由等差数列前n项和公式计算可得答案．‎ 解：根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，‎ 若a6＝a2﹣8，则d＝＝﹣2，‎ 则有当1≤n≤5时，an＞0，当n≥2时，an＜0，‎ 故答案为：25‎ ‎16．（5分）如图，某测绘员为了测量一座垂直于地面的建筑物AB的高度，设计测量方案为先在地面选定距离为180米的C，D两点，然后在C处测得∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，在D处测得∠BDC＝45°，则此建筑物AB的高度为　30　米．‎ ‎【分析】根据题意，利用正弦定理求得BC的长，再由直角三角形的边角关系求出AB的大小．‎ 解：△BCD中，CD＝180，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，‎ 所以∠CBD＝180°﹣75°﹣45°＝60°，‎ - 14 -‎ 解得BC＝＝60；‎ 所以AB＝BC＝30，‎ 故答案为：30．‎ 三、解答题：本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）已知两直线l1：ax+3y+4＝0和l2：x+（a﹣2）y+a2﹣5＝0．‎ ‎（1）若l1⊥l2，求实数a的值；‎ ‎（2）若l1∥l2，求实数a的值．‎ ‎【分析】（1）由两直线A1x+B1y+C1＝0与A2x+B2y+C2＝0垂直，可得A1A2+B1B2＝0，由此列式求解a值；‎ ‎（2）由两直线A1x+B1y+C1＝0与A2x+B2y+C2＝0平行，可得，由此列式求解a值．‎ 解：（1）若l1⊥l2，则a×1+3×（a﹣8）＝0，‎ 解得a＝，故所求实数a的值为；‎ 解得a＝7，故所求实数a的值为3．‎ ‎18．（12分）已知不等式x2﹣mx+4＜0的解集为{x|n＜x＜﹣1}，‎ ‎（1）求m，n的值；‎ ‎（2）求不等式≥0的解集．‎ ‎【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，列出方程组求得m、n的值；‎ ‎（2）把m、n代入不等式求解解即可．‎ 解：（1）不等式x2﹣mx+4＜0的解集为{x|n＜x＜﹣1}，‎ 所以﹣1，n是方程x2﹣mx+4＝0的两根，‎ 解得，或 （舍去）；‎ 即为，‎ 解得：；‎ - 14 -‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎19．（12分）已知数列{an}中，前n项和Sn满足Sn＝n2+2n，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件通过an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1，求解数列{an}的通项公式an．‎ ‎（2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．‎ 解：（1）∵，n∈N*…①…（1分）‎ 当n＝6时，a1＝S1＝3，…（2分）‎ ‎②﹣①得an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+3，（n≥2）…（4分）‎ 所以数列{an}的通项公式an＝2n+1．n∈N*…（5分）‎ Tn＝b1+b2+…+bn所以数列{bn}的前n项和＝…（3分）‎ ‎＝…（11分）‎ ‎20．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b＝2csinB．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若c＝，且a+b＝3，求△ABC的面积．‎ ‎【分析】（1）根据正弦定理得到，进而可求得sinC，即可解出C；‎ ‎（2）由余弦定理可得ab＝1，结合三角形面积公式代入计算即可 解：（1）因为，‎ 所以由正弦定理得，‎ 又因为C是锐角，故C＝60°；‎ 所以5＝（a+b）2﹣3ab＝9﹣8ab 所以ab＝1‎ 则．‎ ‎21．（12分）如图，已知圆柱内有一个三棱锥A﹣BCD，AD为圆柱的一条母线，DF为下底面圆O的直径，O1为圆柱上底面圆的圆心．‎ ‎（1）若点B为下底面圆弧上与D，F不重合的点，求证：BF⊥AB．‎ ‎（2）若BC也为下底面圆O的直径，且与DF不重合，求证：O1F∥面ABC．‎ - 14 -‎ ‎【分析】（1）要证明BF⊥AB，先证明BF⊥平面ADB，由线面垂直的判定定理，可证明AD⊥BF和BD⊥BF；‎ ‎（2）由题意可判断出四边形AOFO1为平行四边形，即AO∥O1F，由线面平行的判定定理证明即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AD为圆柱的母线，∴AD⊥底面圆O，‎ 又∵BF⊂底面圆O，∴AD⊥BF；‎ ‎∵AD∩BD＝D，AD，BD⊂面ADB，∴BF⊥面ADB，‎ ‎（2）证明：连接AO，AO1，OO1‎ 又∵AO1＝OF，∴四边形AOFO1为平行四边形，‎ ‎∴O1F∥平面ABC．‎ ‎22．（12分）已知O为坐标原点，圆C的方程为：（x﹣1）2+y2＝1，直线l过点M（0，3）．‎ ‎（1）若直线l与圆C有且只有一个公共点，求直线l的方程；‎ ‎（2）若直线l与圆C交于不同的两点A，B，试问：直线OA与OB的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由．‎ ‎【分析】（1）当直线的斜率不存在时，l的方程为x＝0，符合题意．当直线l斜率存在时，设l的方程为y＝kx+3，由圆心到直线的距离等于半径列式求得k，则直线方程可求；‎ ‎（2）由（1）知直线l斜率存在，设l的方程为y＝kx+3，联立直线方程与圆的方程，利用斜率公式与根与系数的关系即可求得直线OA与OB的斜率之和为定值．‎ 解：（1）①当直线l斜率不存在时，l的方程为x＝0，符合题意．‎ ‎②当直线l斜率存在时，设l的方程为y＝kx+3，‎ ‎∵直线与圆有一个公共点，∴，‎ - 14 -‎ ‎∴l的方程为y＝，即5x+3y﹣9＝0．‎ ‎（2）直线OA与OB的斜率之和为定值．‎ 设A（x1，y1），B（x3，y2），‎ 消去y得（k2+1）x2+（6k﹣2）x+9＝0．‎ 则＝‎ ‎∴直线OA与OB的斜率之和为定值．‎ - 14 -‎