2020版高中数学 第二章 随机变量及其分布 正态分布
§2.4 正态分布
学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．
知识点一 正态曲线
思考 函数f(x)＝，x∈R的图象如图所示．试确定函数f(x)的解析式．
答案 由图可知，该曲线关于直线x＝72对称，最大值为，由函数表达式可知，函数图象的对称轴为x＝μ，
∴μ＝72，且＝，∴σ＝10.
∴f(x)＝(x∈R)．
梳理 (1)正态曲线
函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称
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φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：
知识点二 正态分布
一般地，如果对于任何实数a，b(a
5)．
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
解 因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－15)＝P(X≤－3)
＝[1－P(－3c＋1)＝P(Xc＋1)＝P(Xμ＋a)．
(2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4求解．
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跟踪训练2 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 C
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是x＝2.
∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，
∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.
类型三 正态分布的应用
例3 有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
解 (1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，
μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.26%.
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.15%.
因此尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.15%≈108(个)．
反思与感悟 解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
跟踪训练3 在某次考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学成绩在80～85分的有17人，该班同学成绩在90分以上的有多少人？
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
解 ∵成绩服从正态分布N(80,52)，
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85，
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∴成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%，成绩在(80,85]内的同学占全班同学的34.13%，设该班有x人，则x·34.13%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%，即有50×2.28%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人．
1．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
考点 正态分布密度函数的概念
题点 正态曲线
答案 A
解析 根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续曲线：当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平稳，反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭．故选A.
2．正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为( )
A．P1＝P2 B．P1＜P2
C．P1＞P2 D．不确定
考点 正态分布密度函数的概念
题点 正态曲线性质的应用
答案 A
解析 根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．
3．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则μ等于( )
A．1 B．2
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C．4 D．不能确定
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 C
解析 因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝＝1－P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)＝，所以μ＝4.
4．已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]和(μ－3σ，μ＋3σ]内取值的概率分别为68.26%,95.44%和99.74%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120]内的学生大约有( )
A．997人 B．972人 C．954人 D．683人
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 C
解析 依题意可知μ＝90，σ＝15，故P(60c＋1)＝P(Xc＋1)＝P(Xμ＋a)，
若b<μ，则P(X<μ－b)＝.
一、选择题
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )
A．10与8 B．10与2
C．8与10 D．2与10
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 B
解析 由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于( )
A．0.16 B．0.32
C．0.68 D．0.84
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 A
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，
∵P(ξ≤4)＝0.84，
∴P(ξ≥4)＝1－0.84＝0.16，
∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.16.
3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6]内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
考点 正态分布的概念及性质
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题点 正态分布下的概率计算
答案 B
解析 由正态分布的概率公式，知P(－3<ξ≤3)＝0.682 6，P(－6<ξ≤6)＝0.954 4，
故P(3<ξ≤6)＝＝＝0.135 9＝13.59%，故选B.
4.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4)
A．2 386 B．2 718 C．4 772 D．3 413
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 D
解析 由X～N(0,1)知，P(－1＜X≤1)＝0.682 6，
∴P(0≤X≤1)＝×0.682 6＝0.341 3，故S≈0.341 3.
∴落在阴影部分的点的个数x的估计值为＝，∴x＝10 000×0.341 3＝3 413，故选D.
5．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)>P(Y≥t)
考点 正态分布密度函数的概念
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题点 正态曲线
答案 C
解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，
∴P(Y≥μ2)P(X≤σ1)，故B错；
当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，
而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，
∴P(X≥t)96)，
所以P(X≤64)＝×(1－0.954 4)
＝×0.045 6＝0.022 8.
所以P(X>64)＝0.977 2.
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又P(X≤72)＝[1－P(7272)＝0.841 3，
P(6464)－P(X>72)
＝0.135 9.
13．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从正态分布N(6,0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
解 还有7分钟时：
若选第一条路线，即X～N(5,1)，能及时到达的概率
P1＝P(X≤7)
＝P(X≤5)＋P(5
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